tsusy老師你好
在下資質遲鈍
你所述 ~~再由畢氏逆定理得 \( \angle P'AP = 90^\circ \)
這邊我還是看不懂
所謂'畢氏逆定理"我沒有學過
我有用geogebra畫過圖,還是看不出來
不過還是謝謝你
我再想想 ... [/quote]
tsusy 兄 所講的 畢氏逆定理
就是滿足 a^2+b^2=c^2 的三角形三邊長 a,b,c 為直角三角形
(畢氏定理: 三邊長 為a,b,c的直角三角形中, 其中 c為斜邊 , 則a^2+b^2+c^2, )
經過旋轉過後，可以得到 (P'A)^2+(PA)^2=(P'P)^2, 所以 角 P'AP =90 度 [quote]原帖由 [i]brace[/i] 於 2012-5-30 12:36 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5922&ptid=1377][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問一下計算題第3題如何解 [/quote]
thepiano 老師已經有解了，
大概就是算出一個高為4, 三邊長為6,8,10的三角柱
加上三個半徑為2, 高分別為6,8,10, 的半圓柱
再加上一個半徑為2的球
所求答案相加為 96+(176/3)pi [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-29 04:09 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5898&ptid=1377][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充 10 仔細一做，根本是騙人的題目...
各位看看，或許是小弟做錯了
聯立 \( y=kx^{2} \), \( (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=a^{2}+b^{2} \) 得 \( x(k^{2}x^{3}+(1-2kb)x-2a)=0 \)
實係數四次方程式，已知有恰有三相異實根，必為 ... [/quote]
這篇借小弟回鍋一下，今天算這一題繞了好久，都繞不出答案，一直想利用重根這件事情，卻沒有好好利用根與係數
看到 tsusy 兄的解法才恍然大悟，原來這時候的解是唯一的，真的是被騙了。
之後有重新利用根與係數關係，真的可以很輕易的把根得到，其實這個方法只是把 tsusy 兄 的寫法稍微回鍋一下而已，
（之前繞來繞去的時候一直得到重複的式子囧，代數的一些觀念跟想法還有待加強）
回復 43# hua0127 的帖子
題目並沒有說圓和拋物線要相切，你們自己加了這個條件，得到唯一解應該是可預期的。
回復 44# 老王 的帖子
題目的確是沒有說相切， # 17 小弟回覆就曾說或許是小弟錯了也許是小弟的中文不好會錯意，但也不排除題目的敘述不好
來看看原題敘述「...有異於原點的另外[color=#ff0000]兩個[/color]交點，[color=#ff0000]此二[/color]交點落在直線 \( y = kx+b \) 上」
前半段有另外兩個交點，當然沒有[color=#ff0000]恰[/color]有另外兩個交點的意思，應該可以指二個以上
當然也有可能小弟的中文理解錯誤
但後半的此二兩字，是指定的用法。當交點數是有三個的情況，[color=#ff0000]此二[/color]兩個字根本無法指定，是不通的用法
如果真的要把敘述說好不誤會，要麼加上「恰有」二字，或是改成其交點有兩點落點落在直上 \( y =kx+b \)
不過既然題目要求最小值，推測後者才是出題者的原意，也就是不應該加上相切的條件。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-31 08:00 PM 編輯 [/i]]
回復 45# tsusy 的帖子
前天她問我的時候，一開始我也以為是要相切；但是又想一下，覺得不必。後來實際去做的時候，就將直線\( y=kx+b \)代入拋物線和圓的時候，得到兩個方程式:
\(\displaystyle kx^2-kx-b=0 \)
\(\displaystyle (1+k^2)x^2-2ax-b^2=0 \)
題目的意思就只是有相同交點(異於原點)，所以上兩方程式一致，就有
\(\displaystyle b=\frac{1+k^2}{k},2a=kb \)
可以得到答案。
但是我再用相切下去，跟你一樣得到
\(\displaystyle b=\frac{1+3k^2}{2k} \)
這樣答案不一樣。
最後求助GGB，才了解多了相切這個條件的話，就只有在\( k=1 \)的時候。
至於題目的敘述，"有兩個"就是有兩個，如果只有兩個就是那兩個，如果有三個，就是其中兩個；
"此二"當然就是前一句所說的"兩個"，是指定好的。
回復 19# tsusy 的帖子
寸絲老師!!想請問一下 為什麼要從2012開根號考慮呢??
