101 宜蘭高中
請教以下幾題 :1. 雙曲線與直線 x+y=8 相切 , 焦點 (0,4 ),(10,0) , 求雙曲線正焦弦長 ?
2. (1*2/2*3)+(2*2^2/3*4)+(3*2^3/4*5)+......+(10*2^10/11*12) 的最簡分數?
(100中科是 考相乘 , 改成相加, 我用暴力解, 有否其他做法 ? )
3. a,b 為實數 , 求根號 [(a-6)^2+4] + 根號 [a^2+b^2] + 根號 [ (b-3)^2+16 ] 的最小值 ?
(題目我忘了, 化簡成如上, 請問要如何判斷最小值 ? )
4. 五位數, 各位數字和為12 , 請問有幾個五數字符合?
[[i] 本帖最後由 mandy 於 2012-6-8 04:54 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]mandy[/i] 於 2012-6-8 04:51 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6196&ptid=1397][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教以下幾題 :
1. 雙曲線與直線 x+y=8 相切 , 焦點 (0,4 ),(10,0) , 求雙曲線正焦弦長 ?
[/quote]
假設P在雙曲線左葉,F'(0,4) ,F(10,0) ,
K為F' 以x+y=8為對稱軸的對稱點,則K(4,8)
依光學性質與雙曲線定義可知
PF-PF' =PF-PK=KF=10=2a ,a=5
2c=FF'=2*29^0.5 ,c=29^0.5
b^2=c^2-a^2=29-25=4 ,b=2
所求=2b^2/a=8/5
4. 五位數, 各位數字和為12 , 請問有幾個五數字符合?
4. 五位數, 各位數字和為12 , 請問有幾個五數字符合?我自己的算法，
各位數為a,b,c,d,e
a+b+c+d+e=12, a>1 , a,b,c,d,e<10
(a-1)+b+c+d+e=11
全部-(11,0,0,0,0)-(10,1,0,0,0)
=H(5,11)-5-C(5,2)
=1365-5-20=1340
填充四
我算H(5,12-1)-C(4,1)*H(5,12-1-10)-1*H(5,12-10)=C(15,11)-4*C(5,1)-C(6,2)
=1365-20-15
=1330 \(\displaystyle \sum _{k=1}^{10} \frac{k \times 2^k}{(k+1)(k+2)} \)
\(\displaystyle =\sum _{k=1}^{10} k \times 2^k \times (\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}) \)
\(\displaystyle =1+\sum _{k=1}^9 \frac{1}{k+2}[(k+1) \times 2^{k+1}-k \times 2^k]-\frac{10 \times 2^{10}}{12} \)
\(\displaystyle =1+\sum _{k=1}^9 \frac{1}{k+2} \times 2^k \times (2k+2-k)-\frac{5 \times 2^9}{3} \)
\(\displaystyle =1+2+4+ \cdots +512-\frac{2560}{3} \)
\(\displaystyle =\frac{509}{3} \) [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2012-6-8 10:00 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6208&ptid=1397][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
\(\displaystyle \sum _{k=1}^{10} \frac{k \times 2^k}{(k+1)(k+2)} \)
\(\displaystyle =\sum _{k=1}^{10} k \times 2^k \times (\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}) \) ... [/quote]
王老師
請問第2式到第3式
怎麼得到
不好意思,這裡看不太懂
謝謝
回復 7# arend 的帖子
你把前幾項寫出來，然後分母相同的收在一起就可以了。回復 6# weiye 的帖子
瑋岳老師居然用這麼神奇的招式~~\(\ P(6,-2),A(a,0),B(0,b),Q(-4,3) \)
所求為\( PA+AB+BQ \)的最小值
回復 9# 老王 的帖子
老王老師的方法比較好。：） 請問５. 有一比賽, 有5位裁判，裁判給分的方式只有3分、4分、5分, 已知某ㄧ選手得20分, 試問裁判給選手得分的情形有______種 。
回復 6# weiye 的帖子
請教瑋岳老師,我用你的方法算出來a=8,b=8,怪怪的,不知我是否算錯?回復 2# Ellipse 的帖子
超棒的方法,受教了,感恩回復 11# brace 的帖子
我這方法不好，且有 bug，已刪！：Ｐ而且原本附圖也打錯邊長！
修正後圖案如下～
[attach]1213[/attach]
紅色線段長＝\(\sqrt{\left(\left(6-a\right)+a+4\right)^2+\left(2+b+(3-b)\right)^2}=5\sqrt{5}\)
得所求的下界為 \(5\sqrt{5}\)
且當 \(\displaystyle\frac{6-a}{2}=\frac{a}{b}=\frac{4}{3-b}\) 時，下界即為最小值。
而我說的 bug ，就是指～我在解讀題目時，不知不覺自己多加上了 \(0<a<6\) 與 \(0<b<3\) ，但這是題目所沒有說的！
所以，我這樣解是不行的！還是老王老師的方法好！
真要修正的話，應該如下圖～
[attach]1214[/attach]
利用 \(|6-a|+|a|+4\geq|(6-a)+a|+4=10\) 且 \(2+|b|+|3-b|\geq2+|b+(3-b)|=5\)
所以當兩股有最小值時，\(0\leq a\leq 6\) 與 \(0\leq b\leq 3\)，
然後再用畢氏定理，找出紅線的下界，
然後再求當三小段斜邊的斜率相同的 \(a\) 與 \(b\) 值，即可得下界即為最小值。 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-6-8 05:31 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6199&ptid=1397][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
假設P在雙曲線左葉,F'(0,4) ,F(10,0) ,
K為F' 以x+y=8為對稱軸的對稱點,則K(4,8)
依光學性質與雙曲線定義可知
PF-PF' =PF-PK=KF=10=2a ,a=5
2c=FF'=2*29^0.5 ,c=29^0.5
b^2=c^2-a^2=29-25=4 ,b=2
所求=2b^2/a=8/5 ... [/quote]
請問第四行的PF-PK=KF
是為何？一直理不出頭緒
謝謝 [quote]原帖由 [i]brace[/i] 於 2012-6-8 09:44 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6207&ptid=1397][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我算H(5,12-1)-C(4,1)*H(5,12-1-10)-1*H(5,12-10)
=C(15,11)-4*C(5,1)-C(6,2)
=1365-20-15
=1330 [/quote]
我算H(5,12-1)-C(4,1)*H(5,12-1-10)-1*H(5,12-10)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^
可以解釋後面的意思嗎?
回復 15# mandy 的帖子
原式=全部的-不合的=全部的-(個,十,百,千位數字大於或等於十的情況)-再扣掉萬位數字大於或等於十的情況
回復 13# weiye 的帖子
了解了,謝謝你^^ [quote]原帖由 [i]march2001kimo[/i] 於 2012-6-10 12:28 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6258&ptid=1397][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請問第四行的PF-PK=KF
是為何？一直理不出頭緒
謝謝 [/quote]
K會在PF上 我想問一下這一題 應該沒有記錯題目
\( \forall x \in R \)，\( \displaystyle f(x)=\frac{a^x}{a^x+\sqrt{a}} \)，則\( \displaystyle \sum_{i=1}^{1000}f \left( \frac{i}{1001} \right)= \)？ [quote]原帖由 [i]meifang[/i] 於 2012-6-11 12:10 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6292&ptid=1397][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我想問一下這一題 應該沒有記錯題目 [/quote]
頭尾配:
f(1)+f(1000)=1
f(2)+f(999)=1
....
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