101中壢高中
題目在附件請教填充第7題
是否利用旋轉來解?謝謝 回樓上
圖很簡陋 希望看得懂
觀察一下 P'DP" 會成一直線
最後是三個直角三角形 算面積 第三個直角在角P'PP"
圖有點歪 還請大家見諒...
[[i] 本帖最後由 sanghuan 於 2012-5-28 08:41 PM 編輯 [/i]]
回復 2# dtc5527 的帖子
將三角形PBC以B為中心旋轉90度後，PABP'四點共圓，用托勒密就可以算出邊長請問填充9、10題
回復 5# rudin 的帖子
填充 9. 小弟來個暴力解，應該有其它比較優的方法坐標化 \( C(0,0),\, A(0,a),\, B(0,b) \), 向量全寫下了
內積和除以 \( n \) 列式得 \( \frac1n \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{k(k-1)}{n^{2}}(a^{2}+b^{2}) \)
可以認填算以下求和公式，懶得算的話，就當作 \( k^2 \) 積分跑出 \( \frac13 \)
所以答案就是 \( \frac{c^2}{3} \)
想請教填充第5和第8和第10；計算第1，第3
(1)不知第5如何思考(2)還有第8...不知自己哪兒算錯了@@..請求幫助sinA+sinC=2sin(A+C/2)cos(A-C/2)
=2sin[ (pi-B) /2 ]cos(pi/6)
=\sqrt{3} cos(B/2)
又sinA+sinC=2sinB
左右平方
4*sin^2 (B)=3*cos^2(B/2)=3*[ ( 1+cos^2(B) )/2 ]
=3/2+3/2*(1-sin^2(B))=3-3/2*sin^2(B)
則
11/2*sin^2(B)=3
11*sin^2(B)=6
sin(B)=\sqrt{11/6}
(3)第10也不知如何思考
計算一：要如何下筆...總覺得是用畫圖的..但湊不出@@
[[i] 本帖最後由 natureling 於 2012-5-29 12:19 AM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]natureling[/i] 於 2012-5-28 11:48 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5874&ptid=1377][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url] [/quote]
後面有一段錯了:4*sin^2 (B)=3*cos^2(B/2)=3*[ ( 1+cos^2(B) )/2 ]
應改成 4*sin^2 (B)=3*cos^2(B/2)=3*[ ( 1+[color=red]cos(B) [/color])/2 ] 對~感謝感謝....
[quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-29 12:26 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5876&ptid=1377][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
後面有一段錯了:4*sin^2 (B)=3*cos^2(B/2)=3*[ ( 1+cos^2(B) )/2 ]
應改成 4*sin^2 (B)=3*cos^2(B/2)=3*[ ( 1+cos(B) )/2 ] [/quote] [quote]原帖由 [i]natureling[/i] 於 2012-5-28 11:48 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5874&ptid=1377][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
[/quote]
計算1
大概講一下
假設向量PQ=向量a,向量PR=向量b,向量PS=向量c
依題意可知向量SQ=向量u,向量SR=向量v
在四邊形PQRS中,角QPR=120度,角QSR=60度
可知PQ[color=red]SR[/color]四點共圓
而當PS=|向量c|=此圓直徑時(即角PRS=PQS=90度)
|向量c|有最大值=1*2=2
註:紅色原有筆誤,感謝thepiano老師指正~
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-30 12:51 AM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]natureling[/i] 於 2012-5-28 11:48 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5874&ptid=1377][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
(1)不知第5如何思考[/quote]
第5可以用轉換的！
把[sin(2t-45),cos(2t-45)]轉換成[cos(135-2t),sin(135-2t)]
然後就可以算出他的範圍就在單位圓上的75～105度
接下來就看附圖應該就會了！
粗線就是p的移動軌跡（其實是沒有畫好....）
回復 11# zeratulok 的帖子
其實所求面積會直接等於扇形OBC面積，因為三角形ABC面積等於三角形OBC面積。回復 2# dtc5527 的帖子
我不會打數學式也，我是令邊長為x，角CBP為角a，則角PBA為90-a，分別用餘弦，再用sin^2(a)+cos^2(a)=1, 解出x^2 想請填充第2,10題,謝謝 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-29 12:49 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5878&ptid=1377][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]計算1
大概講一下
假設向量PQ=向量a,向量PR=向量b,向量PS=向量c
依題意可知向量SQ=向量u,向量SR=向量v
在四邊形PQRS中,角QPR=120度,角QSR=60度
可知PQRS四點共圓
而當PS=|向量c|=此圓直徑時(即角PRS=PQS=90度)
|向 ... [/quote]上面的方法好像沒有舉完全部的情形…
填充第2
[quote]原帖由 [i]阿光[/i] 於 2012-5-29 11:07 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5889&ptid=1377][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]想請填充第2,10題,謝謝 [/quote]
如附圖
回復 7# natureling 的帖子
填充 10 仔細一做，根本是騙人的題目...各位看看，或許是小弟做錯了
聯立 \( y=kx^{2} \), \( (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=a^{2}+b^{2} \) 得 \( x(k^{2}x^{3}+(1-2kb)x-2a)=0 \)
實係數四次方程式，已知有恰有三相異實根，必為四實根，且其一為二重根
令該重根為 \( -\alpha \)，根與係數可得剩下一根為 \( 2 \alpha \)
乘開以此四根為根的多項式 \( k^{2}x(x+\alpha)^{2}(x-2\alpha)=k^{2}x(x^{3}-3\alpha^{2}x-2\alpha^{3}) \)
比較係數得 \( 1-2kb=-3\alpha^{2}k^2, a=\alpha^{3}k^2 \)
兩交點坐標 \( (-\alpha, k\alpha^2) \), \( (2\alpha, 4k\alpha^2) \)，其連線斜率亦為 \( k \)
因此 \( k=\frac{4k\alpha^{2}-k\alpha^{2}}{2\alpha-(-\alpha)}=k\alpha\Rightarrow\alpha=1 \) 代回比較係數之結果得 \(a=k^2\) 且 \(1-2kb=-3k^2\)。
故兩交點為 \( (-1,k),\,(2,4k) \)，又兩交點連線過 \( (0,b) \) 且斜率為 \( k \)，因此 \( \Rightarrow b=2k \Rightarrow 1-4k^{2}=-3k^2 \Rightarrow k=1, b=2, a=1\)
這根本是一場騙局麻...重頭到尾 \( b \) 只有一個值而已，一直被求最小值騙了
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-29 04:25 PM 編輯 [/i]] 想再請教計算第2題,謝謝
回復 18# 阿光 的帖子
計算 2.\( \sqrt{2012}\approx44.8 \)，若 \( k\leq44 \), 由除法原理得 \( 2012=k\cdot m+r \), 則 \( 0<r<k\leq m \)
因此 \( \frac{2012}{m}=k+\frac{r}{m}\Rightarrow\left[\frac{2012}{m}\right]=k\Rightarrow k=1,2,3,\ldots,44 \) 皆有解。
以上注意只要 \( r < m \) ，則 \( \left[\frac{2012}{m}\right]=k \) (\( k \) 正整數皆可)
\( 2012\div45=44\ldots32, 2012\div46=43\ldots34 \)
\( 2012\div47=42\ldots38, 2012\div48=41\ldots44 \)。
\( \frac{2012}{41}=49+\frac{3}{44}, \frac{2012}{42}=47+\frac{38}{42} \)，又由單調性，得 \( k=48 \) 原方程無解。
又 \( k=1..47 \) 以上已驗有解，因此 \( k=48 \) 為最小正整數使之無解。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-29 10:53 PM 編輯 [/i]]