101家齊女中
這是考試記下的，不是學校公布的，有錯請指正。多謝，下載過的網友請重新下載一次，檔案有小錯已修正
101.5.28版主補充
以下資料供以後考生參考：
初試最低錄取分數 58分
取18名參加複試，正式1名，代理2名
72,70,68,67,67,66,64,63,62,62,61,60,59,59,58,58,58,58
其他，
50~57分 21人
40~49分 34人
30~39分 65人
20~29分 38人
10~19分 11人
0~9分 5人
缺考 6人
共計 198 人
101.5.29版主補充
學校已公布試題，請參閱附件
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-29 10:46 AM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]basess8[/i] 於 2012-5-27 08:00 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5823&ptid=1376][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這是考試記下的，不是學校公布的，有錯請指正。多謝 [/quote]
填充5
[1^3/2]+[2^3/3]+[3^3/4]+....................+[100^3/101]
=[(1^3+1^3)/2]+[(2^3+1^3)/3]+[(3^3+1^3)/4]+....................+[(100^3+1^3)/101]-100
=[1^2-1*1+1^2]+[2^2-2*1+1^2]+[3^2-3*1+1^2]+.................+[100^2-100*1+1^2]-100
=(1^2+2^2+3^2+.........+100^2)-(1+2+3+..........100)+100-100
=100*101*201/6 - 100*101/2
=338350-5050
=333300
填充6
k=62或65
計算2
(x,y)=( {1+3^(1/5) }/2 ,{1-3^(1/5) } /2
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-27 10:35 PM 編輯 [/i]]
請問一下這題怎麼算 QQ
將相同的20 顆紅球，20 黑球，20 顆白球，各自分成30 顆球的兩堆，分法有幾種?當場想到的方法是用排列的，不過應該不可以，所以就沒算了....
後來朋友有說設x、y、30-(x+y)下去討論....
不知道是不是這樣的方法?感謝各位!
回復 3# zeratulok 的帖子
之前有人問過小弟一模一樣的題目先把兩堆當作不一樣，考慮第一堆三種球數 \( x,\, y,\, z \)
則 \( x+y+z=30 \) 且 \( 0 \leq x, \, y, \, z \leq 20 \)
故有 \( H^3_{30} - 3 \cdot H^3_9 = 331 \)
但是實際上是二堆，所以以上會有重覆計算的可能，
哪些會是重覆計算的呢？例如 \( (5,6,19), (15,14,1) \) 和 \((15,14,1), (5,6,19) \) 其實就是一樣的
唯一沒被算兩次的只有 \( (10,10,10), (10,10,10) \)
所以答案即為 \( \frac{331-1}{2} +1 =166 \) [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-27 09:27 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5827&ptid=1376][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
之前有人問過小弟一模一樣的題目
先把兩堆當作不一樣，考慮第一堆三種球數 \( x,\, y,\, z \)
則 \( x+y+z=30 \) 且 \( 0 \leq x, \, y, \, z \leq 20 \)
故有 \( H^3_{30} - 3 \cdot H^3_9 = 331 \)
但是實際上是 ... [/quote]
寸絲這題解得很漂亮喔~~
回復 5# Ellipse 的帖子
其實要歸功於問問題的人前面的想法都是對方想出來了的，小弟只是負責修正想法而已
不過有時候靈感來的，就是一件很妙的事，
找個人問問聊聊，也會冒出一些奇怪的想法~哈~~
回復 4# tsusy 的帖子
感謝寸絲大，讓我慢慢咀嚼一下 囧回復 1# basess8 的帖子
計算第二題:兩式相加整理得:\(x^5+10x^3y^2+5xy^4=2\)----(1)
兩式相減整理得:\(5x^4y+10x^2y^3+y^5=-1\)---(2)
(1)+(2): \((x+y)^5=1\)
(1)-(2):\((x-y)^5=3\)
