101 武陵高中
晚剛有去考，提供一題證明題。證明三高共點。考了十二題計算題。
圓內接正三角形ABC，圓的半徑為r,p為圓上任意點，求pa線段乘pb線段乘pc線段之最大值？
[attach]1135[/attach]
[attach]1136[/attach]
101.5.24版主補充
以下資料供以後考生參考：
初試最低錄取分數 55分
取10名參加複試，錄取1名
72,71,66,62,62,59,58,56,56,55
其他，
50~54分 7人
40~49分 18人
30~39分 22人
20~29分 17人
10~19分 8人
0~9分 1人
缺考 4人
共計 87 人
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-24 08:31 PM 編輯 [/i]]
回復 1# shingjay176 的帖子
sin那題，nysml考題，101那本P.146頁，答案2^(-89/2) [quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2012-5-23 09:22 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5724&ptid=1371][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]晚剛有去考，提供一題證明題。證明三高共點。
考了十二題計算題。
圓內接正三角形ABC，圓的半徑為r,p為圓上任意點，求pa線段乘pb線段乘pc線段之最大值？ ... [/quote]
[b]#2[/b]
[b]轉成複數平面[/b]
[b]令A:x1=r(cos0[font=新細明體][size=3]°+i*sin0[font=新細明體]°) ,B:x2=r([font=Helvetica](cos120[/font][font=新細明體][size=3]°+i*sin120[font=新細明體]°),C:x3=r[font=Helvetica](cos240[/font][font=新細明體][size=3]°+i*sin240[font=新細明體]°),[/font][/size][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font][/b]
[b][size=3][font=新細明體] [/font][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體]P:w=r(cos[font=新細明體]θ+i*sin[font=新細明體]θ)[/font][/font][/font][/font][/font][/font][/font][/size][/b]
[font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][b]則x1,x2,x3為x^3=r^3的解,(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)=x^3-r^3------------(*)[/b][/font][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font]
[font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][b]將w代入(*)得 (w-x1)*(w-x2)*(w-x3)=w^3-r^3=r^3[cos(3[font=新細明體]θ)-1 +i*sin(3[font=新細明體]θ)][/font][/font][/b][/font][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font]
[font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][b]取絕對值則 [/b][/font][/font][/font][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font]
[font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][b]|(w-x1)|*|(w-x2)|*|(w-x3)|[/b][/font][/font][/font][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font]
[b][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體]=[/font][/font][/font][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體]PA*PB*PC[/font][/font][/font][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font][/b]
[font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][b]=r^3*{ [cos(3[font=新細明體]θ)-1]^2+[sin(3[font=新細明體]θ)]^2 }^0.5[/font][/font][/b][/font][/font][/font][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font]
[font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][b]=r^3*[2-2cos(3[font=新細明體]θ)]^0.5[/font][/b][/font][/font][/font][/font][/font][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font]
[font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][b]<=r^3*[2-2(-1)]^0.5[/b][/font][/font][/font][/font][/font][/font][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font]
[font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][b]=2*r^3為最大值[/b][/font][/font][/font][/font][/font][/font][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font]
[font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體]
[/font][/font][/font][/font][/font][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][size=3][font=新細明體][b][font=新細明體]註:當θ=60°,180°,300°時,所求有最大值[/font][/b][/font][/size][/font][/font][/size][/font][/font][/size][/font]
110.5.25補充
已知一單位圓圓\(O\)，且\(\Delta ABC\)為圓\(O\)之內接正三角形。若\(P\)為圓\(O\)上一動點，則\(\overline{PA}\times\overline{PB}\times \overline{PC}\)的最大值為何？
(110竹科實中，[url]https://math.pro/db/thread-3508-1-1.html[/url]) [quote]原帖由 [i]rudin[/i] 於 2012-5-23 09:49 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5725&ptid=1371][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
