101中正預校(頁 1) - 高中的數學 - Math Pro 數學補給站

basess8 發表於 2012-6-2 22:01

101中正預校

考試時記錄下來的，有錯請指證

【註：weiye 於 6/3 加上中正預校公布的填充題試題與答案】

bugmens 發表於 2012-6-2 23:02

感謝分享
3.
設數列$ a_1=1,a_2=3 $，$ \forall n \in N $都有$ a_n a_{n+1} \ne 2 $，且$ a_n a_{n+1}a_{n+2}=2(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}) $，$ \displaystyle \sum_{n=1}^{100}a_n= $？
[提示]
$ a_{n+1} a_{n+2}a_{n+3}=2(a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}) $
$ a_n a_{n+1}a_{n+2}=2(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}) $
兩式相減得
$ a_{n+1}a_{n+2}(a_{n+3}-a_n)=2(a_{n+3}-a_n) $
$ (a_{n+1}a_{n+2}-2)(a_{n+3}-a_n)=0 $
∵$ a_{n+1}a_{n+2} \ne 2 $
∴$ a_{n+3}=a_n $

數列$ \{\; a_n \}\; $中，已知$ a_1=2 $，$ a_{n+1}>a_n $，且$ a_{n+1}^2+a_n^2+4=2a_{n+1}a_n+4a_{n+1}+4a_n $，則一般項$ a_n= $？
(98師大附中，[url=https://math.pro/db/thread-735-1-1.html]https://math.pro/db/thread-735-1-1.html[/url])

7.
若$ g(x)=8x^3-4x^2-4x+3 $，求$ \displaystyle g(sin \frac{\pi}{14}) $的值？
[解答]
令$ \displaystyle \theta=\frac{\pi}{14} $，$ 7 \theta=\frac{\pi}{2} $，$ 4 \theta=\frac{\pi}{2}-3 \theta $，$ sin(4 \theta)=sin(\frac{\pi}{2}-3 \theta) $
$ 2 sin(2 \theta)cos(2 \theta)=cos(3 \theta) $，
$ 2 \cdot 2 sin \theta cos \theta(1-2 sin^2 \theta)=4 cos^3 \theta-3 cos \theta $
$ 4 sin \theta(1-2 sin^2 \theta)=4 cos^2 \theta-3 $
$ 8sin^3 \theta-4 sin^2 \theta-4 sin \theta+3=2 $

計算題1.
設$ a_1=10 $，$ \displaystyle \frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_1 a_2 a_3 ... a_{n-1}+1} $，$ n \ge 2 $。$ \forall n \in N $，$ \displaystyle \sum_{n=1}^k \frac{1}{a_n}<A $恆成立。求A的最小值？

設有一實數列$ \{\; a_n \}\; $，且$ a_1=1 $，$ a_{n+1}=1+a_1 a_2 ... a_n $( $ n=1,2,3,... $ )試求$ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}= $？
[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=19134]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=19134[/url]

2.
求出所有正整數n使得$ 4^n+n^4 $為質數
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840[/url]

證明題1.
投擲均勻銅板$ 2n $次，至少出現n次正面的機率為$ \displaystyle \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2n+1} \times C_n^{2n} $

擲一公正骰子200次，至少出現100次正面的機率為$ a+(\frac{1}{2})^k C_{100}^{200} $，則數對$ (a,k)= $？
(99彰化女中，[url]https://math.pro/db/thread-948-1-1.html[/url])

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-3 12:03 AM 編輯 [/i]]

Herstein 發表於 2012-6-2 23:10

回復 2# bugmens 的帖子

這樣會構成 a_n+1*a_n+2=2 ?

hua0127 發表於 2012-6-2 23:50

[quote]原帖由 [i]Herstein[/i] 於 2012-6-2 11:10 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6011&ptid=1383][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這樣會構成 a_n+1*a_n+2=2 ? [/quote]

應該是不會，因為兩式相減之後可整理為 ( a(n+3)-a(n) ) (a(n+2)*a(n+1)-2 )=0
由題意可推知 a(n+3)-a(n)=0

Herstein 發表於 2012-6-2 23:56

回復 4# hua0127 的帖子

了解我剛把a(n+3)-a(n) 認定非零把他消去了
感謝!

