Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 101竹北高中

shingjay176 發表於 2012-5-30 23:10

101竹北高中

填充題  
有三條平行線，第一條和第二條距離為d1,第二條跟第三條距離為d2,三條平行線上各取一點，則正三角形的邊長為何？？

填充題  
題目的意思是  一個正立方體，8個頂點，12邊的中點，六個面的中心點。與正立方體的正中心點。這些點總共可以決定幾條相異的直線。

填充題
一個長軸為12的橢圓，F為其中一個焦點，則PQ為通過F的焦弦,PF=5,FQ=3  ,則請問正焦弦長為

填充題
有一個三角形AB=3,AC=4,BC=5,請問當從A點出發，往BC直線上打出一道光線，不打在兩端點上，則反射兩次後，回到B點。請問走過的路徑長？？

填充題考了一題 今年中科實中，填充題第11題，只是數據有改過。

填充題第一題，是這樣的題目
(x-4)^2+(y-3)^2+(z-7)^2=16,球上一動點P,另外有一個圓(x)^2+y^2=1([color=#ff0000]這個不知道有沒有記錯,有在火車上聽到有人討論,說半徑是2[/color])（希望不是自己眼瞎看錯，不然八分又沒了)且z=1....在圓上一動點 Q,請問PQ的範圍??

填充題第七題
有一點P,沿著X軸的方向，推移Y座標的K倍。請問推移矩陣為何？？
(第二小題的題目數據有點忘記了)....這一題簡直送分勒。火車上一堆人討論，第二題的答案是(1,1)  希望不要有人0分吧


計算題1.     degf(x)=2011,的f(k)=(-1)/k ,對於所有的k=1,2,3,....,2011   則f(2012)=?(這一題考古題，去年基隆高中有考，今年文華高中也有考，好在有定正文華考卷。今晚一拿到題目，先寫這一題，穩定心情）
計算題2.  一個直圓錐內放置一個半徑為1的球，請求出直圓錐的最小體積為何？？


101.6.1版主補充
原本考題為圖檔，我花了一些時間將題目重新打字，請下載附件

Ellipse 發表於 2012-5-30 23:18

[quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2012-5-30 11:10 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5956&ptid=1381][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充題  
有三條平行線，第一條和第二條距離為d1,第二條跟第三條距離為d2,三條平行線上各取一點，則正三角形的邊長為何？？

填充題  
題目的意思是  一個正立方體，8個頂點，12邊的中點，六個面的中心點。與正立方體的正中心點 ... [/quote]

印象中,第一題有人拿這做過科展~
計算一&二都是考古題了

shingjay176 發表於 2012-5-30 23:20

[quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-30 11:18 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5957&ptid=1381][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]


印象中,第一題有人拿這做過科展~ [/quote]
今天這份題目不難勒。橢圓正焦弦長，後來想到了。圖形畫出來，用餘弦定理。在火車上才想出來。

Ellipse 發表於 2012-5-30 23:31

[quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2012-5-30 11:20 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5958&ptid=1381][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]

今天這份題目不難勒。橢圓正焦弦長，後來想到了。圖形畫出來，用餘弦定理。在火車上才想出來。 [/quote]

沒關係啦~您會越考越進步,加油!

(這題答案為15/2)

shingjay176 發表於 2012-5-30 23:35

[quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-30 11:31 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5959&ptid=1381][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]


沒關係啦~您會越考越進步,加油!

(這題答案為15/2) [/quote]
感謝囉。大家一起討論，真的進步幅度很大。

shingjay176 發表於 2012-5-30 23:44

[quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2012-5-30 11:10 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5956&ptid=1381][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充題  
有三條平行線，第一條和第二條距離為d1,第二條跟第三條距離為d2,三條平行線上各取一點，則正三角形的邊長為何？？

填充題  
題目的意思是  一個正立方體，8個頂點，12邊的中點，六個面的中心點。與正立方體的正中心點 ... [/quote]
正立方體那題，我是這樣思考。總共有27個點.所以\(C^{27}_2\),總共可以決定這麼多條相異直線。
但是三點共線的情形共有,每個面共有八條，一共有十二的面。所以\(8\times 12=96\)
C(27,2)-C(3,2)x96+96=

Ellipse 發表於 2012-5-30 23:59

有一個三角形AB=3,AC=4,BC=5,請問當從A點出發，往BC直線上打出一道光線，不打在兩端點上，則反射兩次後，回到B點。請問走過的路徑長？？

先坐標化
令A(0,0),B(0,3),C(4,0)
假設A'與A是以BC為對稱軸,互相對稱
B'與B是以AC為對稱軸,互相對稱
所求路徑=A'B'

agan325 發表於 2012-5-31 00:05

填充題第一題，是這樣的題目
(x-4)^2+(y-3)^2+(z-7)^2=16,球上一動點P,另外有一個圓(x)^2+y^2=1([color=#ff0000]這個不知道有沒有記錯,有在火車上聽到有人討論,說半徑是2[/color])（希望不是自己眼瞎看錯，不然八分又沒了)且z=1....在圓上一動點 Q,請問PQ的範圍??

