101全國聯招
這次真快~~ 設\(\overline{AD}\)為直角\(\Delta ABC\)之斜邊上的高，過\(D\)分別作\(\overline{DE}⊥\overline{AB}\)，\(\overline{DF}⊥\overline{AC}\)，令\(\overline{BC}=a\)，\(\overline{BE}=x\)，\(\overline{CF}=y\)，求證\(\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}\)。[解答]
計算題第二題沒寫，在台中火車站才想出來。等等答案貼上來，是用相似形跟畢氏定理可以證出來。去年七十二分過，今年考試人數變多，不知幾分才可以過。
111.3.9補充
出自"數學解題思維方法"
[url]https://www.silkbook.com/book_detail.asp?goods_ser=bk0029015[/url] 計算證明題3.
設n為自然數，試以數學歸納法證明：\( \displaystyle \frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \)為一自然數
thepiano給了數學歸納法的解法
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2831]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2831[/url]
我提供另一種方法
原式\( \displaystyle =\frac{1}{5}(n^5-n)+\frac{1}{3}(n^3-n)+\frac{1}{2}n(n+1)(n^2-n+1) \)
前兩個用費馬小定理得知是正整數，最後一個相鄰的兩整數有2的因數所以也是正整數 我將原式因式分解成[(n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)]/30=sigma(t^4){t=1~n}
則n=k+1時 sigma(t^4){t=1~k+1}=sigma(t^4){t=1~k)+(k+1)^4屬於自然數
不知這樣可不可以?
很抱歉，不會打數學符號
回復 4# wooden 的帖子
很厲害的方法，竟然能洞察出它是這個級數和以數學邏輯證明而毫無問題，但題目指定數學歸納法
所以很可惜... 若\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(1^2+2^2+\ldots+n^2)(1^5+2^5+\ldots+n^5)}{(1^3+2^3+\ldots+n^3)(1^4+2^4+\ldots+n^4)}=\frac{b}{a}\)(\(a,b\)為整數，且\(\displaystyle \frac{b}{a}\)為一最簡分數)，則\(a+b=\)？
(A)37 (B)29 (C)22 (D)19。
[解答]
做一題選擇第5題
回復 6# hua0127 的帖子
單選第 5 題：若\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(1^2+2^2+\ldots+n^2)(1^5+2^5+\ldots+n^5)}{(1^3+2^3+\ldots+n^3)(1^4+2^4+\ldots+n^4)}=\frac{b}{a}\)(\(a,b\)為整數，且\(\displaystyle \frac{b}{a}\)為一最簡分數)，則\(a+b=\)？
(A)37 (B)29 (C)22 (D)19。
[解答]
來個另解，
所求＝\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle \left(\frac{1}{3}n^3+O(n^2)\right)\left(\frac{1}{6}n^6+O(n^5)\right)}{\displaystyle \left(\frac{1}{4}n^3+O(n^3)\right)\left(\frac{1}{5}n^5+O(n^4)\right)}\)
\(\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{18}n^9+O(n^8)}{\displaystyle \frac{1}{20}n^9+O(n^8)}\)
\(\displaystyle=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}\)
回復 6# hua0127 的帖子
單選 5.若\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(1^2+2^2+\ldots+n^2)(1^5+2^5+\ldots+n^5)}{(1^3+2^3+\ldots+n^3)(1^4+2^4+\ldots+n^4)}=\frac{b}{a}\)(\(a,b\)為整數，且\(\displaystyle \frac{b}{a}\)為一最簡分數)，則\(a+b=\)？
(A)37 (B)29 (C)22 (D)19。
[解答]
很標準的做法，如果是小弟在考場裡的話，看到選擇題就會偷懶
\(\displaystyle \frac{\frac13\cdot\frac16}{\frac14\cdot\frac15}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9} \)
然後就填答案了，至於為什麼可以偷懶，有空的人自己想想吧
慢了一步...還被揭底了
設\(\overline{AD}\)為直角\(\Delta ABC\)之斜邊上的高，過\(D\)分別作\(\overline{DE}⊥\overline{AB}\)，\(\overline{DF}⊥\overline{AC}\)，令\(\overline{BC}=a\)，\(\overline{BE}=x\)，\(\overline{CF}=y\)，求證\(\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}\)。
[解答]
好吧，只好來做 計算 2. 來個暴力另解
坐標化. \( A(0,0),\, B(c,0),\, C(0,b) \) ，則 \(\displaystyle D(\frac{b^2c}{a^2},\frac{bc^2}{a^2}) \)
所以 \(\displaystyle x = \frac{c^3}{a^2},\, y = \frac{b^3}{a^2} \Rightarrow x^{\frac23}+y^{\frac23} = a^{\frac23} \) [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-6-3 07:37 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6031&ptid=1385][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
很標準的做法，如果是小弟在考場裡的話，看到選擇題就會偷懶
\( \frac{\frac13\cdot\frac16}{\frac14\cdot\frac15}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9} \)
然後就填答案了，至於為什麼可以偷懶，有空的人自己想想吧
慢了一步... ... [/quote]
你都會這樣偷吃步的做法勒，我今天在考場都老實運算，結論寫不完
