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小確幸 ─ 「生活中微小但確切的幸福」

basess8 發表於 2012-6-2 22:01

101中正預校

考試時記錄下來的,有錯請指證

【註:weiye 於 6/3 加上中正預校公布的填充題試題與答案】

bugmens 發表於 2012-6-2 23:02

感謝分享
3.
設數列\( a_1=1,a_2=3 \),\( \forall n \in N \)都有\( a_n a_{n+1} \ne 2 \),且\( a_n a_{n+1}a_{n+2}=2(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}) \),\( \displaystyle \sum_{n=1}^{100}a_n= \)?
[提示]
\( a_{n+1} a_{n+2}a_{n+3}=2(a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}) \)
\( a_n a_{n+1}a_{n+2}=2(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}) \)
兩式相減得
\( a_{n+1}a_{n+2}(a_{n+3}-a_n)=2(a_{n+3}-a_n) \)
\( (a_{n+1}a_{n+2}-2)(a_{n+3}-a_n)=0 \)
∵\( a_{n+1}a_{n+2} \ne 2 \)
∴\( a_{n+3}=a_n \)

數列\( \{\; a_n \}\; \)中,已知\( a_1=2 \),\( a_{n+1}>a_n \),且\( a_{n+1}^2+a_n^2+4=2a_{n+1}a_n+4a_{n+1}+4a_n \),則一般項\( a_n= \)?
(98師大附中,[url=https://math.pro/db/thread-735-1-1.html]https://math.pro/db/thread-735-1-1.html[/url])

7.
若\( g(x)=8x^3-4x^2-4x+3 \),求\( \displaystyle g(sin \frac{\pi}{14}) \)的值?
[解答]
令\( \displaystyle \theta=\frac{\pi}{14} \),\( 7 \theta=\frac{\pi}{2} \),\( 4 \theta=\frac{\pi}{2}-3 \theta \),\( sin(4 \theta)=sin(\frac{\pi}{2}-3 \theta) \)
\( 2 sin(2 \theta)cos(2 \theta)=cos(3 \theta) \),
\( 2 \cdot 2 sin \theta cos \theta(1-2 sin^2 \theta)=4 cos^3 \theta-3 cos \theta \)
\( 4 sin \theta(1-2 sin^2 \theta)=4 cos^2 \theta-3 \)
\( 8sin^3 \theta-4 sin^2 \theta-4 sin \theta+3=2 \)

計算題1.
設\( a_1=10 \),\( \displaystyle \frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_1 a_2 a_3 ... a_{n-1}+1} \),\( n \ge 2 \)。\( \forall n \in N \),\( \displaystyle \sum_{n=1}^k \frac{1}{a_n}<A \)恆成立。求A的最小值?

設有一實數列\( \{\; a_n \}\; \),且\( a_1=1 \),\( a_{n+1}=1+a_1 a_2 ... a_n \)( \( n=1,2,3,... \) )試求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}= \)?
[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=19134]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=19134[/url]

2.
求出所有正整數n使得\( 4^n+n^4 \)為質數
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840[/url]

證明題1.
投擲均勻銅板\( 2n \)次,至少出現n次正面的機率為\( \displaystyle \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2n+1} \times C_n^{2n} \)

擲一公正骰子200次,至少出現100次正面的機率為\( a+(\frac{1}{2})^k C_{100}^{200} \),則數對\( (a,k)= \)?
(99彰化女中,[url]https://math.pro/db/thread-948-1-1.html[/url])

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-3 12:03 AM 編輯 [/i]]

Herstein 發表於 2012-6-2 23:10

回復 2# bugmens 的帖子

這樣會構成 a_n+1*a_n+2=2 ?

hua0127 發表於 2012-6-2 23:50

[quote]原帖由 [i]Herstein[/i] 於 2012-6-2 11:10 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6011&ptid=1383][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這樣會構成 a_n+1*a_n+2=2 ? [/quote]

應該是不會,因為兩式相減之後可整理為 ( a(n+3)-a(n) ) (a(n+2)*a(n+1)-2 )=0
由題意可推知 a(n+3)-a(n)=0

Herstein 發表於 2012-6-2 23:56

回復 4# hua0127 的帖子

了解 我剛把a(n+3)-a(n) 認定非零 把他消去了
感謝!