Ellipse 發表於 2012-6-3 14:52

[quote]原帖由 [i]basess8[/i] 於 2012-6-2 10:01 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6004&ptid=1383][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
考試時記錄下來的，有錯請指證 [/quote]

這次應該不會有很多人100分了~~

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2012-6-3 05:05 PM 編輯 [/i]]

Crazystan 發表於 2012-6-3 21:51

想請教一下第5,6,8題

謝謝!!

weiye 發表於 2012-6-3 21:58

回復 7# Crazystan 的帖子

填充題第 5 題：

$17 \equiv -3 \pmod{10}$

$\Rightarrow 17^{4} \equiv (-3)^4\equiv 1 \pmod{10}$

而 $17^{17}=\left(16+1\right)^{17}\equiv 1\pmod{4}$

所以，$17^{17^{17}}\equiv 17^1\equiv 7\pmod{10}$

weiye 發表於 2012-6-3 22:20

回復 7# Crazystan 的帖子

填充第 6 題：

既然 $\displaystyle <r_n>$ 收斂，就先來求一下極限值好了，

令 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} r_n=k $，則 $\displaystyle k=\frac{5}{2}k-k\Rightarrow k=0$

好吧，回到正題，來求 $\displaystyle a_2$

先將題目給的式子改寫成 $\displaystyle r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}= 2 (r_{n-1}-\frac{1}{2} r_{n-2})$

再列出如下列 $\displaystyle n-2$ 個式子，

$\displaystyle r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}= 2 (r_{n-1}-\frac{1}{2} r_{n-2})$

$\displaystyle r_{n-1}-\frac{1}{2} r_{n-2}= 2 (r_{n-2}-\frac{1}{2} r_{n-3})$

$\displaystyle r_{n-2}-\frac{1}{2} r_{n-3}= 2 (r_{n-3}-\frac{1}{2} r_{n-4})$

‧‧‧‧‧‧

$\displaystyle r_3-\frac{1}{2} r_2= 2 (r_2-\frac{1}{2} r_1)$

case i: 若 $\displaystyle r_2-\frac{1}{2} r_1\neq0$，則 $\displaystyle r_3-\frac{1}{2} r_2\neq0$

　　　　$\displaystyle \Rightarrow r_4-\frac{1}{2} r_4\neq0\Rightarrow \cdots\Rightarrow r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}\neq0$

　　　　將上列 $\displaystyle n-2$ 個式子相乘，可得 $\displaystyle r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}= 2^{n-2}\left(r_2-\frac{1}{2} r_1\right)$

　　　　$\displaystyle \Rightarrow r_2-\frac{1}{2} r_1=\frac{r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}}{2^{n-2}}$

　　　　（有沒有發現到，等號左邊是定數，右邊卻會隨 $\displaystyle n$ 而改變）

　　　　因為 $\displaystyle r_2-\frac{1}{2} r_1 $ 是常數時，因此 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}}{2^{n-2}}= r_2-\frac{1}{2} r_1$

　　　　另一方面，因為 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} r_n= 0$，所以 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{r_n-\frac{1}{2} r_{n-1}}{2^{n-2}}=0$

　　　　可得 $\displaystyle r_2-\frac{1}{2} r_1=0$，矛盾。
　　　　　（注意：是〝等於〞不是〝趨近〞）

case ii: 若 $\displaystyle r_2-\frac{1}{2} r_1=0$，則 $\displaystyle r_2=\frac{1}{2} r_1=\frac{2003}{2}$

weiye 發表於 2012-6-3 22:53

回復 7# Crazystan 的帖子

填充第 8 題：設 $g(x)$ 及 $f(x)$ 分別為一元六次多項式且 $g(x)=f(x)-a=0$，當 $a = 2, 4, 6, 8, 10$ 時，

$g(x)=0$的根分別為 $1, 2, 3, 4, 5$，求 $f(10)+f(-4)$ 之值為_____________.

