101中和高中
101 中和高中考題以為會公佈，發現沒有，把記憶中的題目記下來
希望大家一起討論 填充題還有一題是兩方程式相切 其中一個有待定係數\(k\)
問\(k\)及兩方程式所圍之面積\(m\)，以數對\((k,m)\)表示
不過忘了詳細數字了
另外 真的有那個四面體的題目喔 完全沒印象... 感謝分享！！
計算第一題：
(1) 中的不等式印象中好像是小於，
因為 b+c>a, 所以 a(b+c)>a^2, 同理 c(a+b)>c^2, b(c+a)>b^2
三式相加 得到 a^2+b^2+c^2 <2(ab+bc+ca) , 兩邊再加上 2(ab+bc+ca), 得證
(2) 利用算幾不等式, (a+b-c)+(b+c-a) 大於等於 2sqrt ( (a+b-c)(b+c-a) )
得到 b 大於等於 sqrt ( (a+b-c)(b+c-a) ), 同理
c 大於等於 sqrt ( (b+c-a)(c+a-b) )
a 大於等於 sqrt ( (a+b-c)(c+a-b) ) , 三式相乘得到
abc 大於等於 (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b), 等號同時成立在 a=b=c 時
計算第二題的數據好像是 f(x)=x^3 -5x^2 +4x 及圖形上一點 (1,0),
印象中算出來好像答案是 4/3, 待補完。 若\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)是方程式\(x^3-6x^2+ax+a=0\)的三根，且\((\alpha-3)^3+(\beta-3)^3+(\gamma-3)^3=-6\)，則\(a\)之值為何？
補充一題有印象的填充題 想請問第九題的討論方式，感謝指導
回復 5# JOE 的帖子
填充第 9 題：某人初次投籃投進的機率為\(\displaystyle \frac{1}{2}\)，當他投進一球後，則下一球投進的機率為\(\displaystyle \frac{4}{5}\)，當他有一球投不進後，下一球投進的機率為\(\displaystyle \frac{3}{5}\)。若某人總共投四次球，則投進次數的期望值為？
初始矩陣 \(\displaystyle X_1=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right]\)
轉移矩陣 \(\displaystyle P=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{4}{5}&\frac{3}{5}\\ \frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{array}\right]\)
\(\displaystyle X_2=PX_1=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{7}{10}\\ \frac{3}{10}\end{array}\right]\)
\(\displaystyle X_3=PX_2=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{37}{50}\\ \frac{13}{50}\end{array}\right]\)
\(\displaystyle X_4=PX_3=\left[\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{187}{250}\\ \frac{63}{250}\end{array}\right]\)
所求＝\(\displaystyle 1\cdot\frac{1}{2}+1\cdot\frac{7}{10}+1\cdot\frac{37}{50} +1\cdot\frac{187}{250}=\frac{336}{125}\) 感謝老師指導，覺得自己要學的還好多...
請教第6和第10題
6' 設一骰子連續投擲n次出現的點數依序為x_1,x_2,...x_n，,令Y_n=x_1+x_2+...+x_n，Y_n為7的倍數之機率為P_n，,求P_n=?(以n表示)
10. 已知方程式 x^3-3(a+1)x^2+6ax-2a=0，和x軸只有一個交點，
則 a 的範圍?
