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真正的成功不在於你擁有多少,
而在於你能不擁有多少。

jen123 發表於 2012-5-28 16:10

101中和高中

101 中和高中考題
以為會公佈,發現沒有,把記憶中的題目記下來
希望大家一起討論

sanghuan 發表於 2012-5-28 16:37

填充題還有一題是兩方程式相切   其中一個有待定係數\(k\)
問\(k\)及兩方程式所圍之面積\(m\),以數對\((k,m)\)表示

不過忘了詳細數字了
另外  真的有那個四面體的題目喔   完全沒印象...

hua0127 發表於 2012-5-28 17:57

感謝分享!!
計算第一題:
(1) 中的不等式印象中好像是小於,
因為 b+c>a, 所以 a(b+c)>a^2, 同理 c(a+b)>c^2, b(c+a)>b^2
三式相加 得到 a^2+b^2+c^2 <2(ab+bc+ca) , 兩邊再加上 2(ab+bc+ca), 得證

(2) 利用算幾不等式, (a+b-c)+(b+c-a) 大於等於 2sqrt ( (a+b-c)(b+c-a) )
      得到 b 大於等於 sqrt ( (a+b-c)(b+c-a) ),  同理
               c 大於等於 sqrt ( (b+c-a)(c+a-b) )
               a 大於等於 sqrt ( (a+b-c)(c+a-b) ) , 三式相乘得到
              abc 大於等於 (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b), 等號同時成立在 a=b=c 時

計算第二題的數據好像是 f(x)=x^3 -5x^2 +4x 及圖形上一點 (1,0),
印象中算出來好像答案是 4/3, 待補完。

cellistlu 發表於 2012-5-29 07:24

若\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)是方程式\(x^3-6x^2+ax+a=0\)的三根,且\((\alpha-3)^3+(\beta-3)^3+(\gamma-3)^3=-6\),則\(a\)之值為何?

補充一題有印象的填充題

JOE 發表於 2012-6-5 22:55

想請問第九題的討論方式,感謝指導

weiye 發表於 2012-6-5 23:13

回復 5# JOE 的帖子

填充第 9 題:
某人初次投籃投進的機率為\(\displaystyle \frac{1}{2}\),當他投進一球後,則下一球投進的機率為\(\displaystyle \frac{4}{5}\),當他有一球投不進後,下一球投進的機率為\(\displaystyle \frac{3}{5}\)。若某人總共投四次球,則投進次數的期望值為?

初始矩陣 \(\displaystyle X_1=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]\)

轉移矩陣 \(\displaystyle P=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{4}{5}&\frac{3}{5}\\ \frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{array}\right]\)

\(\displaystyle X_2=PX_1=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{7}{10}\\ \frac{3}{10}\end{array}\right]\)

\(\displaystyle X_3=PX_2=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{37}{50}\\ \frac{13}{50}\end{array}\right]\)

\(\displaystyle X_4=PX_3=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{187}{250}\\ \frac{63}{250}\end{array}\right]\)

所求=\(\displaystyle 1\cdot\frac{1}{2}+1\cdot\frac{7}{10}+1\cdot\frac{37}{50} +1\cdot\frac{187}{250}=\frac{336}{125}\)

JOE 發表於 2012-6-5 23:21

感謝老師指導,覺得自己要學的還好多...

natureling 發表於 2012-12-4 21:23

請教第6和第10題

6' 設一骰子連續投擲n次出現的點數依序為x_1,x_2,...x_n,,令Y_n=x_1+x_2+...+x_n,
Y_n為7的倍數之機率為P_n,,求P_n=?(以n表示)

10. 已知方程式 x^3-3(a+1)x^2+6ax-2a=0,和x軸只有一個交點,
則 a 的範圍?

tsusy 發表於 2012-12-4 22:07

回復 8# natureling 的帖子

6. 二招:遞迴、生成函數

遞迴法:\( P_n = \frac{1}{6} \cdot (1-P_{n-1}) + 0 \cdot P_{n-1} \Rightarrow P_n = (\frac{-1}{6})^n \cdot \frac{6}{7} + \frac{1}{7} \)  (感謝 martinofncku 挑出筆誤)

生成函數:\( f(x) = \frac{1}{6^n} \cdot (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n \)

令 \( \omega = \exp(\frac{2\pi i}{7}) \), 所求 \( = \frac{1}{7} \left( f(1)+f(\omega)+f(\omega^2)+f(\omega^3)+f(\omega^4)+f(\omega^5)+f(\omega^6) \right) =(\frac{-1}{6})^n \cdot \frac{6}{7} + \frac{1}{7} \)

類題:

