ANS:975組
這一題今天清水高中居然考出來了...有人可以分享嗎? 我的想法是錯滴><
我想法是a,b至少一個是2^6,另外一個可以2^(0~6) :2x6=12種
a,b至少一個是3^2,另外一個可以3^(0~2) :2x3=6種
依此類推...但答案是錯了>< (a,b)=(2^6,1) or (2^6,2^1) or (2^6,2^2) or (2^6,2^3) or (2^6,2^4) or (2^6,2^5) or (2^6,2^6)
(1,2^6) or (2^1,2^6) or (2^2,2^6) or (2^3,2^6) or (2^4,2^6) or (2^5,2^6)
注意兩個6次方的只算一次，其他的可以交換共13組
公式可以看成 (次方的兩倍+1)組
[[i] 本帖最後由 basess8 於 2012-6-7 12:26 AM 編輯 [/i]] 想請教填充第13題,謝謝
回復 23# 阿光 的帖子
填充第１３題，前面已經解了。其實最小公倍數那題前面也解了………== soory,最近忙著教師蒸屍,累到自己已有問過該題 更正
soory,最近忙著教師蒸屍,累到自己"忘了"已有問過該題 想再請教證明第2題,謝謝
回復 27# 阿光 的帖子
計算 2.若 \( n \) 正偶數，亦驗 \( 4^{n}+n^{4}>2 \) 且為偶數。故不為質數
注意 \( x^{4}+y^{4}=(x^{2}+\sqrt{2}xy+y^{2})(x^{2}-\sqrt{2}yx+y^{2}) \)
若 \( n \) 為正奇數，則有 \( 4^{n}+n^{4}=(\sqrt{2}^{n})^{4}+n^{4}=(2^{n}+n\cdot\sqrt{2}^{n+1}+n^{2})(2^{n}-n\cdot\sqrt{2}^{n+1}+n^{2}) \)
又 \( n \) 是正奇數，可得兩個括弧內皆為整數，而前者為正，相乘亦正，因此兩者皆正。
若其乘積為質數，其一必為 \(1 \)。
檢驗之可得僅當 \( n=1 \) 時， \( 2^{n}-n\cdot\sqrt{2}^{n+1}+n^{2}=1 \)， \( 4^{1}+1^{4}=5 為質數 \)。
(可用單調性說明，無其它解。而單調性是容易驗的性質)
因此正整數 \( n \) 有唯一解 \( n=1\) 。 想請教第15題填充怎麼做，小弟微積分不是很好
回復 29# shiauy 的帖子
填充第 15 題：令 \(\displaystyle f(x)=\int_4^x \frac{1}{2+t^2}dt\Rightarrow f\,'(x)=\frac{1}{2+x^2}\)
則 \(y=-f(1+3x^2)\)
\(\displaystyle y\,'=-f\,'(1+3x^2)\cdot(1+3x^2)'=-\frac{1}{2+(1+3x^2)^2}\cdot(6x)=\frac{-2x}{1+2x^2+3x^4}\) 想請教證明題1和2題(不是計算題哦)
回復 31# 阿光 的帖子
證明 1. 利用對稱，及 \( \sum\limits _{k=0}^{2n}C_{k}^{2n} =2^{2n} \), 寫下所求化簡得\(\displaystyle \frac{C_{n}^{2n}+\sum\limits _{k=n+1}^{2n}C_{k}^{2n}}{2^{n}}=\frac{C_{n}^{2n}+\sum\limits _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{2}(C_{2n-k}^{2n}+C_{k}^{2n})}{2^{2n}}=\frac{C_{n}^{2n}+\sum\limits _{k=0}^{2n}C_{k}^{2n}}{2^{2n+1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2n+1}}C_{n}^{2n} \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-9 01:19 PM 編輯 [/i]] 證明2
先將欲證之式整理一下
\(\displaystyle OB^2-OA^2=OA \cdot AD-OB \cdot BC+AB \cdot CD \)
\(\displaystyle OB(OB+BC)=OA(OA+AD)+AB \cdot CD \)
\(\displaystyle OB \cdot OC=OA \cdot OD+AB \cdot CD \)
作輔助線在 \( OD \) 的延長線上取 \( E \) 使得 \( \angle{DCE}=\angle{AOB} \)
那麼 \( \Delta AOB \sim \Delta DCE (AA) \)
\(\displaystyle \frac{OA}{CD}=\frac{AB}{DE} \)
\(\displaystyle AB \cdot CD=OA \cdot DE \)
又\( \Delta AOB \sim \Delta COE (AA) \)
\(\displaystyle \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OE} \)
\(\displaystyle OB \cdot OC=OA \cdot OE \)
於是
\(\displaystyle OB \cdot OC=OA \cdot (OD+DE)=OA \cdot OD+OA \cdot DE=OA \cdot OD+AB \cdot CD \)
[[i] 本帖最後由 老王 於 2012-6-9 04:54 PM 編輯 [/i]] 請問填充9怎麼做?謝謝
回復 34# pizza 的帖子
填充 9. 化成極式，棣美佛長度相等得 \( a=b \), 角度同位角，可差 \( 2n\pi \)
因此可解得無限多解 \( a = b =6n \), 其中 \( n \in Z \)
所以最小整數解為 \( a=b =6 \), 而 \( a+2b=18 \) 填充第3題土法練綱法
[[i] 本帖最後由 王保丹 於 2013-4-21 01:36 PM 編輯 [/i]] 計算題1我算到目前，答案是1\5？
102.5.12版主補充
將縮小圖檔以節省論壇空間(902KB->207KB)
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2013-5-12 01:01 PM 編輯 [/i]]
回復 37# 王保丹 的帖子
An為遞增正數列,1/A1A2.................逼近於0A(n+1)-A(n)=A1A2A3....An - A1A2A3.....A(n-1)
=A1A2A3---A(n-1){An -1}>0 A1=10
所以答案1/5
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2013-5-12 12:37 PM 編輯 [/i]] 謝謝興傑老師的回覆 證明第一題
我算出來是 1/2 + (1/2)^(2n) * C(2n,n)
我的1/2只有開到2n次 沒開到2n+1次
我的想法是
P(至少n次正面)=P(恰好n次正面)+P(至少n+1次正面)
↓ ↓
= 1/2 + C(2n,n)*(1/2)^(2n)
請問哪裡不對
小弟資質愚昧 感謝老師們指點迷津