Ellipse 發表於 2012-6-3 14:52

[quote]原帖由 [i]basess8[/i] 於 2012-6-2 10:01 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6004&ptid=1383][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
考試時記錄下來的,有錯請指證 [/quote]

這次應該不會有很多人100分了~~

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2012-6-3 05:05 PM 編輯 [/i]]

Crazystan 發表於 2012-6-3 21:51

想請教一下第5,6,8題  

謝謝!!

weiye 發表於 2012-6-3 21:58

回復 7# Crazystan 的帖子

填充題第 5 題:

\(17 \equiv -3 \pmod{10}\)

\(\Rightarrow 17^{4} \equiv (-3)^4\equiv 1 \pmod{10}\)

而 \(17^{17}=\left(16+1\right)^{17}\equiv 1\pmod{4}\)

所以,\(17^{17^{17}}\equiv 17^1\equiv 7\pmod{10}\)

weiye 發表於 2012-6-3 22:20

回復 7# Crazystan 的帖子

填充第 6 題:

既然 \(\displaystyle <r_n>\) 收斂,就先來求一下極限值好了,

令 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} r_n=k \),則 \(\displaystyle k=\frac{5}{2}k-k\Rightarrow k=0\)

好吧,回到正題,來求 \(\displaystyle a_2\)

先將題目給的式子改寫成 \(\displaystyle r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}= 2 (r_{n-1}-\frac{1}{2} r_{n-2})\)

再列出如下列 \(\displaystyle n-2\) 個式子,

\(\displaystyle r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}= 2 (r_{n-1}-\frac{1}{2} r_{n-2})\)

\(\displaystyle r_{n-1}-\frac{1}{2} r_{n-2}= 2 (r_{n-2}-\frac{1}{2} r_{n-3})\)

\(\displaystyle r_{n-2}-\frac{1}{2} r_{n-3}= 2 (r_{n-3}-\frac{1}{2} r_{n-4})\)

‧‧‧‧‧‧

\(\displaystyle r_3-\frac{1}{2} r_2= 2 (r_2-\frac{1}{2} r_1)\)

case i: 若 \(\displaystyle r_2-\frac{1}{2} r_1\neq0\),則 \(\displaystyle r_3-\frac{1}{2} r_2\neq0\)

    \(\displaystyle \Rightarrow r_4-\frac{1}{2} r_4\neq0\Rightarrow \cdots\Rightarrow r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}\neq0\)

    將上列 \(\displaystyle n-2\) 個式子相乘,可得 \(\displaystyle r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}= 2^{n-2}\left(r_2-\frac{1}{2} r_1\right)\)

    \(\displaystyle \Rightarrow r_2-\frac{1}{2} r_1=\frac{r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}}{2^{n-2}}\)

    (有沒有發現到,等號左邊是定數,右邊卻會隨 \(\displaystyle n\) 而改變)

    因為 \(\displaystyle r_2-\frac{1}{2} r_1 \) 是常數時,因此 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}}{2^{n-2}}= r_2-\frac{1}{2} r_1\)

    另一方面,因為 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} r_n= 0\),所以 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}}{2^{n-2}}=0\)

    可得 \(\displaystyle r_2-\frac{1}{2} r_1=0\),矛盾。
     (注意:是〝等於〞不是〝趨近〞)

case ii: 若 \(\displaystyle r_2-\frac{1}{2} r_1=0\),則 \(\displaystyle r_2=\frac{1}{2} r_1=\frac{2003}{2}\)

weiye 發表於 2012-6-3 22:53

回復 7# Crazystan 的帖子

填充第 8 題:設 \(g(x)\) 及 \(f(x)\) 分別為一元六次多項式且 \(g(x)=f(x)-a=0\),當 \(a = 2, 4, 6, 8, 10\) 時,

\(g(x)=0\)的根分別為 \(1, 2, 3, 4, 5\),求 \(f(10)+f(-4)\) 之值為_____________.