解答：

令 $h(x)=f(x)-2x$，則 $h(x)$ 為六次多項式且

$h(1)=f(1)-2=g(1)=0, h(2)=f(2)-4=g(2)=0, \cdots, h(5)=f(5)-10=g(5)=0$

由因式定理，可知 $h(x)$ 有因式 $(x-1),(x-2),\cdots,(x-5)$

且因為 $h(x)$ 為六次多項式，可令 $h(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(bx+c)$

則 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(bx+c)+2x$

$f(10)+f(-4)=\left[9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\left(10b+c\right)+20\right]+\left[(-5)\cdot(-6)\cdot(-7)\cdot(-8)\cdot(-9)\left(-4b+c\right)-8\right]$

　　　$=9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot14\cdot b+12=211680b+12$

怪哉，題目是否有疏漏？好像漏掉首項係數為 $1$ （$b=1$）的條件了？還是小弟哪裡眼花了嗎？

Crazystan 發表於 2012-6-4 20:04

瑋岳老師謝謝您熱心的解答!!

wind2xp 發表於 2012-6-5 13:02

第8題我跟老師得到一樣的結果.....不知為何最後答案會是一個數字@@

第6題曾經看過類似題型是
r_n收斂  令原式為 X^2=5X/2 - X  得X=2與1/2

令r_n= a(2)^n+b(1/2)^n  很明顯當n趨近無限大時r_n不收斂,因此,a必為0

則r_n=b(1/2)^n  r_1=2003代入可得b=4006  即可求得r_2

不知道這樣想有沒有不完備

peter579 發表於 2012-6-5 17:23

請教一下填充11、12、14 證明第二題

若是之前有考過，也麻煩一下，謝謝。

weiye 發表於 2012-6-5 17:39

回復 13# peter579 的帖子

填充第 11 題：設袋中有 $4$ 個紅球， $6$ 個黑球，今自袋中隨機一次取一個球出來，共取 $3$ 次，取法分別為 (i) 取後放回， (ii) 取後不放回；兩種情形， (i) 及 (ii) ，分別取到紅球個數的期望值為 $a$ 及 $b$ ，求 $a + b =$ ______________.

解答：
$\displaystyle a=b=3\cdot\frac{4}{4+6}=\frac{6}{5}$

或是也可以寫

$\displaystyle a=3\cdot C^3_3\left(\frac{4}{10}\right)^3+2\cdot C^3_2\left(\frac{4}{10}\right)^2\left(\frac{6}{10}\right)+1\cdot C^3_1\left(\frac{4}{10}\right)\left(\frac{6}{10}\right)^2+0\cdot C^3_0\left(\frac{6}{10}\right)^3=\frac{6}{5}$

$\displaystyle b=3\cdot\frac{C^3_3 4\cdot3\cdot2}{10\cdot9\cdot8}+2\cdot\frac{C^3_2 4\cdot3\cdot6}{10\cdot9\cdot8}+1\cdot\frac{C^3_1 4\cdot6\cdot5}{10\cdot9\cdot8}+0\cdot\frac{C^3_0 6\cdot5\cdot4}{10\cdot9\cdot8}=\frac{6}{5}$

$\displaystyle \Rightarrow a+b=\frac{6}{5}+\frac{6}{5}=\frac{12}{5}$

weiye 發表於 2012-6-5 17:48

回復 13# peter579 的帖子

填充第 12 題：設 $x,y,z$ 均為實數，且滿足 $x^2+y^2+z^2=2(2y-x-3z)$，求 $2x-4y+6z+38$ 的最大值及最小值之和為_________________.

解答：

$x^2+y^2+z^2=2(2y-x-3z)$

$\Rightarrow (x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=14$

由柯西不等式，可得

$\left((x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2\right)\left(1^2+\left(-2\right)^2+3^2\right)\geq \left((x+1)-2(y-2)+3(z+3)\right)^2$

$\Leftrightarrow 14^2\geq \left(x-2y+3z+14\right)^2$

$\Leftrightarrow -14\leq x-2y+3z+14\leq14$

$\Leftrightarrow -28\leq x-2y+3z\leq0$

$\Leftrightarrow -56\leq 2x-4y+6z\leq0$

$\Leftrightarrow -18\leq 2x-4y+6z+38\leq38$

得 $2x-4y+6z+38$ 的最大值與最小值分別為 $38$ 與 $-18$

所求＝$38+(-18)=20$

weiye 發表於 2012-6-5 17:57

回復 13# peter579 的帖子

填充第 14 題：設 $a, b$ 為二正整數，已知它們的最小公倍數為 $2^6\times3^2\times11^2\times13$，則這樣的正整數對 $(a, b)$ 共有多少組?_____________.

