填充第 5 題相關題目與資料～
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搜尋「三條平行線 正三角形」就可以找到了～：）
[url=https://math.pro/db/thread-890-1-1.html]https://math.pro/db/thread-890-1-1.html[/url]
填充第 5 題：
如上圖，設 \(\overline{BD}=\) ... [/quote]
分享我考場中，想到的方法。 填充題
一個長軸為12的橢圓，F為其中一個焦點，則PQ為通過F的焦弦,PF=5,FQ=3 ,則請問正焦弦長為
這一題有沒有題示一下方向，要用到光學性質嗎，謝謝
PF+PF'=12
PF'=7
QF+QF'=12
QF'=9
PO是中線，QO也是中線，但接下來，就不知如何寫了。
回復 22# peter579 的帖子
填充 6. 接續你的作法\( \angle F'FP + \angle F'FQ = 180^\circ \), 所以其餘弦和為 \( 0 \)
\(\displaystyle \frac{4c^{2}+25-49}{20c}+\frac{4c^{2}+9-81}{12c}=0 \), 解得 \(\displaystyle c^2 = \frac{27}{2} \)
因此正焦弦長 \(\displaystyle =\frac{2b^{2}}{a}=\frac{2}{6}\cdot(36-\frac{27}{2})=\frac{15}{2} \)
另解. 考慮 F 兩邊的準線 L, 離心率 \(\displaystyle e = \frac{a}{c} \)
則有 \(\displaystyle d(F,L)=\frac{2}{\frac{1}{d(P,L)}+\frac{1}{d(Q,L)}} \) 和 \( d(P,L) = 3e,\, d(Q,L)=5e,\, d(F,L)=ea-c \)
將上行以 \( a=6 \) 和 \( c \) 代入得方程式 \(\displaystyle \frac{36}{c}-c=\frac{6}{c}\cdot\frac{30}{8} \)
解得 \(\displaystyle c^2 = \frac{27}{2} \)
註：調和平均之性質可見於 100 中壢高中二招 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1170&page=1#pid3902]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1170&page=1#pid3902[/url] 謝謝，方寸老師，參考link，發現有不少，對橢圓還要學習的。
不過，這一題用方法一比較好用。填充4可否點一下。
有點想不出來。謝謝
回復 24# peter579 的帖子
填充第 4 題在本討論串已經解過了。填充第 4 題 → [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1381&page=2#pid6001]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1381&page=2#pid6001[/url] [attach]1218[/attach][quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-6-8 01:47 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6190&ptid=1381][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充 6. 接續你的作法
\( \angle F'FP + \angle F'FQ = 180^\circ \), 所以其餘弦和為 \( 0 \)
\( \frac{4c^{2}+25-49}{20c}+\frac{4c^{2}+9-81}{12c}=0 \), 解得 \( c^2 = \frac{27}{2} \)
因此正焦弦長 ... [/quote]
想到一個作法
請教一下第1題
不知道如何破題謝謝賜教
感恩 @@..可以細問一下第4題...為何是A'B"的距離嗎??...轉不過來>"<
[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2012-6-2 06:30 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6001&ptid=1381][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第 4 題：
將 \(A\) 對稱 \(\overline{BC}\) 得 \(A'\)；將 \(B\) 對稱 \(\overline{AC}\) 得 \(B'\)，則 \(\overline{A'B'}\) 長度即為所求。
ps. 可以坐標化，也可以找出 \(\overline{AA'}\) 與 \(\overline{AB'}\) ... [/quote] [quote]原帖由 [i]natureling[/i] 於 2012-11-16 10:28 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7288&ptid=1381][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
