101彰化高中
想請教幾題:填充1. 四面體ABCD
其中AB長=4
CD長=5
AB到CD之距離為3
求四面體體積=?
計算作圖2. 給定一拋物線,並給軸上一點,如何利用紙規作圖找出焦點
計算作題4.
sinx1+sinx2+....+sinxn=0
{
sinx1+2sinx2+3sinx3+....+nsinxn=100
求滿足上式之最小正整數n
以上三題~請教大家...謝謝!!
【註：weiye 於 2012/05/23 附加上彰化高中公布的題目與答案，並修改上述題目對應至正確的題號了。】
回復 1# milkie1013 的帖子
填充1.四面體\(O-ABC\)中\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{OC}=5\)，\(\overline{AB}\)與\(\overline{OC}\)的公垂線段長為3，則此四面體的體積為[u] [/u]。
四面體那體我是這樣想的，看成上下兩面都是正方形，高為3的形體，(其中上面正方形的對角線是4，下面正方形的對角線是5)此四面體體積為該立體再扣掉4個三角錐為所求。
計算作圖2. 尺規作圖：先做出對稱軸，再找1：2的正交弦即可得焦點。 [quote]原帖由 [i]milkie1013[/i] 於 2012-5-21 01:46 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5669&ptid=1369][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教幾題:
計算作圖4. sinx1+sinx2+....+sinxn=0----------------(1)
{
sinx1+2sinx2+3sinx3+....+nsinxn=100---------------(2)
... [/quote]
以下是純粹是小弟的猜測~如果答案是錯的,最後會刪掉
依題意知sin(xi) ,i=1,2,3,......n當中有些是負的,有些是正的
sin(xi)若是0那麼會浪費n的數量(n會變更大)
由(2)可知當n越後面時,前面的倍數就越大
因為(2)答案為100,那就讓前面產生k個負的,後面用k個正的相加答案=100
(用後面迅速產生正的量減掉前面緩慢產生負的量,這樣n就會比較小)
-(1+2+........+k)+ [(k+1)+(k+2)+...........+(k+k)]=100
-(k+1)*k/2 + (3k+1)*k/2=100
-k^2-k+3k^2+k=200
k^2=100,k=10
表示n=2k=20是最小值
註:前面10個sin(xi)=-1,後面10個sin(xi)=1
以上如果有錯,請告知~
回復 2# judochiou625 的帖子
「先做出對稱軸」這件事並不無聊，須費一翻功夫如果拿尺隨便一畫，鐵定得 0 分
因為題目是只給軸上一點，沒有給軸，當然也不知道軸的方向
記得很多年前，參加能力競賽的時候，口試就被問到了這樣的問題
作法為：任作兩條平行線，於拋物線交於兩弦，則其中點連線平行於對稱軸
橢圓和雙曲線的情況，亦有類似之性質 5.
\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \)，\( n \in N \)，則\( \displaystyle \sum_{k=1}^{9999}a_k= \)？
設\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \)，求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{99}a_n \)？
(100麗山高中第二次，[url=https://math.pro/db/thread-1164-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1164-1-1.html[/url])
計算題6.
已知實數數列\( a_1,a_2,a_3,... \)滿足\( a_1=1 \)，\( 3a_{n+1}=a_n^2+3a_n \)，\( n=1,2,... \)，求級數\( \displaystyle \frac{1}{a_1+3}+\frac{1}{a_2+3}+\frac{1}{a_{2012}+3} \)之和的整數部分
\( <x_n> \)正實數數列，\( \displaystyle x_1=\frac{3}{4} \)且滿足\( x_{k+1}^2=x_k^4+2x_3^3+x_k^2 \)，求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+...+\frac{1}{x_{202}+1} \Bigg]\; \)
(101板橋高中，[url=https://math.pro/db/thread-1366-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1366-1-1.html[/url])
計算題7.