sin那題，nysml考題，101那本P.146頁，答案2^(-89/2) [/quote]
這題作法
跟PA*PB*PC那題的技巧相同~
回復 4# Ellipse 的帖子
我是座標化，把三個點標出直角座標，p點用圓的參數式寫，在利用點跟點的距離公式，三個式子硬乘開，化簡後。式子簡化很多，也有証明出来。 [quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2012-5-23 10:17 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5730&ptid=1371][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]我是座標化，把三個點標出直角座標，p點用圓的參數式寫，在利用點跟點的距離公式，三個式子硬乘開，化簡後。式子簡化很多，也有証明出来。 [/quote]
用複數平面來做,應該會比較精簡
回復 6# Ellipse 的帖子
沒錯，你的算式真的精簡很多，有時候在考場做題目就是一個念頭。我當下還是選擇穩扎穩打。好在十分有拿到。今天晚上有八十七個人考。作答的答案紙，題號跟作答範圍都劃範圍框框劃好了。計算過程沒有控制好，很容易就超出範圍，寫到答案紙的邊邊了。 計算題第一題，((根號5)+2)^101=m+n(根號5），請說明m,n是偶數還是奇數.(5分）回復 8# shingjay176 的帖子
補完計算 1(1) \( (\sqrt{5} +2)^{101} =m + n \sqrt{5} \), \( m, n \) 整數，請說明 \( m, n\) 是偶數還是奇數
(2) \( h = (\sqrt{5} +2)^{101} = a + k \) ，其中 \( a \) 為正整數且 \( 0 < k <1 \)，求 \( hk \)
再補一題
\( F \) 為橢圓 \( \frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{72} =1 \) 之右焦點， \( A(1,3) \), \( P \) 在橢圓上，
求 \( \overline{PF} + \overline{PA} \) 的最大最小值
再補一題...印象中好像是有兩種郵資的郵票 5 元和 12 元各無限多張，
求最大的正整數 \( n \) ， 使得無法湊出 \( n \) 元郵資
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-25 08:56 AM 編輯 [/i]]
回復 1# shingjay176 的帖子
三角形三高共點，在考試時候想了好久，真的不知道如何下筆回復 10# shingjay176 的帖子
三角形三高共點，用向量證很快。∆ABC 中
過 A 作 AD 垂直 BC 於 D，
過 B 作 BE 垂直 CA 於 E，
設 AD 與 BE 交於 H，
且 CH 延長線交 AB 於 F，
因為 AD 垂直 BC 且 向量 AD 平行向量 AH
→ 向量 AH‧向量 BC =0 [color=#ff0000]（接下來硬是要拆開，把一切都寫成 "X"H 向量）[/color]
→ 向量 AH‧（向量 BH－向量CH） =0
→ 向量 AH‧向量 BH－向量 AH‧向量CH =0 .............(1)
因為 BE 垂直 CA 且向量 BE 平行向量 BH
→ 向量 BH‧向量 CA =0[color=#ff0000]（接下來硬是要拆開，把一切都寫成 "X"H 向量）[/color]
→ 向量 BH‧（向量 CH－向量AH） =0
→ 向量 BH‧向量 CH－向量 BH‧向量AH =0 .............(2)
由 (1) (2) 兩式相加，
可得 向量 BH‧向量 CH－向量 AH‧向量CH =0
→ （向量 BH－向量 AH）‧向量CH =0
→ 向量 AB‧向量CH =0
且因為 向量CH 平行 向量 CF
所以， CF 垂直 AB
意即，過 A, B 兩點所作的高之交點，也會在過 C所作之高之上，
故，三角形 ABC 的三高有共同交點。
回復 11# weiye 的帖子
我現場有用這想法去做，可惜轉不出來答案。我的想法是先讓其中兩個高連線，交於H點。再用第三個頂點，和H點連線，在延長後，交於對邊於E點，要證明此線段與對邊垂直。現在來想想看，看證明的出來嗎？？
回復 12# shingjay176 的帖子
真的用向量證明，可以很快證明出來。但在考場就有如鬼擋牆一般。就是無法衝破那個想法的點。可惜十分又沒拿到了。第一題計算題也沒寫出來。[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2012-5-23 11:24 PM 編輯 [/i]]
回復 13# shingjay176 的帖子
小弟也是鬼打牆向量做不出來，回家搭火車路上就想到了考場裡只好開大絕，過三頂點補三條和對邊的平行線
此三條線交出三點形成的三角線，三邊恰以原三角形三頂點為中點
於是原本小三角形的三垂線，就變成新的大三角形的三中垂線
接下來國中生的，就會證了
--------------------------------------------------------------------------------
反過來說，應該比較好理解
任一個三角形會與其三邊中點所形成的三角形相形，而且是兩倍大
畫個圖，大的中垂線就是小的高
所以問題可以換成三中垂線交於一點
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-24 10:03 AM 編輯 [/i]]
回復 14# tsusy 的帖子
你的方法，我沒看懂勒。指點一下。考場裡最大的障礙是時間壓力吧。我來好好思考。謝啦
大的中垂線就是小三角形的高，要說明嗎啊，怎麼說明。(這我想通了),該如何想三中垂線共點勒。這樣想是把三高共點，轉換成證明，三中垂線共點勒。
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2012-5-24 11:53 AM 編輯 [/i]]
回復 3# Ellipse 的帖子
不好意思 回鍋請教一下這一題曾使用坐標化 或是 複數平面證明，這幾天想換了一種方式去證，但似乎覺得PA的說法有點沒說服力，請大家幫忙指正
題目：圓內接正三角形ABC，圓的半徑為r,P為圓上任意點，求PA線段乘PB線段乘PC線段之最大值
在不失一般性的假設下
設P點在BC弧上
欲使PA × PB × PC 最大
PA × PB × PC ≦ PA × [(PB + PC)/2]^2
若等號成立 PB = PC = r 且 此時的 PA 恰好會是圓內最大的弦 <---------是不是有更好的說法?
得 PA × PB × PC ≦ 2r × r^2 = 2r^3
是不是該補充說明 這圖有對稱性或是其他之類的?
因為我們知道 對於隨意三個正數 x y z 乘積 ， 若 y與z乘積有最大時，也未必保證x就是最大
但這題目很巧的是， PB = PC = r 時， PA 是最大的，這圖形又有很好的對稱性，所以這樣的證明方法，不知適不適合?
[[i] 本帖最後由 CyberCat 於 2015-4-3 03:12 PM 編輯 [/i]]
回復 16# CyberCat 的帖子
這樣證會有個小問題，就是 PB + PC 的值並非定值小弟的想法如下：
P 在弧 BC 上(P 不為 B 或 C)時
△PBC = (1/2) * PB * PC * sin(2π/3) = (√3/4) * PB * PC
由同底(BC)，高愈長，面積愈大，可知 P 在弧 BC 中點時，PB * PC 有最大值，而此時 PA 是直徑也是最大
故 PA * PB * PC 有最大值
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2015-4-3 05:21 PM 編輯 [/i]]
回復 17# thepiano 的帖子
感謝鋼琴老師的指點我一直覺得我的論證中好像哪裡怪怪的
原來是我忽略了 PB + PC 並非定值 這個條件
您提到用面積的想法去找出 PB * PC 最大值的想法 真是頗有趣味的^^
(都忘了有圓周角固定為2π/3可以使用)
感謝您的回覆 讓我又多學到了一些
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