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bugmens 發表於 2012-6-13 14:33

101建國中學

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Fermat 發表於 2012-6-13 15:57

回復 1# bugmens 的帖子

公告少了計算證明第二題

八神庵 發表於 2012-6-13 21:45

weiye 發表於 2012-6-13 21:59

回復 3# 八神庵的帖子

已更新，感謝告知！：Ｄ

Ellipse 發表於 2012-6-14 00:10

[quote]原帖由 [i]Fermat[/i] 於 2012-6-13 03:57 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6350&ptid=1409][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
公告少了計算證明第二題 [/quote]
計算2
設\(n\)為大於1的正整數，數列\(\langle\;a_j\rangle\;\)>滿足\(\displaystyle \frac{1}{2}<a_j<1(j=1,2,\ldots,n)\)，試證明：對於任何大於1的正整數\(n\)，\(\displaystyle (1-a_1)(1-a_2)\ldots(1-a_n)>1-(a_1+\frac{a_2}{2}+\ldots+\frac{a_n}{2^{n-1}})\)
[解答]
用數學歸納法
(1)當n=2時
(1-a1)(1-a2)=1-a1-a2+a2*a1>1-a1-a2+a2*(1/2)=1-(a1+a2/2)成立
(2)假設n=k時
(1-a1)*(1-a2)*...............*(1-ak)>1-{ a1+a2/ 2+................+ak / 2^(k-1) }成立
則當n=k+1時
(1-a1)*(1-a2)*...............*(1-ak)*[color=blue] [1-a_(k+1)]
[/color]    >{1-[a1+a2 /2+................+ak /2^(k-1)]} [color=blue]*[1-a_(k+1)]
[/color]    =1-[a1+a2 /2+................+ak /2^(k-1)] [color=seagreen]-a_(k+1)[/color] + [color=red][[/color][color=red]a1+(1/2)*a2* +............+(1/2^(k-1))*ak] *a_(k+1)[/color]
[color=#ff0000][/color]
[color=#ff0000] [/color][color=black]紅色部分 >[/color][(1/2)+(1/2)^2+................+(1/2)^k]*a_(k+1)
               =[1-(1/2)^k ]*a_(k+1)
               =a_(k+1) - (1/2)^k*a_(k+1)

綠色部分+紅色部分= - (1/2)^k*a_(k+1)

此時不等式右式為1-[a1+a2 /2+................+ak  /2^(k-1)+  a_(k+1) / 2^k  ]
故由數學歸納法可得證~~ [color=seagreen][/color]

peter579 發表於 2012-6-14 14:44

填充2 1/3
埴充4 -(根號15)/5 ~ 謝謝王老師的更正

tsusy 發表於 2012-6-14 22:01

回復 7# 老王的帖子

填充 3.
設隨機變數\(X\)為二項分布\(B(n,p)\)，令隨機變數\(Y\)的定義如下：\(Y=\cases{4　若X為偶數\cr 2　若X為奇數}\)，求\(Y\)的期望值為[u]　　　[/u]。
[解答]
來個暴力解法

\( P(X=k)=C_{k}^{n}p^{k}(1-p)^{n-k} \), for \( 0\leq k\leq n \) 且 k 為整數

\( P(X\, even)=\sum\limits_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{2k}^{n}p^{2k}(1-p)^{n-2k}=(1-p)^{n}\sum \limits _{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{2k}^{n}(\frac{p}{1-p})^{2k} \).

\( (1+\frac{p}{1-p})^{n}+(1-\frac{p}{1-p})^{n}=2\sum \limits _{k=0}^{[\frac{n}{2}]}C_{2k}^{n}(\frac{p}{1-p})^{2k} \)

\( \Rightarrow P(X\, even)=\frac{(\frac{1}{1-p})^{n}+(\frac{1-2p}{1-p})^{n}}{2}(1-p)^{n}=\frac{1+(1-2p)^{n}}{2} \), and \( P(X\, odd)=\frac{1-(1-2p)^{n}}{2} \)

\( EY=4\cdot P(X\, even)+2\cdot P(X\, odd)=3+(1-2p)^{n} \)

以上暴力，如何錯誤，煩請告知

填充 5. 跳過~~好反應...小弟看到這題的直覺也是跳過

剛剛玩了一下，有得莫名其妙的玩出來了

令 \( c=a-b>0 \), 則 \( a=b+c\geq2\sqrt{bc} \)

所以 \( a^{3}+\frac{6}{b(a-b)}\geq8\sqrt{b^{3}c^{3}}+\frac{6}{bc}=4\sqrt{b^{3}c^{3}}+4\sqrt{b^{3}c^{3}}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{bc}\geq5\cdot\sqrt[5]{128}=10\sqrt[5]{4} \)

以上等號成立條件為 \( b=c=\frac{1}{\sqrt[5]{2}} \)

pizza 發表於 2012-6-15 16:48

謝謝老王的心路歷程,其中有幾題有疑惑想請問一下,
第七題該怎麼算出k的值等於0,3/16,8?
第八題我看不太出切點為(e,1)?,剛開始不是先假設切線為y=kx,然後算交點,到算交點的地方就卡住了,
希望高手可以解答一下我的疑惑,謝謝!

