Math Pro 數學補給站's Archiver

少林寺的和尚武功千變萬化、飛簷走壁,
是過去挑了多少桶水上山?

matric0830 發表於 2012-6-4 16:42

請問幾題問題?

題目:
1. n!展開後末尾有1981個0,則n的最大值為?
2. 4444^4444展開後各位數字和A,A之各位數字和為B,則B=?
3. x,y為自然數,x/y為最簡真分數,x+y=3980之(x,y)有幾組?
4. 5x-y-z=15,x^2+y^2+z^2=1997的所有正整數解。

[[i] 本帖最後由 matric0830 於 2012-6-4 04:46 PM 編輯 [/i]]

weiye 發表於 2012-6-4 23:47

回復 1# matric0830 的帖子

第 1 題:\(n!\) 展開後末尾有 \(1981\) 個 \(0\),則 \(n\) 的最大值為?

解答:

因為 \(1\) 至 \(n\) 當中顯然偶數個數會比五的倍數多很多,所以只需考慮 \(n!\) 化為標準分解式之後會有多少個五,

則 \(n!\) 尾端就會有多少個零。

\(5!\) 尾端有 \(1\) 個零,

\((5^2)!\) 尾端有 \(1+5=6\) 個零

\((5^3)!\) 尾端有 \(1+5+5^2=31\) 個零

\((5^4)!\) 尾端有 \(1+5+5^2+5^3=156\) 個零

\((5^5)!\) 尾端有 \(1+5+5^2+5^3+5^4=781\) 個零

\((5^6)!\) 尾端有 \(1+5+5^2+5^3+5^4+5^5=3906\) 個零~哇~

哇勒~爆掉了~得縮小一點才行~

因為 \(1981=2\cdot781+2\cdot156+3\cdot31+2\cdot6+2\cdot1\)

所以來研究一下 \((2\cdot5^5+2\cdot5^4+3\cdot5^3+2\cdot5^2+2\cdot5)!\) 好了~

它的尾端有 \(2\cdot781+2\cdot156+3\cdot31+2\cdot6+2\cdot1=1981\) 個零

而 \((2\cdot5^5+2\cdot5^4+3\cdot5^3+2\cdot5^2+3\cdot5)!\) 就會是尾端有 \(1982\) 個零的數了。

故, \(n\) 可以是  \((2\cdot5^5+2\cdot5^4+3\cdot5^3+2\cdot5^2+2\cdot5)\)

      至 \((2\cdot5^5+2\cdot5^4+3\cdot5^3+2\cdot5^2+3\cdot5-1)\) 間的任何一個數都可以,

可得 \(n\) 的最大值為 \(2\cdot5^5+2\cdot5^4+3\cdot5^3+2\cdot5^2+3\cdot5-1=3989\)

weiye 發表於 2012-6-5 00:14

回復 1# matric0830 的帖子

第 2 題的題目似乎有誤?應該是要求 B 的各位數字和?(1975年IMO考題)



第 2 題:\(4444^{4444}\) 展開後各位數字和A,A之各位數字和為B,則B之各位數字和=?

答案:

因為 \(4444^{4444}<10000^{4444}=10^{22220} \),

所以 \(4444^{4444}\) 乘開後頂多是 \(22221\) 位數字,所以 \(A\) 必不超過 \(9\cdot22221=199989<199999\)

因此,\(B\) 必不超過 \(1+9+9+9+9+9=46\),可知 \(B\) 的各位數字和必不超過 \(3+9=12\)

再來考慮 \(4444^{4444}\) 除以 \(9\) 的餘數,

\(4444\equiv7\pmod9\Rightarrow 4444^{4444}\equiv 7^{4444}\pmod9\)

因為 \(gcd(7,9)=1\),所以 \(7^6\equiv1\pmod{9}\)

 (這裡偷偷用了尤拉推廣費馬小定理的版本 [url=http://zh.wikipedia.org/zh-tw/歐拉定理_(數論)]http://zh.wikipedia.org/zh-tw/歐拉定理_(數論)[/url])

且由於 \(4444\equiv4\pmod6\),所以 \(7^{4444}\equiv 7^4\equiv 7\pmod9\)

因此 \(B\) 的各位數字和除以 \(9\) 的餘數為 \(7\),且因為 \(B\) 的各位數字和必不超過 \(12\)

故,\(B\) 的各位數字和為 \(7\)。

weiye 發表於 2012-6-5 00:26

回復 1# matric0830 的帖子

第 3 題:\(x,y\) 為自然數,\(x/y\) 為最簡真分數,\(x+y=3980\) 之(\(x,y\))有幾組?

\(3980=2^2\cdot5\cdot199\)

\(\Rightarrow \) 在 \(1\) 到 \(3980\) 之間且與 \(3980\) 互質的數有 \(\displaystyle 3980\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{199}\right)=1584\) 個。

故,所求有 \(\displaystyle \frac{1584}{2}=792\) 組。




ps. 夜深了,頭昏昏想睡覺,如果有錯誤記得提醒小弟一下,感謝!:D

matric0830 發表於 2012-6-5 08:57

謝謝老師

請問老師,真的很謝謝您播時間解題...
第1題中
1981=2*781+2*156+3*31+2*6+2*1此式如何找出前面的2,2,3,2,2倍呢?

[[i] 本帖最後由 matric0830 於 2012-6-5 09:02 AM 編輯 [/i]]

weiye 發表於 2012-6-5 09:06

回復 5# matric0830 的帖子

1981 除以 781 → 商 2 ,餘 419
(也就是 1981 最多可以抽出兩個 781,剩下的 419 只能由更小的數字來拼湊了!)

419 除以 156 → 商 2 ,餘 107
(也就是 419 最多可以抽出兩個 156,剩下的 107 只能由更小的數字來拼湊了!)

107 除以 31 → 商 3 ,餘 14
(也就是 107 最多可以抽出三個 31,剩下的 14 只能由更小的數字來拼湊了!)

14 除以 6 → 商 2 ,餘 2
(也就是 16 最多可以抽出兩個 6,剩下的 2 只能由更小的數字來拼湊了!)

2 除以 1 → 商 2,整除
(2就是兩個1了!)

matric0830 發表於 2012-6-5 09:35

回復 3# weiye 的帖子

為什麼4444^4444 除以 9 的餘數會等於B的各位數字和除以9的餘數呢?

matric0830 發表於 2012-6-5 09:48

回復 6# weiye 的帖子

老師謝謝您,我懂了。:)

頁: [1]

論壇程式使用 Discuz! Archiver 6.1.0  © 2001-2007 Comsenz Inc.