還有過程有點看不太懂...
能不能解釋一下
感謝你!!
回復 47# Crazystan 的帖子
計算 2. 因為書寫順序和思考的順序不同...所以才讓您覺得從 \( \sqrt{2012} \) 寫起怪怪的吧思考的時候，是從幾個例子開始，
如果 \( k =1 \), 取 \( n=2012 \)
如果 \( k =2 \), 取 \( n=1006 \)
如果 \( k =3 \), 取 \( n=670 \)
...
發現基本上就是去找 \( n = [\frac{2012}{k}] \)
剩下來的就是去實現這個發現，那什麼條件之下，可以保證商就是我們要的 \( n \)
其實就是餘要小於商，用 #19 中的記號就是 \( r<m \)，但我們的除法只保證 \( 0 \leq r < k \) (原先漏一個等號)
所以才借助 \( \sqrt{2012} \) 來使得 \( k\leq m \) ，如此來一來處理完 \( k=1 \) 到 44 都有解
剩下的只好一個一個慢慢驗，只是一樣借助 \( r<m \) 加快檢驗
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-1 08:54 AM 編輯 [/i]]
回復 2# dtc5527 的帖子
填充第 7 題，換個方向旋轉也不錯。填充第 7 題，另解一：
[attach]1171[/attach]
如圖，將 \(\triangle PBC\) 以 \(B\) 為旋轉中心，逆時針旋轉 \(90^\circ\)，
則 \(\triangle PQB\) 為等腰直角三角形，得 \(\overline{PQ}=5\sqrt{2}\)，
在 \(\triangle APQ\) 中，因為 \(\overline{PQ}^2=\overline{AP}^2+\overline{AQ}^2\) （ \((5\sqrt{2})^2=7^2+1^2\) ），
因此 \(\triangle QAP=90^\circ\)，\(\displaystyle\sin\angle AQP=\frac{7}{5\sqrt{2}}, \cos\angle AQP=\frac{1}{5\sqrt{2}}\)
得 \(\displaystyle\cos\angle AQB=\cos\left(\angle AQP+45^\circ\right)=\cos\angle AQP\cos 45^\circ-\sin\angle AQP\sin45^\circ=\frac{-3}{5}\)
在 \(\triangle AQB\) 中，由餘弦定理，可得 \(\overline{AB}^2=1^2+5^2-2\cdot1\cdot5\cdot\cos\angle AQB=32\)，此即為正方形 \(ABCD\) 之面積。
（註：或是學 shiauy 老師用托勒密定理也不錯，哈！）
另解二：
[attach]1172[/attach]
設正方形 \(ABCD\) 的邊長為 \(x\)，\(\angle PBC=\alpha,\angle PBA=\beta\)，
因為 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 互餘，所以 \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta=1\)
［說明： \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta=\cos^2\alpha+\cos^2\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\) ］
在 \(\triangle PBA\) 中，由餘弦定理可得 \(\displaystyle\cos\alpha=\frac{5^2+x^2-7^2}{2\cdot5\cdot x}\)
在 \(\triangle PBC\) 中，由餘弦定理可得 \(\displaystyle\cos\beta=\frac{5^2+x^2-1^2}{2\cdot5\cdot x}\)
因此，
\(\displaystyle\left(\frac{5^2+x^2-7^2}{2\cdot5\cdot x}\right)+\left(\frac{5^2+x^2-1^2}{2\cdot5\cdot x}\right)=1\)
解「\(x^2\)」的一元二次方程式，即可得 \(x^2=32\)，此即為正方形 \(ABCD\) 之面積。
（註：「\(x^2\)」解出的另一根為 \(18\) ，但如此會使得 \(\cos\alpha<0\)，但顯然 \(\alpha\) 為銳角，故不合。）
註：解完才發現 wdemhueebhee 老師已經回過上面的作法了，囧rz..... 想請問填充4
回復 50# wdemhueebhee 的帖子
填充 4. 兩邊同時對 \( y \) 偏微得\( f'(x+y) = 2 f(x) f'(y) \), \( y=0 \) 代入得
\( f'(x) = 2f(x) f'(0) = 4f(x) \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 4 \)
再來補充個類題，把原題取個 log 就很像下面的類題了
100 中壢高中1招填充 8. 設 \(f,\, g \) 為可微分函數, 且 \( f(x+2y)=f(x)+g(y) \), \( \forall x,\, y\in R \). 試問：若 \( f(0)=1 \), \( f'(0)=2 \), 求 \(g(5) \).