shiauy 發表於 2012-6-15 17:21

[quote]原帖由 [i]pizza[/i] 於 2012-6-15 04:48 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6387&ptid=1409][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
謝謝老王的心路歷程,其中有幾題有疑惑想請問一下,
第七題該怎麼算出k的值等於0,3/16,8?
第八題我看不太出切點為(e,1)?,剛開始不是先假設切線為y=kx,然後算交點,到算交點的地方就卡住了,
希望高手可以解答一下我的疑 ... [/quote]
#7
已知方程式\(\displaystyle x^3-x^2-kx+\frac{3}{2}k=0\)有3個相異的實數解，試求\(k\)的範圍為[u]　　　[/u]。
[解答[
設\(y = {x^3} - {x^2}\)與\(y = k(x - \frac{3}{2})\)切於一點\((t,{t^3} - {t^2})\)
\(\frac{{{t^3} - {t^2}}}{{t - \frac{3}{2}}} = 3{t^2} - 2t\)
解得\(t = 0,\frac{3}{4},2\)
代入\(k = 0,\frac{3}{{16}},8\)
利用微分與求根可大概畫出\(y = {x^3} - {x^2}\)的圖形
可發現要有三交點
\(0 < k < \frac{3}{{16}},k > 8\)

#8
曲線\(\Gamma\)為\(f(x)=ln x\)的圖形，過原點\(O\)與\(\Gamma\)相切之切線為\(L\)，\(\Gamma\)與切線\(L\)及\(x\)軸所圍成之區域為\(R\)，試問\(R\)繞\(x\)軸旋轉，所得的旋轉體積為[u]　　　[/u]。
[解答]
\(y = \ln x\)與\(y = mx\)相切於\((s,t)\)
則\(m = \frac{1}{s}\)，代回直線可得\(t = 1\)，即\(\ln x = 1\)
故切點為\((e,1)\)
接下來旋轉體積的部份就分割成兩部分積分吧
分成(0,1)與(1,e)

ilikemath 發表於 2012-12-4 19:47

想請教填充第4題
謝謝

weiye 發表於 2012-12-4 20:06

回復 10# ilikemath 的帖子

填充第 4 題：
四邊形\(ABCD\)為正方形，\(\overline{PD}⊥\)平面\(ABCD\)，\(\overline{PD}\)//\(\overline{QA}\)，\(\overline{QA}=\overline{AB}=\frac{1}{2}\overline{PD}\)，求\(\Delta QPB\)與\(\Delta CPB\)所夾二面角的餘弦值為[u]　　　[/u]。
[解答]
（可以參考題目卷所附的圖）

從 \(Q\) 往 \(\overline{DP}\) 做垂線，設垂足為 \(R\)，

因為 \(\overline{PR}\perp\mbox{平面}ABCD\) 且 \(\overline{CD}\perp\overline{BC}\)，由三垂線定理，可得 \(\overline{CP}\perp\overline{BC}\) 於 \(C\)

同理可得 \(\overline{CR}\perp\overline{BC}\) 於 \(C\)

因此所求＝\(\cos\angle RCP\)

因為 \(\tan\angle RCP=\frac{2-1}{1+2\times1}=\frac{1}{3}\)

所以，所求＝\(\cos\angle RCP=\frac{3}{\sqrt{10}}\)

ilikemath 發表於 2012-12-4 20:20

瑋岳老師
你算的好像是BCR和BCP的二面角?
但題目是算BPQ和BCP的二面角
謝謝

weiye 發表於 2012-12-4 22:38

回復 12# ilikemath 的帖子

我看錯題目要問的，感謝。

請改設坐標系～然後找題述兩個三角形所在的平面方程式，再利用平面的法向量，求這兩個平面銳夾角的餘弦值。

((感謝 BambooLotus 也私訊提醒我看錯題目了!! XDD

Callmeluluz 發表於 2014-9-24 11:48

請問第一題以及計算證明第三題的第二小題有高手做出來嗎

小弟想好久還是毫無頭緒

thepiano 發表於 2014-9-24 12:53

回復 14# Callmeluluz 的帖子

這二題可參考
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2847[/url]

Callmeluluz 發表於 2014-9-25 09:45

回復 15# thepiano 的帖子

不好意思 t大

我看完了蘇老師的專題

我看到了用平面系來推論

因為存在α,β使得 αE1+βE2 與 E3 平行

所以αE1+βE2 與 E3係數成比例但是不等於常數比例

這部份還可以理解

但是蘇老師直接從這步跳到所以Δx,Δy,Δz至少一不為0

這部份我想了許久還是還證不出來

有想過用反證法

但是證到一半就毫無頭緒

請問這裡的證明該如何證呢?

thepiano 發表於 2014-9-25 11:27

回復 16# Callmeluluz 的帖子

三平面兩兩交於一線且 Δ = 0 的情形是關係 (7) 和 (8)
若 Δx、Δy、Δz 又均為 0，則三交線為同一線[即關係 (7)]，共點
由於題目說三交線不共點，故 Δx、Δy、Δz 至少有一不為 0

three0124 發表於 2021-7-10 22:50

回復 13# weiye 的帖子

想請問
因為題目是說求所夾二面角的餘弦值
因此我猶豫是否該加正負號
但瑋岳老師說找銳夾角餘弦值

想請問題目如果沒特別說銳夾角
答案要加正負號嗎
還是直接當成銳夾角呢
謝謝

thepiano 發表於 2021-7-11 08:22

回復 18# three0124 的帖子

題目是求 △QPB 和 △CPB 所夾兩面角的餘弦值

不是平面 QPB 和平面 CPB 所夾兩面角的餘弦值

這題的兩面角應是鈍角

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