填充題，書豪那一題要怎麼想，還有求f多項式那題
回復 9# shingjay176 的帖子
填充 8.大雄、小夫、胖虎、宜靜、小安、大仁、書豪、建民，這8人都有網路帳號，他們本來只認識其中的少數某些人，經過一段時間後調查發現，每個人都恰好認識了自己以外的5個朋友(即每個人有2個人還不認識)，請問總共有[u] [/u]種不同的組成方式？
[解答]
想成環排 不認識的站在一起
可以三種情況 (1) 8 個人一圈 (2) 5個 3 個各一圈 (3) 4 個 4 個各一圈
之後再算，應該就出來了
至於填充 4 的多項式，也沒想到什麼好方法，代定係數解方程式？！不太想動筆
回復 9# shingjay176 的帖子
填充題第 4 題：設\(f(x),g(x)\)分別為二次及三次的多項式，且滿足\((1-4x)[f(x)+x(f(x))^2]=1+x^3g(x)\)，則多項式\(f(x)=\)[u] [/u]。
[解答]
\(x=0\) 帶入題目所給的條件，可得 \(f(0)=1\)
令 \(f(x)=ax^2+bx+1\) 帶入 \(\left(1-4x\right)\left[f\left(x\right)+x\left(f\left(x\right)\right)^2\right]\)
展開～（不用全寫出來啦～只要找出展開後 \(x\) 的一次與二次項係數就好～）
展開後按升冪排列，可得 \(1+(b-3)x+(a-2b-4)x^2+\cdots=1+x^3 g(x)\)
因此 \(b-3=0\) 且 \(a-2b-4=0\Rightarrow a=10, b=3\)，
故 \(f(x)=10x^2+3x+1.\) 填充8
大雄、小夫、胖虎、宜靜、小安、大仁、書豪、建民，這8人都有網路帳號，他們本來只認識其中的少數某些人，經過一段時間後調查發現，每個人都恰好認識了自己以外的5個朋友(即每個人有2個人還不認識)，請問總共有[u] [/u]種不同的組成方式？
[解答]
剛寫完詳解 計算2
設\(\overline{AD}\)為直角\(\Delta ABC\)之斜邊上的高，過\(D\)分別作\(\overline{DE}⊥\overline{AB}\)，\(\overline{DF}⊥\overline{AC}\)，令\(\overline{BC}=a\)，\(\overline{BE}=x\)，\(\overline{CF}=y\)，求證\(\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}\)。
[解答]
忘記在哪寫過，不過考試時也沒寫出來。
回復 9# shingjay176 的帖子
第4題設\(f(x),g(x)\)分別為二次及三次的多項式，且滿足\((1-4x)[f(x)+x(f(x))^2]=1+x^3g(x)\)，則多項式\(f(x)=\)[u] [/u]。
[解答]
我是想到
先將x=0代入得f(0)=1
再將等式兩邊一起微分後
x=0代入可得f ′(0)=3
再微一次後
將x=0代入可得f "(0)=20
所以f(x)=10x^2+3x+1 [quote]原帖由 [i]沙士[/i] 於 2012-6-3 10:28 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6041&ptid=1385][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第9題我是想到
先將x=0代入得f(0)=1
再將等式兩邊一起微分後
x=0代入可得f ′(0)=3
再微一次後
將x=0代入可得f "(0)=20
所以f(x)=10x^2+3x+1 [/quote]
我是有想到f(0)=1,後面的就沒想到，時間真的好趕，很怕題目做不完，當下沒有念頭就換題。估一下分數，七十出頭。 [quote]原帖由 [i]沙士[/i] 於 2012-6-3 10:28 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6041&ptid=1385][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第9題我是想到
先將x=0代入得f(0)=1
再將等式兩邊一起微分後
x=0代入可得f ′(0)=3
再微一次後
將x=0代入可得f "(0)=20
所以f(x)=10x^2+3x+1 [/quote]
我的想法跟您一樣！
不過不太想算就是了 哈哈
今天這張說真的感覺不難......不過算的時候真的很卡 = =a
都不知道自己在算什麼... [quote]原帖由 [i]lianger[/i] 於 2012-6-3 08:22 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6036&ptid=1385][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算2忘記在哪寫過，不過考試時也沒寫出來。 [/quote]
解的很漂亮喔，用投影cosθ去解，我考場圖也畫了，θ也標出來了，考場一個念頭沒有，就
趕緊換題，時間真的會逼人思考，可怕的壓力。你的方法比我簡化很多，我學起來了。謝謝 [quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2012-6-3 10:34 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6042&ptid=1385][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我是有想到f(0)=1,後面的就沒想到，時間真的好趕，很怕題目做不完，當下沒有念頭就換題。估一下分數，七十出頭。 [/quote]
今年的題目比去年難寫~(去年A,B區門檻都七十幾分)
所以您考七十幾分,進複試的機會很大~加油~ [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-6-3 07:37 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6031&ptid=1385][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
單選 5.
很標準的做法，如果是小弟在考場裡的話，看到選擇題就會偷懶
\( \frac{\frac13\cdot\frac16}{\frac14\cdot\frac15}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9} \)
然後就填答案了，至於為什麼可以偷懶，有空的人自己想想吧
慢 ... [/quote]
真厲害，最簡單的方法，最穩的方法拿分數，就是回歸最原始的暴力法。狠狠給它暴下去 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-6-3 10:51 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6045&ptid=1385][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
今年的題目比去年難寫~(去年A,B區門檻都七十幾分)
所以您考七十幾分,進複試的機會很大~加油~ [/quote]
今年寫完後，感覺比去年難寫，又有多重選，全對才給分，寫的好小心。
新北市是寫的很順９６，說不定大家都高分，跟教育科目合併後，８３。１分