看到這個類題後，聯想到第一次看到這個題型時，條件其實給的比較少：微分的條件，只要求 \( f \) 在 0 處可微，但從這個條件可以推出其它地方也可以微
不過，對於填充題的作答是沒什麼影響，如果是計算題就要小心條件了
現在把條件弱化一下，改成「 \( f(x+y)=2f(x)f(y) \) 對任意實數 \(x, y\) 且 \( f(0)>0,\, f'(0)=2 \)」
也就是可微函數的條件和函數皆正被拿掉了，但我們還是可以小心地處理
令 \( x=y=0 \) 代入解得 \( f(0) = \frac12 \)
若 \( y \neq 0 \), 則 \( \frac{f(x+y)-f(x)}{y}=\frac{2f(x)f(y)-f(x)}{y}=2f(x)\cdot\frac{f(y)-\frac{1}{2}}{y} \)
取極限\( y \to 0\), 得 \( f'(x) \) 存在且 \( f'(x) = 2f(x)f'(0) \)
現在只差把 \( f(x) \) 除過去，就結束了，所以需要 \( f(x) \neq 0\)
若 \( 0 = f(x)=2(f(\frac{x}{2}))^{2} \)，也就是說 \( f(x) = 0 \Rightarrow f(\frac x2) =0 \Rightarrow f(\frac{x}{2^{n}}) = 0 \)
\( n \to \infty \) 又 0 點處連續(可微必連續) 得 \( f(0) = 0 \) 矛盾，所以 \( f(x) \neq 0 \)
所以即使把條件弱化到只有 0 處局部的訊息，還是一樣的結果 \( \frac{f'(x)}{f(x)} = 4 \)
更甚者，可以直接把 \(f\) 算出來 \( f(x) = \frac{1}{2} e^{f'(0)x} \), 其實就是解微分方程 [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2012-5-31 10:14 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5975&ptid=1377][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
前天她問我的時候，一開始我也以為是要相切；但是又想一下，覺得不必。
後來實際去做的時候，就將直線\( y=kx+b \)代入拋物線和圓的時候，得到兩個方程式:
\(\displaystyle kx^2-kx-b=0 \)
\(\displaystyle (1+k^2)x^2-2ax-b^2\) ... [/quote]
多謝老王老師的指教，將題目的意思看清楚看來也是一個值得學習的關鍵，長知識了～
回復 49# weiye 的帖子
在現場中 有考慮同時將三角形ABP及PBC逆時針旋轉90度來想ˇˇˇ並想利用餘弦定理來想 [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2012-6-1 08:48 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5981&ptid=1377][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]填充第 7 題，換個方向旋轉也不錯。
填充第 7 題，另解一：
1171
如圖，將 \(\triangle PBC\) 以 \(B\) 為旋轉中心，逆時針旋轉 \(90^\circ\)，
則 \(\triangle PQB\) 為等腰直角三角形，得 \(\overline{PQ}=5\sqrt{2}\)，... [/quote]
謝謝瑋岳老師
這個圖我看懂了
我記得建中通訊解得有類似題
昨天有去找,可惜沒找到
謝謝你
回復 54# arend 的帖子
那再來一個另解好了，填充第 7 題，
[attach]1175[/attach]
如上圖，連接 \(\overline{PD}\)，
因為 \(\overline{PA}^2+\overline{PC}^2=\overline{PB}^2+\overline{PD}^2\)
（上面這行用一堆畢氏定理就可以證出來了～）
可得 \(\overline{PD}=5\)
因此，\(\triangle ABP\sim\triangle ADP\) 且 \(\triangle CBP\sim\triangle CDP\) （兩者皆用ＳＳＳ全等性質）
可得 \(A, P, C\) 三點共線，因此正方形 \(ABCD\) 的對角線 \(\overline{AC}=7+1=8\)
\(\Rightarrow\) 可得正方形 \(ABCD\) 的邊長與面積。 [quote]原帖由 [i]zeratulok[/i] 於 2012-5-29 07:52 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5882&ptid=1377][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第5可以用轉換的！