回復 8# natureling 的帖子
6. 二招：遞迴、生成函數遞迴法：\(\displaystyle P_n = \frac{1}{6} \cdot (1-P_{n-1}) + 0 \cdot P_{n-1} \Rightarrow P_n = (\frac{-1}{6})^n \cdot \frac{6}{7} + \frac{1}{7} \) (感謝 martinofncku 挑出筆誤)
生成函數：\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{6^n} \cdot (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n \)
令 \(\displaystyle \omega = \exp(\frac{2\pi i}{7}) \), 所求 \( = \frac{1}{7} \left( f(1)+f(\omega)+f(\omega^2)+f(\omega^3)+f(\omega^4)+f(\omega^5)+f(\omega^6) \right) =(\frac{-1}{6})^n \cdot \frac{6}{7} + \frac{1}{7} \)
類題：
(100中科實中) 一袋中有 5 個球，分別寫上 1,2,3,4,5 號，今由其中任取一球記下其號碼後放回袋中，如此繼續 n 次，若 \( P_{n} \) 表記錄到 n 次時數字和為偶數的機率，則 \( \sum\limits _{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2}-P_{n})=\underline{\qquad\qquad} \) 。
(100鳳山高中) 袋中有 \( 1,2,\ldots,9 \) 號球各一個，每次自袋中取出一球，取後放回，共取 n 次，n 次和為偶數的機率記為 \( P_{n} \) ，
求 (1) \( P_{n+1} \) 及 \( P_{n} \) 之關係式
(2) \( \lim\limits _{n\to\infty}P_{n} \) 。
(99鳳新高中) 不透明箱內有編號分別為 1 至 9 的九個球，每次隨機取出一個，記錄其編號後放回箱內；以 P(n) 表示前 n 次取球的編號之總和為偶數的機率。求 P(n)。
(99高雄高中) 一隻青蛙在 \( a,\, b,\, c,\, d,\, e,\, f \) 六相異點跳動，每次跳動之落點異於起跳點，若從 a 起跳，n 次後跳回 a 點有幾種跳法？
(100桃園新進聯招) n 個人安排進入 A 、B 、C 三間房間，A 房間有奇數個人，請問有幾種不同的安排方法？ 請問寸絲老師,你遞迴法中的通項公式
\( P_n = \frac{1}{6} \cdot (1-P_{n-1}) + 0 \cdot P_{n-1} \)
是否筆誤為
\( P_n = \frac{1}{6} \cdot (1-P_{n-1}) + 0 \cdot P_n \) 填充題 3 我算出來的答案是 3! H(6,7) 不曉得對不對。
回復 10# martinofncku 的帖子
的確是筆誤 等式右邊應皆為 n-1感謝您的好眼力，來去修一下
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-1-10 02:04 PM 編輯 [/i]] 第十題
我算到
\( a(a^3-2a^2+2a-2) \le 0 \)
怎麼繼續??
要拜請卡丹嗎?? 第 10 題
題目應是 [color=Red]2[/color]x^3 - 3(a + 1)x^2 + 6ax - 2a = 0
回復 14# thepiano 的帖子
感謝鋼琴師，遇到這種狀況真的是無言啊!!回復 15# 老王 的帖子
花了一個小時湊數字，因為還是覺得微分後不能分解，難度比較高；為了湊出最後能夠分解的三次式，算了許久。
各位若有興趣，將方程式改成
\( x^3-3(a+1)x^2+6ax+9a=0 \)
做做看。
不過如果真是在考場中，可能會瘋掉吧!!!!!!!
回復 11# martinofncku 的帖子
這是我的想法請卓參
謝謝
回復 6# weiye 的帖子
老大，這個方法實在是太厲害了。不過最後所求＝....要怎麼解釋？
回復 18# panda.xiong 的帖子
填充第 9 題說明：由於每次只投一球，所以在第 \(n\) 次投球會進球的機率，就是在第 \(n\) 次投球進球球數的期望值。第8題
甲袋中3紅2白，乙袋中2紅6白；任選一袋取出一球放入另一袋，再從被放入球的那一袋取出一球。已知兩次所取之球為異色，求從甲袋取出白球的機率為？
遇到機率、離散的題目，沒有正確答案來對照都還是缺少那一點信心...囧
\(\displaystyle P(甲白|異色)=\frac{P(甲白且異色)}{P(異色)}=\frac{P(甲白乙紅)+P(乙紅甲白)}{P(甲白乙紅)+P(甲紅乙白)+P(乙白甲紅)+P(乙紅甲白)}\)
\(\displaystyle =\frac{\frac{1}{2}\big(\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{9}+\frac{2}{8}\cdot\frac{2}{6}\big)}{\frac{1}{2}\big(\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{9}+\frac{3}{5}\cdot\frac{6}{9}+\frac{6}{8}\cdot\frac{3}{6}+\frac{2}{8}\cdot\frac{2}{6}\big)}=\frac{2}{11}\)
其實就是Bayes'定理或樹狀圖想法，不知道和各位老師們的答案是否一致？
[[i] 本帖最後由 Pacers31 於 2013-12-29 06:31 PM 編輯 [/i]]
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