101桃園高中
各科初試最低錄取分數如下:1. 國文科正式：82.4分
2. 數學科正式：86分
3. 國文科代理:78分
4. 數學科代理:73分
5. 地科代理:46.4分
學校僅公佈最低錄取分數，無考生個人成績
想請教填充第3、6、8題。謝謝!!!
回復 2# tacokao 的帖子
填充第 3 題：小於 \(3^{10}\) 且與 \(3^{10}\) 互質的正整數個數為 \(\displaystyle 3^{10}\left(1-\frac{1}{3}\right)=2\cdot 3^9\)
思考：若 \(1\leq k<3^{30}\) 且 \(gcd(k,3^{10})=1\)，則 \(\displaystyle gcd(3^{10}-k,3^{10})=1\Rightarrow \frac{k}{3^{10}}+\frac{3^{10}-k}{3^{10}}=1\)
因此，所求＝\(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \left(2\cdot3^9\right)=3^9=19683.\) [quote]原帖由 [i]tacokao[/i] 於 2012-5-24 07:59 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5753&ptid=1373][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
[/quote]
填充3
歐拉定理告訴我們
1~3^10正整數中與3^10互質的數共有3^10*(1-1/3)=2*3^9個
這些頭尾配的和=3^10 (第一個配最後一個,第二個配最後第二個,.....)
共有2*3^9/2=3^9組
所求的總和=(3^10)*(3^9)/ (3^10)=3^9
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-24 08:17 PM 編輯 [/i]]
感謝瑋岳老師及橢圓老師，我懂了!!!!謝謝!!!!
回復 2# tacokao 的帖子
填充第 8 題：思考：小弟不太喜歡兩個變數互相限制來限制去的，因使先想辦法讓兩個變數沒有瓜葛～
令 \(t=x-y\Rightarrow t\geq0\)
\(\displaystyle\frac{5x+4y}{x+2y}=\frac{5t+9y}{t+3y}=3+\frac{2t}{t+9y}=3+\frac{2}{1+\frac{y}{t}}\geq3\)
先找出下界是 \(3\) 了！
當 \(t=0,y\in R^+\)時，\(\displaystyle \frac{5t+9y}{t+3y}\) 有最小值為 \(3\)
亦即當 \(x=y>0\) 時，可得 \(\displaystyle \frac{5x+4y}{x+2y}\) 有最小值為 \(3\)
因為 \(\displaystyle \frac{y}{t}\geq0\)，因此 \(\displaystyle \frac{5x+4y}{x+2y}=3+\frac{2}{1+\frac{y}{t}}\leq3+\frac{2}{1+0}=5\)
找到上界 \(5\) 了！
當 \(y=0, x>0\) 時，可得 \(\displaystyle \frac{5x+4y}{x+2y}=5\) 為最大值.
因此，所求＝最小值＋最大值＝\(8\)
回復 2# tacokao 的帖子
填充第 6 題：※ 如下想了一個怪方法，我想應該有其他更漂亮的方法吧。
先畫出圖形，觀察一下～
令 \(\displaystyle \vec{BO}=p\vec{BA}+q\vec{BC}\) .......(1)
將 (1) 的等號左右同時內積 \(\displaystyle \vec{BA}\)，可得 \(\displaystyle 27=27p+(-27)q\)
將 (1) 的等號左右同時內積 \(\displaystyle \vec{BC}\)，可得 \(\displaystyle 108=(-27)p+108q\)
兩式解聯立，可得 \(\displaystyle p=\frac{8}{3}, q=\frac{5}{3}\)
亦即 \(\displaystyle \vec{BO}=\frac{8}{3}\vec{BA}+\frac{5}{3}\vec{BC}=\frac{13}{3} \left(\frac{8}{13}\vec{BA}+\frac{5}{13}\vec{BC}\right) \)
令 \(\displaystyle \overline{OB}\) 與 \(\displaystyle \overline{AC}\) 的交點為 \(\displaystyle D\)
可得 \(\displaystyle \overline{AD}:\overline{DC}=5:8\)，且 \(\displaystyle \overline{BD}:\overline{OB}=3:13\Rightarrow \overline{OD}:\overline{OB}=10:13\)