解答:

令 \(h(x)=f(x)-2x\),則 \(h(x)\) 為六次多項式且

\(h(1)=f(1)-2=g(1)=0, h(2)=f(2)-4=g(2)=0, \cdots, h(5)=f(5)-10=g(5)=0\)

由因式定理,可知 \(h(x)\) 有因式 \((x-1),(x-2),\cdots,(x-5)\)

且因為 \(h(x)\) 為六次多項式,可令 \(h(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(bx+c)\)

則 \(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(bx+c)+2x\)

\(f(10)+f(-4)=\left[9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\left(10b+c\right)+20\right]+\left[(-5)\cdot(-6)\cdot(-7)\cdot(-8)\cdot(-9)\left(-4b+c\right)-8\right]\)

   \(=9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot14\cdot b+12=211680b+12\)



怪哉,題目是否有疏漏?好像漏掉首項係數為 \(1\) (\(b=1\))的條件了?還是小弟哪裡眼花了嗎?

Crazystan 發表於 2012-6-4 20:04

瑋岳老師 謝謝您熱心的解答!!

wind2xp 發表於 2012-6-5 13:02

第8題我跟老師得到一樣的結果.....不知為何最後答案會是一個數字@@

第6題曾經看過類似題型是
r_n收斂  令原式為 X^2=5X/2 - X  得X=2與1/2

令r_n= a(2)^n+b(1/2)^n  很明顯當n趨近無限大時r_n不收斂,因此,a必為0

則r_n=b(1/2)^n  r_1=2003代入可得b=4006  即可求得r_2

不知道這樣想有沒有不完備

peter579 發表於 2012-6-5 17:23

請教一下  填充11、12、14 證明第二題

若是之前有考過,也麻煩一下,謝謝。

weiye 發表於 2012-6-5 17:39

回復 13# peter579 的帖子

填充第 11 題:設袋中有 \(4\) 個紅球, \(6\) 個黑球,今自袋中隨機一次取一個球出來,共取 \(3\) 次,取法分別為 (i) 取後放回, (ii) 取後不放回;兩種情形, (i) 及 (ii) ,分別取到紅球個數的期望值為 \(a\) 及 \(b\) ,求 \(a + b =\) ______________.


解答:
\(\displaystyle a=b=3\cdot\frac{4}{4+6}=\frac{6}{5}\)

或是也可以寫

\(\displaystyle a=3\cdot C^3_3\left(\frac{4}{10}\right)^3+2\cdot C^3_2\left(\frac{4}{10}\right)^2\left(\frac{6}{10}\right)+1\cdot C^3_1\left(\frac{4}{10}\right)\left(\frac{6}{10}\right)^2+0\cdot C^3_0\left(\frac{6}{10}\right)^3=\frac{6}{5}\)

\(\displaystyle b=3\cdot\frac{C^3_3 4\cdot3\cdot2}{10\cdot9\cdot8}+2\cdot\frac{C^3_2 4\cdot3\cdot6}{10\cdot9\cdot8}+1\cdot\frac{C^3_1 4\cdot6\cdot5}{10\cdot9\cdot8}+0\cdot\frac{C^3_0 6\cdot5\cdot4}{10\cdot9\cdot8}=\frac{6}{5}\)



\(\displaystyle \Rightarrow a+b=\frac{6}{5}+\frac{6}{5}=\frac{12}{5}\)

weiye 發表於 2012-6-5 17:48

回復 13# peter579 的帖子

填充第 12 題:設 \(x,y,z\) 均為實數,且滿足 \(x^2+y^2+z^2=2(2y-x-3z)\),求 \(2x-4y+6z+38\) 的最大值及最小值之和為_________________.

解答:

\(x^2+y^2+z^2=2(2y-x-3z)\)

\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=14\)

由柯西不等式,可得

\(\left((x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2\right)\left(1^2+\left(-2\right)^2+3^2\right)\geq \left((x+1)-2(y-2)+3(z+3)\right)^2\)

\(\Leftrightarrow 14^2\geq \left(x-2y+3z+14\right)^2\)

\(\Leftrightarrow -14\leq x-2y+3z+14\leq14\)

\(\Leftrightarrow -28\leq x-2y+3z\leq0\)

\(\Leftrightarrow -56\leq 2x-4y+6z\leq0\)

\(\Leftrightarrow -18\leq 2x-4y+6z+38\leq38\)

得 \(2x-4y+6z+38\) 的最大值與最小值分別為 \(38\) 與 \(-18\)

所求=\(38+(-18)=20\)

weiye 發表於 2012-6-5 17:57

回復 13# peter579 的帖子

填充第 14 題:設 \(a, b\) 為二正整數,已知它們的最小公倍數為 \(2^6\times3^2\times11^2\times13\),則這樣的正整數對 \((a, b)\) 共有多少組?_____________.