他的題目是 x^2+y^2=4.....

Ellipse 發表於 2012-5-31 00:40

[quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2012-5-30 11:44 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5961&ptid=1381][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]

正立方體那題，我是這樣思考。總共有27個點.所以C(27,2),總共可以決定這麼多條相異直線。
但是三點共線的情形共有,每個面共有八條，一共有十二的面。所以8x12=96
C(27,2)-C(3,2)x96+96= ... [/quote]

您這樣算共用邊都重複算
沒扣那麼多啦~

您看到題目的意思是說每一條直線都要[color=red]通過中心點[/color]嗎?
還是任兩點的連線?

shingjay176 發表於 2012-5-31 06:28

[quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-31 12:40 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5964&ptid=1381][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]


您這樣算共用邊都重複算
沒扣那麼多啦~

您看到題目的意思是說每一條直線都要通過中心點嗎?
還是任兩點的連線? [/quote]
題目的全部內容可能忘記了勒～只有記得題目的大概，不知道關鍵字有沒有漏掉～只說這些點可以決定幾條相異的直線～～我當下有把立方體的圖形畫出來～～
一堆點，滿滿的點。所以想說從圖可能看不出個所以然～～我就當下只有這樣思考了～～也沒有多餘的時間去想，我這樣的作法嚴謹性，會不會多扣或少扣，想說就從反面做看看～～

shingjay176 發表於 2012-5-31 06:30

[quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-31 12:40 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5964&ptid=1381][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]


您這樣算共用邊都重複算
沒扣那麼多啦~

您看到題目的意思是說每一條直線都要通過中心點嗎?
還是任兩點的連線? [/quote]
我懂意思了，應該我算錯了，扣掉太多，共用邊的部分，重覆扣除了

Ellipse 發表於 2012-5-31 09:34

[quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2012-5-31 06:30 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5967&ptid=1381][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]

我懂意思了，應該我算錯了，扣掉太多，共用邊的部分，重覆扣除了 [/quote]
假設正方體的中心為O,每個面的中心為A,B,C,D,E,F
先算C(27,2)
只有通過上述的中心點,直線才會重複算到
以下分兩種情況討論重複情形
(1)直線通過O點:
其它點有26個,這樣的直線有26/2=13條
(2)直線在正方體的面上:
通過每面的中心如A(或B或C或D或E或F)
的直線共有4*6=24(米字型)
再加上正方體有12個邊
所有共有24+12=36條

由(1)&(2)的重複的直線共有13+36=49條要扣~


所求=C(27,2)-49*C(3,2)+49=351-108+49=253


上述有漏掉的地方請指正

shingjay176 發表於 2012-5-31 09:48

[quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-31 09:34 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5969&ptid=1381][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]

假設正方體的中心為O,每個面的中心為A,B,C,D,E,F
先算C(27,2)
只有通過上述的中心點,直線才會重複算到
以下分兩種情況討論重複情形
(1)直線通過O點:
其它點有26個,這樣的直線有26/2=13條
(2)直線在正方體的面上:
通 ... [/quote]

剛剛自己又在畫了一下圖，才發現自己考場扣掉太多了。
考場上有想法了，真的需要嚴謹點，不然時間花下去，想法也對，分數沒拿到，超嘔的

redik 發表於 2012-6-2 16:02

想要請教一題

填充4，三角形ABC三邊長 AB=3，AC=4，BC=5，一質點由A出發，射向BC上一點(不包含端點)

若此質點接過兩次反射時到達B點，則A點經過的路徑長為?