因此，\(\displaystyle \vec{OD}=\frac{8}{13}\vec{OA}+\frac{5}{13}\vec{OC}\) 且 \(\displaystyle \vec{OB}=\frac{13}{10}\vec{OD}\)
故，\(\displaystyle \vec{OB}=\frac{13}{10}\left(\frac{8}{13}\vec{OA}+\frac{5}{13}\vec{OC}\right)=\frac{4}{5}\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{OC}\) 填充六 [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2012-5-24 09:35 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5762&ptid=1373][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充六 [/quote]
感謝老王老師，我看懂了!!!考試的時候一直執著它是圓內接四邊形，想把它坐標化，卻一直鬼打牆，謝謝您的解答。 看到老王所提供的圖，讓我想起指考研究用試題有一個類似題
已知\( ∠AOB=60^o \)，\( \overline{AE}=a \)，\( \overline{BE}=b \)，\( \vec{OE}=\alpha \vec{OA}+\beta \vec{OB} \)，請以a與b表示\( \alpha \)與\( \beta \)。
(94指定科目考試研究用試題，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=932&page=1#pid2009[/url])
我自己想請教的是計算第五題
我想以直線方程式\( ax+by=(a,b) \)的找出x,y的整數解一般項的方法應用在
平面方程式\( 36=77a+55b+35c \)的a,b,c整數解一般項
只是我自己繞來繞去仍是解不出來，不知道是否還有其他種方法
感謝weiye解題，原來是用同餘
也感謝Ellipse解題，是我太執著於找一般解，忘記要檢查是否真的有整數解
103.5.29補充
102景美女中也考了相同的題目[url]https://math.pro/db/thread-1624-1-1.html[/url]
回復 10# bugmens 的帖子
計算第 5 題：\(\displaystyle\frac{36}{5\cdot7\cdot11}=\frac{a}{5}+\frac{b}{7}+\frac{c}{11}\)
\(\Rightarrow 36=a\cdot7\cdot11+b\cdot5\cdot11+c\cdot5\cdot7\)
\(1\equiv a\cdot2\pmod{5}\Rightarrow a\equiv3\pmod{5}\Rightarrow a=3\) 或 \(a=-2\)
\(1\equiv b\cdot6\pmod{7}\Rightarrow b\equiv6\pmod{7}\Rightarrow b=6\) 或 \(b=-1\)
\(3\equiv c\cdot2\pmod{11}\Rightarrow c\equiv7\pmod{11}\Rightarrow c=7\) 或 \(c=-4\)
因此僅有 \(2\times2\times2=8\) 種情況是有可能得，
再帶入 \(\displaystyle\frac{36}{5\cdot7\cdot11}=\frac{a}{5}+\frac{b}{7}+\frac{c}{11}\) 檢查看這八種中有多少種會成立，
可得正確的答案。 計算5:
如果是用bugmens的想法來做的話
36=77a+55b+35c-------(*)
a=-4, 55b+35c=344 ,(55,35)不整除344. 所以b,c沒有整數解
a=-3, 55b+35c=267 ,(55,35)不整除267. 所以b,c沒有整數解
a=-2, 55b+35c=140 [color=red],(55,35)整除140. 所以b,c有整數解 =>再找解[/color]
a=-1, 55b+35c=113 ,(55,35)不整除113. 所以b,c沒有整數解
a=0, 55b+35c=36 ,(55,35)不整除36. 所以b,c沒有整數解
a=1, 55b+35c=-41 ,(55,35)不整除-41. 所以b,c沒有整數解
a=2, 55b+35c=-118 ,(55,35)不整除-118. 所以b,c沒有整數解
a=3, 55b+35c=-195 [color=red],(55,35)整除195. 所以b,c有整數解=>再找解[/color]
[color=black]a=4, 55b+35c=-272 ,(55,35)不整除-272. 所以b,c沒有整數解
[/color]
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-24 10:55 PM 編輯 [/i]]
回復 11# weiye 的帖子
計算第 5 題：另解，
\(36=77a+5(11b+7c)\)