因此，可得\(x=\frac{1+3^{1/5}}2\)與\(y=\frac{1-3^{1/5}}2\) 計算第一題:
算出det(A)=0, det(B)=-21 不為0
故A不可逆，B可逆，
故若存在方陣Y使得BY=0 的話，兩邊同乘以 B^-1 ，得到 Y=0
所以不存在非零方陣Y使得 BY=0
(線代的觀念裡面 矩陣 A 可逆的充要條件有一條 是 AX=b中有唯一解 ，或是AX=0 只有零解
雖說定理的 X,b 是向量，但是觀念依樣)
因為A不可逆，所以AX=0 的解應不唯一，取方陣 X 使得X 的每一行元素依序為 -1 2 -3 ，則 AX=0 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-27 08:41 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5825&ptid=1376][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充5
[1^3/2]+[2^3/3]+[3^3/4]+....................+[100^3/101]
=[(1^3+1^3)/2]+[(2^3+1^3)/3]+[(3^3+1^3)/4]+....................+[(100^3+1^3)/101]-100
=[1^2-1*1+1^2]+[2^2-2*1+1^2]+[3^2-3*1+1^2]+....... ... [/quote]
填充5這做法真漂亮，怎麼樣想才能想到要把它補成整數 ?
每每遇到高斯的題目幾乎都有不知如何下手的感覺，
用不等式夾了老半天，顯然失敗囧..... 計算第三題:
(1) P1=2/7, P2=12/49
(2) 令前n 次的和 為 4k+1的 "情形" 有 a(n) 種， 4k+2 有 b(n) 種 ，4k+3 有 c(n) 種, 4k 有 d(n) 種
則 a(n)+b(n)+c(n)+d(n)=7^n, 又觀察知 a(n+1) = a(n) + 2b(n) +2c(n) +2d(n) =a(n) + 2(7^n -a(n))
兩邊同除以 7^(n+1), 得到 P(n+1)= -1/7 P(n) +2/7
(3) 解出 P(n)=(1/4)+(1/28)(-1/7)^(n-1)
有錯誤煩請指正 想請教填充第9,10題和計算第4題,謝謝 計算第4題：
試求有多少個相異的多項式\( f(x)=x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7 \)同時滿足下列2個條件：
(1)\( a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 \)為集合\( \{\; 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}\; \)中七個相異元素。
(2)\( f(x) \)可被\( x^3+x^2+x+1 \)整除。
我是用討論作，不知道有沒有妙招，也請大家幫小弟驗算一下，
首先觀察x^3+x^2+x+1=0的三虛根令為w, w^2, w^3,
又f(w)=0, 代入降次之後得到關係式 1+a4=a1+a5=a2+a6=a3+a7
（f(w^2)=0, f(w^3)=0 取交集後亦為此關係式）
再針對a4的值作討論：
(1) 若a4=10, 則 a1+a5=a2+a6=a3+a7=11, 所以(a1,a5), (a2,a6), (a3,a7)
可能的情況為 (2,9), (3,8), (4,7), (5,6) , 此情形有 4*3*2*2^3=192
(2) 若a4=9, 可能的情況為 (2,8), (3,7), (4,6), 有 3*2*1*2^3=48
(3) 若a4=8, 可能的情況為 (2,7), (3,6), (4,5), 有 3*2*1*2^3=48
a4=7,6, 5,4,3,2,1 均無解
故所求共 288 組
觀念如有錯也煩請指正。
[u]感謝[/u] zeratulok 兄的提醒，多算的部分已修正。
104.4.12補充
設多項式\( f(x)=x^7+a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \)，其中\( a_6,a_5,a_4,a_3,a_2,a_1,a_0 \)是集合\( \{\; 1,2,3,4,\ldots,10 \}\; \)中的七個相異元素，若\( x^3+x^2+x+1 \)是多項式\( f(x) \)的因式，試問有[u] [/u]個滿足條件的多項式\( f(x) \)。
(104台中女中，[url]https://math.pro/db/thread-2208-1-1.html[/url]) 提供填充5的解法，
其實和橢圓老師的解法很像。[attach]1152[/attach]
回復 13# hua0127 的帖子
好像有點問題....a4=9的時候應該只剩下(2,8)、(3,7)、(4,6)三組可以湊出10..