(100中科實中) 一袋中有 5  個球,分別寫上 1,2,3,4,5  號,今由其中任取一球記下其號碼後放回袋中,如此繼續 n  次,若 \( P_{n} \) 表記錄到  n   次時數字和為偶數的機率,則 \( \sum\limits _{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2}-P_{n})=\underline{\qquad\qquad} \) 。     

(100鳳山高中) 袋中有 \( 1,2,\ldots,9 \)  號球各一個,每次自袋中取出一球,取後放回,共取 n  次,n  次和為偶數的機率記為 \( P_{n} \) ,
求 (1) \( P_{n+1} \)  及 \( P_{n} \)  之關係式
(2) \( \lim\limits _{n\to\infty}P_{n} \) 。     

(99鳳新高中) 不透明箱內有編號分別為 1  至 9  的九個球,每次隨機取出一個,記錄其編號後放回箱內;以 P(n)  表示前 n  次取球的編號之總和為偶數的機率。求 P(n)。
   
(99高雄高中) 一隻青蛙在 \( a,\, b,\, c,\, d,\, e,\, f \)  六相異點跳動,每次跳動之落點異於起跳點,若從 a  起跳,n  次後跳回 a  點有幾種跳法?     

(100桃園新進聯招) n  個人安排進入 A 、B 、C  三間房間,A  房間有奇數個人,請問有幾種不同的安排方法?

martinofncku 發表於 2012-12-9 21:39

請問寸絲老師,你遞迴法中的通項公式
\( P_n = \frac{1}{6} \cdot (1-P_{n-1}) + 0 \cdot P_{n-1} \)
是否筆誤為
\( P_n = \frac{1}{6} \cdot (1-P_{n-1}) + 0 \cdot P_n \)

martinofncku 發表於 2012-12-9 21:59

填充題 3 我算出來的答案是 3! H(6,7) 不曉得對不對。

tsusy 發表於 2012-12-9 22:20

回復 10# martinofncku 的帖子

的確是筆誤 等式右邊應皆為 n-1

感謝您的好眼力,來去修一下

[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-1-10 02:04 PM 編輯 [/i]]

老王 發表於 2013-3-17 11:22

第十題
我算到
\( a(a^3-2a^2+2a-2) \le 0 \)
怎麼繼續??
要拜請卡丹嗎??

thepiano 發表於 2013-3-17 11:58

第 10 題
題目應是 [color=Red]2[/color]x^3 - 3(a + 1)x^2 + 6ax - 2a = 0

老王 發表於 2013-3-17 14:31

回復 14# thepiano 的帖子

感謝鋼琴師,遇到這種狀況真的是無言啊!!

老王 發表於 2013-3-17 18:40

回復 15# 老王 的帖子

花了一個小時湊數字,因為還是覺得微分後不能分解,難度比較高;
為了湊出最後能夠分解的三次式,算了許久。
各位若有興趣,將方程式改成
\( x^3-3(a+1)x^2+6ax+9a=0 \)
做做看。
不過如果真是在考場中,可能會瘋掉吧!!!!!!!

俞克斌 發表於 2013-3-17 23:08

回復 11# martinofncku 的帖子

這是我的想法
請卓參
謝謝

panda.xiong 發表於 2013-5-30 06:25

回復 6# weiye 的帖子

老大,這個方法實在是太厲害了。
不過最後所求=....要怎麼解釋?

weiye 發表於 2013-5-30 09:36

回復 18# panda.xiong 的帖子

填充第 9 題說明:由於每次只投一球,所以在第 \(n\) 次投球會進球的機率,就是在第 \(n\) 次投球進球球數的期望值。

Pacers31 發表於 2013-12-29 18:30

第8題

甲袋中3紅2白,乙袋中2紅6白;任選一袋取出一球放入另一袋,再從被放入球的那一袋取出一球。
已知兩次所取之球為異色,求從甲袋取出白球的機率為?

遇到機率、離散的題目,沒有正確答案來對照都還是缺少那一點信心...囧

\(\displaystyle P(甲白|異色)=\frac{P(甲白且異色)}{P(異色)}=\frac{P(甲白乙紅)+P(乙紅甲白)}{P(甲白乙紅)+P(甲紅乙白)+P(乙白甲紅)+P(乙紅甲白)}\)

                         \(\displaystyle =\frac{\frac{1}{2}\big(\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{9}+\frac{2}{8}\cdot\frac{2}{6}\big)}{\frac{1}{2}\big(\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{9}+\frac{3}{5}\cdot\frac{6}{9}+\frac{6}{8}\cdot\frac{3}{6}+\frac{2}{8}\cdot\frac{2}{6}\big)}=\frac{2}{11}\)

其實就是Bayes'定理或樹狀圖想法,不知道和各位老師們的答案是否一致?

[[i] 本帖最後由 Pacers31 於 2013-12-29 06:31 PM 編輯 [/i]]

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