解出通解 \(a=-2+5t, 11b+7c=38-77t\)，其中 \(t\) 為整數，
因為 \(|a|<5\)，所以 \(t=0\) 或 \(t=1\)
case i: 當 \(t=0\) 時，\(11b+7c=38\)，解出通解 \(b=-1+7m, c=7-11m\)，其中 \(m\) 為整數，
因為 \(|b|<7\) 且 \(|c|<11\)，所以 \(m=0\) 或 \(m=1\)，可得 \((a,b,c)=(-2,-1,7)\) 或 \((-2,6,-4)\)
case Ii: 當 \(t=1\) 時，\(11b+7c=-39\)，解出通解 \(b=-1+7m, c=-4-11m\)，其中 \(m\) 為整數，
因為 \(|b|<7\) 且 \(|c|<11\)，所以 \(m=0\)，可得 \((a,b,c)=(3,-1,-4)\)
>>>>>>>>>另外，順便來寫一下雙自由變數的通解，如下<<<<<<<<<<<<<<<<
\(36=77a+5(11b+7c)\)
先寫出 \((a,11b+7c)\) 的特解 \((-2,38)\)，再寫通解 \(a=-2+5t, 11b+7c=38-77t\)，其中 \(t\) 為整數，
再來考慮 \(11b+7c=38-77t\)，
先寫出 \((b,c)\) 的特解 \((-1,7-11t)\)，再寫通解 \(b=-1+7m, c=7-11t-11m\)，其中 \(m\) 為整數。
因此， \((a,b,c)\) 整數解的通解為 \((a,b,c)=(-2+5t, -1+7m, 7-11t-11m)\)，其中 \(t,m\) 為整數。
然後再依照本題的 \(|a|<5,|b|<7,|c|<11\)，也可解得對應的 \(t,m\) 之值。
回復 10# bugmens 的帖子
週三，武陵高中也考了一題，不過問的非負整數...題意經轉換後為：求最大之正整數 \( a \) 使得 \( 5n +12m =a \), \( m, n \) 無非負整數解
不過時間緊湊，也沒時間細想它...有空再來做 填充八
因為\( x \ne 0 \)
假設\(\displaystyle \frac{y}{x}=t \)
再由\( x \ge y \ge 0 \)
得到\( 0 \le t \le 1 \)
\(\displaystyle \frac{5x+4y}{x+2y}=\frac{5+4t}{1+2t}=2+\frac{3}{1+2t} \)
所以得到\( M=5,m=3 \)
請問一下填充5如何解,謝謝
請問一下填充5如何解,謝謝[[i] 本帖最後由 brace 於 2012-5-28 06:39 AM 編輯 [/i]]
回復 16# brace 的帖子
填充第 5 題：令 \(<a_n>\) 的公比為 \(a\)，\(<b_n>\) 的公比為 \(b\)，則
解 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}=\frac{8}{3}\\ \frac{1}{1-ab}=\frac{4}{5}\end{array}\right.\)，可得 \(\displaystyle(a,b)=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})\) 或 \(\displaystyle(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)
因此，所求＝\(\displaystyle\frac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}+2\cdot\frac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{-1}{2}\right)}+\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{64}{15}.\)
謝謝瑋岳老師
謝謝瑋岳老師,感謝您.^^ 想請教填充第11題如何從cos(A-B)=2/3
獲得跟邊長c有關的訊息？？ [quote]原帖由 [i]shiauy[/i] 於 2012-5-28 12:11 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5842&ptid=1373][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教填充第11題
如何從cos(A-B)=2/3
獲得跟邊長c有關的訊息？？ [/quote]
我是這樣考慮，因為 BC>AC，在 BC 上取一點 D 使得 角DAC=角B
這樣的話三角形 ACD 與 三角形 BCA 相似， 令 AD=x, 則
4/6= x/AB = CD/4, 可解出 CD=8/3, AB=3x/2,
再因為 cos(A-B)=cos(角BAD)=2/3, BD=6-(8/3)=10/3, AD=x, AB=3x/2
可用餘弦定理解出x, 這樣邊長c就出來了。
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