把[sin(2t-45),cos(2t-45)]轉換成[cos(135-2t),sin(135-2t)]
然後就可以算出他的範圍就在單位圓上的75～105度
接下來就看附圖應該就會了！
粗線就是p的移動軌跡（其實是沒有畫好....） ... [/quote]
請問為什麼不可直接算[sin(2t-45),cos(2t-45)]
當ｔ=１５度,可得[sin(-１５度),cos(-１５度)]
當ｔ=３０度,可得[sin(１５度),cos(１５度)]
[[i] 本帖最後由 mandy 於 2012-6-1 10:24 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]mandy[/i] 於 2012-6-1 10:20 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5995&ptid=1377][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問為什麼不可直接算[sin(2t-45),cos(2t-45)]
當ｔ=１５度,可得[sin(-１５度),cos(-１５度)]
當ｔ=３０度,可得[sin(１５度),cos(１５度)] [/quote]
可以呀， 畫出來還會是跟 #11 zeratulok 的圖一樣呀，
點 \((\cos\theta,\sin\theta)\) 是位在單位圓上，從正向 \(x\) 軸開始逆時針旋轉 \(\theta\) 角，如下～
[attach]1178[/attach]
而點 \((\sin\theta,\cos\theta)\) 是位在單位圓上，從正向 \(y\) 軸開始順時針旋轉 \(\theta\) 角而已，如下～
[attach]1179[/attach]
所以，[sin(-１５度),cos(-１５度)]～角度增加到～[sin(１５度),cos(１５度)]的點移動軌跡如下，
[attach]1180[/attach] [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-28 11:01 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5870&ptid=1377][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充 9. 小弟來個暴力解，應該有其它比較優的方法
坐標化 \( C(0,0),\, A(0,a),\, B(0,b) \), 向量全寫下了
內積和除以 \( n \) 列式得 \( \frac1n \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{k(k-1)}{n^{2}}(a^{2}+b^{2}) \)
可 ... [/quote]
ＡＢＣ是直角三角形,Ｂ座標是不是(ｂ,０),若用(ｂ,０)做, 內積和的列式裡係數就會有ｎ ?
請教第六題
請問版上的老師第六題該怎麼做啊?祝各位老師 新年快樂!
回復 59# anyway13 的帖子
填充題第 6 題：法一：用排容原理，
\(8!-\left(C^3_2\times7!\times2-6!\times3!\right)-7!\times2-7!\times2\)
\(+\left(C^3_2\times6!\times2\times2-5!\times3!\times2\right)+\left(C^3_2\times6!\times2\times2-5!\times3!\times2\right)+6!\times2\times2\)
\(-\left(C^3_2\times5!\times2\times2\times2-4!\times3!\times2\times2\right)\)
\(=9216\)
任排－甲乙丙至少有兩人相鄰（三人同時相鄰有多扣要回補）－丁戊相鄰－己庚相鄰
＋甲乙丙至少有兩人相鄰（三人同時相鄰有多扣要回補）且丁戊相鄰＋甲乙丙至少有兩人相臨（三人同時相鄰有多扣要回補）且己庚相鄰
＋丁戊相鄰且己庚相鄰
－甲乙丙至少有兩人相鄰（三人同時相鄰有多扣要回補）且丁戊相鄰且己庚相鄰
法二：先分類之後列出 "丁戊己庚辛" 的排列方法，
分類方式是按照丁戊、幾庚這兩組分成
"1. 兩組都相鄰（\(3!\times2\times2=24\)） 2. 兩組恰一組相鄰（\(C^2_1\times\left(4!\times2-24\right)=48\)） 3. 兩組都沒有相鄰（\(5!-24-48=48\)）"，
然後再讓甲乙丙插空隙。
\(24\times\left(3\times2\right)\times4+48\times3\times\left(5\times4\right)+48\times\left(6\times5\times4\right)=9216\)
類題：[url]https://math.pro/db/thread-1610-1-1.html[/url]