解答：

先來討論一下 $a$ 與 $b$ 當中 $2$ 這個質因數分配得情況好了～

因為最小公倍數有恰含有 $2^6$，

所以 $a$ 與 $b$ 至少有一個質因數分解之後恰含有 $2^6$

　　另一個寫成標準分解式之後可能有 $2^0,2^1,2^2,\cdots,2^6$

因此，$a$ 與 $b$ 當中 $2$ 的因數分配情況可能有 $2\cdot7-1$ 種。

（扣掉的那個是重複計算的，也就是 $a$ 與 $b$ 剛好都恰含有 $2^6$ 的因數～被重複計算的次數）

其它同理，

因此，可得所求為 $(2\cdot7-1)(2\cdot3-1)(2\cdot3-1)(2\cdot2-1)=975$ 種。

阿光發表於 2012-6-5 20:41

想請教填充第13題,謝謝

weiye 發表於 2012-6-5 22:14

回復 17# 阿光的帖子

填充第 13 題：

先來研究一下規律好了～

想像有一排燈按照 $a_na_{n-1}a_{n-2}a_{n-3}\cdots a_3a_2a_1$ 排列～

對照到剛剛那串排列順序～有出現 $a_k$ 則 $a_k$ 位置亮燈（寫成 $1$），

沒出現 $a_k$ 則 $a_k$ 位置不亮燈（寫成 $0$），

第一個位置對應到 → $0000000\cdots00000$

第二個位置對應到 → $0000000\cdots00001$

第三個位置對應到 → $0000000\cdots00010$

第四個位置對應到 → $0000000\cdots00011$

第五個位置對應到 → $0000000\cdots00100$

第六個位置對應到 → $0000000\cdots00101$

第七個位置對應到 → $0000000\cdots00110$

第八個位置對應到 → $0000000\cdots00111$

　　　　　　　　　　 $\cdots\cdots\cdots$

看出來了嗎？第 $k$ 個位置對應到的就是 $k-1$ 的二進位數值

因為 $155=128+16+8+2+1=2^7+2^4+2^3+2^1+2^0$

所以要亮燈的分別是 $a_8, a_5, a_4, a_2, a_1$

因此，排在第 $156$ 位置的是 $a_1a_2a_4a_5a_8.$

tuhunger 發表於 2012-6-6 11:18

回復 18# weiye 的帖子

0 [a1] [ a2  a12]  [a3  a13  a23  a123]  [a4  a14  a24  a34  a134 a234  a1234]  [a5  a15  a25....] ....
                                                                  ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
以4為例, 每個都會有4 , 前面就1,2,3亂取  共2^3=8種  依序為:沒取,1 ,2,3 ,12,13,23,123
若依此規律  似乎也滿足題意  但答案就@#$%

weiye 發表於 2012-6-6 13:07

其實昨天我看到這題的想法也跟你差不多，不過我是解讀成~~

$I$ 當作是乘法單位元素，

然後每一群的元素就是把前面的每個元素從右邊乘上新增加的元素

I
^-------接下來要增加的是把前面的元素，由右邊乘上 a1，也就是增加 a1

I, [a1]
^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素，由右邊乘上 a2，也就是增加 a2,a12

I, [a1], [a2, a12]
^^^^^^^^^^^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素，由右邊乘上 a3，也就是增加 a3, a13, a23, a123

I, [a1], [a2, a12], [a3, a13, a23, a123]
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^--------接下來要增加的是把前面的元素，由右邊乘上 a4，也就是增加 a4, a14, a24, a124, a34, a134, a234, a1234

I, [a1], [a2, a12], [a3, a13, a23, a123], [a4, a14, a24, a124, a34, a134, a234, a1234], .........

不過後來想想，上面這個規律與二進位是相同的，所以就用二進位來處理比較方便。

不過如果每群新增加的元素排列的規律，如 tuhunger 老師所提的，或許也有可能～

畢竟題目是用＂以此類推＂四個字，每個人找到的規律的確有可能不同，

而數列，除非題目有詳細說明規律，不然若純以條列的方式，的確下一個元素是誰都可以。

：）

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