解答:

先來討論一下 \(a\) 與 \(b\) 當中 \(2\) 這個質因數分配得情況好了~

因為最小公倍數有恰含有 \(2^6\),

所以 \(a\) 與 \(b\) 至少有一個質因數分解之後恰含有 \(2^6\)

  另一個寫成標準分解式之後可能有 \(2^0,2^1,2^2,\cdots,2^6\)

因此,\(a\) 與 \(b\) 當中 \(2\) 的因數分配情況可能有 \(2\cdot7-1\) 種。

(扣掉的那個是重複計算的,也就是 \(a\) 與 \(b\) 剛好都恰含有 \(2^6\) 的因數~被重複計算的次數)



其它同理,

因此,可得所求為 \((2\cdot7-1)(2\cdot3-1)(2\cdot3-1)(2\cdot2-1)=975\) 種。

阿光 發表於 2012-6-5 20:41

想請教填充第13題,謝謝

weiye 發表於 2012-6-5 22:14

回復 17# 阿光 的帖子

填充第 13 題:

先來研究一下規律好了~

想像有一排燈按照 \(a_na_{n-1}a_{n-2}a_{n-3}\cdots a_3a_2a_1\) 排列~

對照到剛剛那串排列順序~有出現 \(a_k\) 則 \(a_k\) 位置亮燈(寫成 \(1\)),

沒出現 \(a_k\) 則 \(a_k\) 位置不亮燈(寫成 \(0\)),

第一個位置對應到 → \(0000000\cdots00000\)

第二個位置對應到 → \(0000000\cdots00001\)

第三個位置對應到 → \(0000000\cdots00010\)

第四個位置對應到 → \(0000000\cdots00011\)

第五個位置對應到 → \(0000000\cdots00100\)

第六個位置對應到 → \(0000000\cdots00101\)

第七個位置對應到 → \(0000000\cdots00110\)

第八個位置對應到 → \(0000000\cdots00111\)

           \(\cdots\cdots\cdots\)

看出來了嗎? 第 \(k\) 個位置對應到的就是 \(k-1\) 的二進位數值

因為 \(155=128+16+8+2+1=2^7+2^4+2^3+2^1+2^0\)

所以要亮燈的分別是 \(a_8, a_5, a_4, a_2, a_1\)

因此,排在第 \(156\) 位置的是 \(a_1a_2a_4a_5a_8.\)

tuhunger 發表於 2012-6-6 11:18

回復 18# weiye 的帖子

0 [a1] [ a2  a12]  [a3  a13  a23  a123]  [a4  a14  a24  a34  a134 a234  a1234]  [a5  a15  a25....] ....
                                                                     ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
以4為例, 每個都會有4 , 前面就1,2,3亂取  共2^3=8種  依序為:沒取,1 ,2,3 ,12,13,23,123
若依此規律  似乎也滿足題意  但答案就@#$%

weiye 發表於 2012-6-6 13:07

其實昨天我看到這題的想法也跟你差不多,不過我是解讀成~~

\(I\) 當作是乘法單位元素,

然後每一群的元素就是把前面的每個元素從右邊乘上新增加的元素

I
^-------接下來要增加的是把前面的元素,由右邊乘上 a1,也就是增加 a1

I, [a1]
^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素,由右邊乘上 a2,也就是增加 a2,a12

I, [a1], [a2, a12]
^^^^^^^^^^^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素,由右邊乘上 a3,也就是增加 a3, a13, a23, a123

I, [a1], [a2, a12], [a3, a13, a23, a123]
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素,由右邊乘上 a4,也就是增加 a4, a14, a24, a124, a34, a134, a234, a1234

I, [a1], [a2, a12], [a3, a13, a23, a123], [a4, a14, a24, a124, a34, a134, a234, a1234], .........

不過後來想想,上面這個規律與二進位是相同的,所以就用二進位來處理比較方便。

不過如果每群新增加的元素排列的規律,如 tuhunger 老師所提的,或許也有可能~

畢竟題目是用"以此類推"四個字,每個人找到的規律的確有可能不同,

而數列,除非題目有詳細說明規律,不然若純以條列的方式,的確下一個元素是誰都可以。

:)

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