一開始我先設座標系，A(0,0)，B(3,0)，C(0,4)，假設A反射至AC邊上的點為(0,t)

然後用反射回推方程式，可是算起來很不好算，不知道有沒有比較好的想法...

weiye 發表於 2012-6-2 18:30

回復 14# redik 的帖子

填充第 4 題：

將 \(A\) 對稱 \(\overline{BC}\) 得 \(A'\)；將 \(B\) 對稱 \(\overline{AC}\) 得 \(B'\)，則 \(\overline{A'B'}\) 長度即為所求。

ps. 可以坐標化，也可以找出 \(\overline{AA'}\) 與 \(\overline{AB'}\) 線段長與 \(\angle A'AB'\) 的餘弦值，

　　然後用餘弦定理求得 \(\overline{A'B'}\) 的長度  。

agan325 發表於 2012-6-5 20:53

想要請教填充3和填充5

有關於填充5....好像有看過相關科展和考古題
但是一時資料太多，找不到！
能否請教相關考古題和填充5的做法！多謝！

weiye 發表於 2012-6-5 23:47

回復 16# agan325 的帖子

填充第 5 題相關題目與資料～

利用本站右上角的 Google 自訂搜尋框～

搜尋「三條平行線　正三角形」就可以找到了～：）

[url=https://math.pro/db/thread-890-1-1.html]https://math.pro/db/thread-890-1-1.html[/url]






填充第 5 題：

　　　[attach]1199[/attach]

如上圖，設 \(\overline{BD}=d_1, \overline{CF}=d_2\)（不失一般性，假設 \(d_1\geq d_2\)）

設正三角形 \(\triangle ABC\) 的邊長為 \(x\)，

則由畢氏定理，可得

\(\overline{AD}=\sqrt{x^2-d_1^2}, \overline{AF}=\sqrt{x^2-d_2^2}, \overline{DF}=\sqrt{x^2-\left(d_1+d_2\right)^2}\)

因為 \(\overline{AD}+\overline{DF}=\overline{AF}\)

所以 \(\sqrt{x^2-d_1^2}+\sqrt{x^2-\left(d_1+d_2\right)^2}=\sqrt{x^2-d_2^2}\)

移項平方化簡（做兩次），即可得 \(\displaystyle x^2=\frac{4}{3}\left(d_1^2+d_1d_2+d_2^2\right)\)

\(\displaystyle\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{d_1^2+d_1d_2+d_2^2}}{\sqrt{3}}\)

weiye 發表於 2012-6-6 00:07

回復 16# agan325 的帖子

填充第 3 題：

令 \(f(x)=x^3-3x^2+2x-1\)，則

\(f\,'(x)=3x^2-6x+2\)

設切點為 \((x_0,y_0)\)

則 \(\displaystyle 3x_0^2-6x_0+2=\frac{y_0-a}{x_0-0}\) 且 \(y_0=x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\)

\(\Rightarrow y_0=3x_0^3-6x_0^2+2x_0+a\) 且 \(y_0=x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\)

\(\Rightarrow 3x_0^3-6x_0^2+2x_0+a=x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\)

\(\Rightarrow 2x_0^3-3x_0^2+a+1=0\)

令 \(g(x)=2x^3-3x^2+a+1\)

因為過 \(P\) 往 \(y=f(x)\) 做切線時，恰有三條相異的切線，即有三個相異的切點，

所以 \(g(x)=0\) 恰有三相異實根，

\(g\,'(x)=6x^2-6x\)

\(g\,'(x)=0\Rightarrow x=0\) 或 \(x=1\)

因為 \(g(x)=0\) 恰有三相異實根，所以 \(g(0)g(1)<0\Leftrightarrow -1<a<0\)



類題：

101中科實中填充第 3 題：[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=5#pid5091]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=5#pid5091[/url]

99台中二中填充第 5 題： [url=https://math.pro/db/thread-934-1-1.html]https://math.pro/db/thread-934-1-1.html[/url]

redik 發表於 2012-6-6 12:21

[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2012-6-2 06:30 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6001&ptid=1381][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第 4 題：

將 \(A\) 對稱 \(\overline{BC}\) 得 \(A'\)；將 \(B\) 對稱 \(\overline{AC}\) 得 \(B'\)，則 \(\overline{A'B'}\) 長度即為所求。

ps. 可以坐標化，也可以找出 \(\overline{AA'}\) 與 \(\overline{AB'}\)  ... [/quote]


感謝瑋岳老師

總覺得這種反射題目都用對稱找答案，但是往往考試時都沒想到 orz

agan325 發表於 2012-6-6 13:57

回復 18# weiye 的帖子

多謝偉岳老師
讓我豁然開朗....尤其是第五題，自己玩了好久
都好想要哭泣阿.....

查看完整版本: 101竹北高中