@@..可以細問一下第4題...為何是A'B"的距離嗎??...轉不過來>"<
[/quote]
設質點由 \(A\) 射出後，打到 \(\overline{BC}\) 上的點 \(P\)，
經反射後又打到 \(\overline{AC}\) 上的點 \(Q\)，經反射後～回到 \(B\) 點。
則 \(\overline{AP}+\overline{PQ}+\overline{QB}=\overline{A'P}+\overline{PQ}+\overline{QB'}\geq\overline{A'B'}\)
（Think: 由 \(A'\) 到 \(B'\) ，此兩點之間的最短距離為 \(\overline{A'B'}。\)）
回復 27# WAYNE10000 的帖子
填充第 1 題，可以參考101 大安高工第 3 題： [url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1468&page=2#pid7159[/url]
100香山高中第 12 題： [url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1186&page=4#pid4692[/url]
或是參考《空間中球與圓的最短距離》 [url]https://math.pro/db/thread-665-1-1.html[/url] [size=3]填充題 5. 平面上由上而下依序劃三條相異的平行線 L₁，L₂，L₃，其中 L₁ 與 L₂，L₂ 與 L₃ 的距離分別為 d₁，d₂。若在三條直線上各取一點，使它們構成一個正三角形，則此正三角形的邊長為何?[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]想法: 這題的尺規作圖法為: 將 L₁ 繞 L₂ 的某點 A 旋轉 60° 後，與 L₃ 交於 C，則 AC 為該正三角形的一邊。由此可構思出一個求邊長之法。[/size]
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[size=3]圖形請參考[/size]
[attach]3626[/attach]
h ttp://imgur.com/a/BzSRh
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[size=3]如圖，L₂ 上一點 A 在 L₁，L₃ 的垂足分別為 D, E。將 D 與 L₁ 繞 A 旋轉 60° (則 D → D'，L₁ → L₁')， L₁' 與 L₃ 交於 C。則 AC = x 即為所求。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]因 A, D', C, E 共圓，故 x = D'E/sin120° =[color=red] 2√ [(d₁² + d₂² + d₁d₂)/3][/color] (配合 △AD'E 中的餘弦定理)[/size]
[size=3]本題另一個代數作法: 由聯立方程 x*cosθ = d₁ 與 x*cos(120°- θ) = d₂，解出 x 即可。[/size] \(a,b\in \mathbb{R}\),\(f(x)=x^3-x^2+ax+b\)。若方程式\(f(x)=0\)在閉區間\([-2-1],[-1,1],[1,2]\)的範圍內各有一實根，求\(\displaystyle \int_{0}^{1}f(x) dx\)的最大最小值
這一題有算出答案 但不確定是否誤打誤撞得到正確答案 還請先進們指教
設\(\alpha \in[-2-1] ,\beta \in [-1,1] , \gamma \in [1,2]\)
因為三根和為1，所以\(1 \leq \gamma=1-\alpha - \beta \leq 2 \rightarrow -1\leq \alpha+ \beta \leq 0 \)
配合\(-2 \leq \alpha \leq -1, -1\leq \beta \leq 1\),可以劃出其可行解範圍為一個頂點為\((-1,1),(-2,1),(-1,0)\)的三角形
因為所求並非平方相加,分式這種需要由圖形判斷的東西
可以直接由頂點法得到所求
若\((\alpha,\beta,\gamma)=(-1,1,1)\) , \(a=-1,b=1\)
若\((\alpha,\beta,\gamma)=(-2,1,2)\) , \(a=-4,b=4\)
若\((\alpha,\beta,\gamma)=(-1,0,2)\) , \(a=-2,b=0\)
分別代入所求\(\displaystyle \frac{1}{2}a+b-\frac{1}{12}\)
若\(a=-1,b=1\),所求為\(\displaystyle \frac{5}{12}\)
若\(a=-4,b=4\),所求為\(\displaystyle\frac{23}{12}\)
若\(a=-2,b=0\),所求為\(\displaystyle\frac{-13}{12}\)
可得最大值為\(\displaystyle\frac{23}{12}\) ，最小值為\(\displaystyle\frac{-13}{12}\)
回復 32# satsuki931000 的帖子
a/2 + b 用 α、β 來表示，並非線性的所以這樣做，答案會對，應該只是湊巧
回復 33# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師的指教頁:
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