所以應該是3!*2^3
a4=8，剩下(2,7)、(3,6)、(4,5)
所以也是3!*2^3
a4=7，就可能是(2,6)、(3,5)而已，所以不可能了，以下都不行
還是我理解錯誤 囧
感謝指教! [quote]原帖由 [i]zeratulok[/i] 於 2012-5-28 03:57 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5852&ptid=1376][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
好像有點問題....
a4=9的時候應該只剩下(2,8)、(3,7)、(4,6)三組可以湊出10..
所以應該是3!*2^3
a4=8，剩下(2,7)、(3,6)、(4,5)
所以也是3!*2^3
a4=7，就可能是(2,6)、(3,5)而已，所以不可能了，以下都不行
還是我理解錯誤 ... [/quote]
你說的沒錯，的確是我眼殘沒發現，多謝指教，待會馬上修正。
填充五
填充五提供另一種解法我是列出前幾項之後 發現相鄰兩項的差會成為等差數列
也就是階差
整理可得 a_n = 2 [ 1+2+...+(n-1) ] = n * (n-1 )
所以可求得 從第一項加到第一百項的和為 333300
ps. 這次沒考好 , 嘆~ 10.
雙曲線的中心點在原點，兩個焦點皆在x軸上，有一條斜率為\( \displaystyle \sqrt{\frac{3}{5}} \)的直線通過右焦點並且交雙曲線於P,Q兩點，已知\( \overline{OP} \)垂直於\( \overline{OQ} \)且\( \overline{PQ}=4 \)，求雙曲線方程式
104.4.13補充
104台中女中也考了這題。[url]https://math.pro/db/thread-2208-1-1.html[/url]
雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，過雙曲線右焦點且斜率為\( \sqrt{\frac{3}{5}} \)的直線交雙曲線於P,Q兩點，若\( \overline{OP}⊥\overline{OQ} \)，\( |PQ |=4 \)。求雙曲線的方程？
(奧數教程 高二 第23講 曲線系)
[attach]1157[/attach]
計算2.
x,y皆為實數，滿足\( \displaystyle \cases{\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=2(y^4-x^4) \cr \frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=(x^2+3y^2)(3x^2+y^2)} \)，求\( (x,y) \)
William Lowell Putnam Mathematical Competition 2001
94高中數學能力競賽 台北市試題，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514[/url]
97中一中，[url]https://math.pro/db/thread-1344-1-1.html[/url] 想請教填充6..第二個k=65 如何解出...@@.
我令F(x)=f(x)-124=(x-1)(x-2)(x-k)...
假設x=m為F(x)=0的第3個實根，則
F(m)=0=m^3-(3+k)*m^2+(2+3k)*m+(124-2k)=0
則 m^3-3*m^2+2^m+124=k*m^2-3*k*m+2*k
則m=0 則124=2k , k=62
還是此題不是如此解法>"<...感謝!!
[quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-27 08:41 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5825&ptid=1376][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充5
[1^3/2]+[2^3/3]+[3^3/4]+....................+[100^3/101]
=[(1^3+1^3)/2]+[(2^3+1^3)/3]+[(3^3+1^3)/4]+....................+[(100^3+1^3)/101]-100
=[1^2-1*1+1^2]+[2^2-2*1+1^2]+[3^2-3*1+1^2]+....... ... [/quote]
回復 19# natureling 的帖子
這一題我的想法很簡單因為是整數解，所以整數帶入後，前面三個括號相乘要等於-124
124＝2*2*31＝2*62
但因為第一跟第二的括號出來的結果相差1，所以一定就是1*2或（-1）*（-2）
x=3 or 0 這樣下去算 k ＝ 62 or 65...
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