[]表高斯符號，求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{1}{\root 3 \of{1^2}+\root 3 \of{1 \times 2}+\root 3 \of{2^2}}+\frac{1}{\root 3 \of{3^2}+\root 3 \of{3 \times 4}+\root 3 \of{4^2}}+\frac{1}{\root 3 \of{5^2}+\root 3 \of{5 \times 6}+\root 3 \of{6^2}}+...+\frac{1}{\root 3 \of{999^2}+\root 3 \of{999 \times 1000}+\root 3 \of{1000^2}} \Bigg]\; \)之值
以上三題都可以在"我的教甄準備之路 裂項相消"找到更多類似題
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678[/url]
計算題2.
附圖是拋物線的一部分，Q為拋物線之對稱軸上的一點。
試利用尺規作圖的方法，找出此拋物線的焦點。(請作圖並寫出作法)
這裡有相關資料，我的教甄準備之路第10篇
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834(連結已失效)
h ttp://forum.nta.org.tw/examserv ... 230541&postcount=10(連結已失效)
回復 4# tsusy 的帖子
我當下也只做到這而已(對稱軸)，回來跟同事討論和上網查才知道後半段，1：2是同事給的方法，網路上是查到兩弦中點連線與拋物線之交點A，過A做平行一開始的弦會是該點切線，再來就光學性質。 彰化高中公佈題目跟答案了，感謝 ptt 網友 polipo 提醒。小弟已將題目與答案以附加檔貼到本討論串的首篇了！：Ｄ 計算#5
\(\left[\matrix{
2012\times2013&2013\times2014&2014\times2015\cr
2013\times2014&2014\times2015&2015\times2016\cr
2014\times2015&2015\times2016&2016\times2017}\right]
\left[\matrix{x\cr y\cr z}\right]=\left[\matrix{1\cr 4 \cr 9}\right]\)，求\(x+y+z\)之值。
想對方向就很快,想錯方向就要做很久
\(2012*2013x+2013*2014y+2014*2015z=1\)---------------(1)
\(2013*2014x+2014*2015y+2015*2016z=4\)---------------(2)
\(2014*2015x+2015*2016y+2016*2017z=9\)---------------(3)
(2)-(1)得 \(\displaystyle 2013x+2014y+2015z=\frac{3}{2}\)----------------(4)
(3)-(2)得 \(\displaystyle 2014x+2015y+2016z=\frac{5}{2}\)----------------(5)
(5)-(4)得 \(x+y+z=1\) 計算最後一題
最後面的數據是否有問題
聽去考的老師說
當場有修正數據 想請教一下計算題第一題??????
回復 10# man90244 的帖子
計算作圖題第 1 題：以\(O\)表坐標平面的原點。給定一點\(A(4,3)\)，而點\(B(x,0)\)在正\(x\)軸上變動。以\(l(x)\)表示\(\overline{AB}\)長，求\(\Delta OAB\)中兩邊長比值\(\displaystyle \frac{x}{l(x)}\)的最大值。
(請給出兩種解法：一種是微積分的方法、一種是幾何觀點的方法。)
微積分法：
\(l(x)=\sqrt{(x-4)^2+3^2}=\sqrt{x^2-8x+25}\)
令 \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{l(x)}=\frac{x}{\sqrt{x^2-8x+25}}\)
\(\displaystyle f\,'(x)=\frac{25-4x}{(x^2-8x+25)\sqrt{x^2-8x+25}}\)
解 \(f\,'(x)=0\)，可得 \(\displaystyle x=\frac{25}{4}\)
且當 \(\displaystyle x>\frac{25}{4}\) 時，\(f\,'(x)<0\)；
當 \(\displaystyle x<\frac{25}{4}\) 時，\(f\,'(x)>0\)
所以， 當在 \(\displaystyle x=\frac{25}{4}\) 時，\(\displaystyle f(x)\) 有最大值 \(\displaystyle f(\frac{25}{4})=\frac{5}{3}\)。
幾何觀點法：
令 \(\displaystyle \angle AOB=\alpha, \angle OAB=\theta\)，則 \(\displaystyle \sin\alpha=\frac{3}{5}\)
[attach]1141[/attach]
且在 \(\triangle OAB\) 中，由[color=Red]正弦定理[/color]，可得
\(\displaystyle \frac{\overline{OB}}{\sin\theta}=\frac{\overline{AB}}{\sin\alpha}\)
\(\displaystyle\Rightarrow \frac{x}{l(x)}=\frac{\sin\theta}{\sin\alpha}=\frac{\sin\theta}{\frac{3}{5}}\leq\frac{1}{\frac{3}{5}}=\frac{5}{3}\)
可知當 \(\displaystyle \theta=90^\circ\) 時，\(\displaystyle \frac{x}{l(x)}=\frac{5}{3}\) 為最大值。
註：這題是[color=Red] 2006 年指考數甲[/color]的考題
110.8.25補充
以\(O\)表坐標平面的原點，給定一點\(A(4,3)\)，而點\(B(x,0)\)在正\(x\)軸上變動。若\(l(x)\)表\(\overline{AB}\)長，則\(\Delta OAB\)中兩邊比值\(\displaystyle \frac{x}{l(x)}\)的最大值為[u] [/u]。(化成最簡分數)
(110蘭陽女中，[url]https://math.pro/db/thread-3538-1-1.html[/url]) 想請教填充第4&6題,謝謝
回復 12# 阿光 的帖子
填充第 4 題：一個抽獎活動依排隊順序抽獎，輪到抽獎的人有一次抽獎機會，抽獎方式為丟擲一枚公正銅板，正面為中獎，反面為沒中獎。獎品有四份，活動直到四份獎品都被抽中為止。則在排第六位的人可以抽獎的情況下，排第七位的人可以抽獎的條件機率為[u] [/u]。
設 \(A\) 表示第六位可抽獎的事件， \(B\) 表示第七位可抽獎的事件，
則
\(\displaystyle P(A)=P(\mbox{前五位沒人中獎})+P(\mbox{前五位恰一人中獎})+P(\mbox{前五位恰兩人中獎})+P(\mbox{前五位恰三人中獎})\)
\(\displaystyle =C^5_0\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_1\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_2\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_3\left(\frac{1}{2}\right)^5\)
\(\displaystyle =\frac{26}{32}\)
\(\displaystyle P(A\cap B)=P(\mbox{前五位中不超過兩人中獎，第六位有沒有中獎都可以})+P(\mbox{前五位恰有三人中獎且第六位沒有中獎})\)
\(\displaystyle =\left(C^5_0\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_1\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_2\left(\frac{1}{2}\right)^5\right)\cdot1+C^5_3\left(\frac{1}{2}\right)^5\cdot\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{21}{32}\)
所求機率＝\(\displaystyle P(B\Big|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{21}{26}.\)
回復 12# 阿光 的帖子
填充第 6 題：在一個七位數中，若每一出現的數字都至少出現兩次，就稱這種七位數是一個好數。例如：2222222和2223323都是好數，但是2222223和3456777都不是好數。則所有的七位數中，好數有[u] [/u]個。
七同 → \(9\) 種
五同兩同 → \(\displaystyle C^9_1C^8_1\cdot\frac{7!}{5!2!}+1\cdot C^9_1\frac{6!}{5!1!}+1\cdot C^9_1\frac{6!}{4!2!} = 1701\)
註：分成「不含零」、「五同為0」、「兩同為0」
三同兩同兩同 → \(\displaystyle C^9_1C^8_2\frac{7!}{3!2!2!}+1\cdot C^9_2\left(\frac{7!}{3!2!2!}-\frac{6!}{2!2!2!}\right)+1\cdot C^9_1C^8_1\cdot\left(\frac{7!}{3!2!2!}-\frac{6!}{3!2!1!}\right) = 68040\)
註：分成「不含零」、「三同為0」、「兩同為0」
三同四同 → \(\displaystyle C^9_1C^8_1\cdot\frac{7!}{3!4!}++1\cdot C^9_1\frac{6!}{2!4!}+1\cdot C^9_1\frac{6!}{3!3!}= 2835\)
註：分成「不含零」、「四同為0」、「三同為0」
所求＝\(9+1701+68040+2835=72585\) 想請問各位老師,填充第8題該如做...一直想不到...謝謝
回復 15# jmfeng2001 的帖子
填充 8.\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[(n+2)(n+4)\ldots(n+2n)]^{\displaystyle \frac{1}{n}}=\)[u] [/u]。
這應該是老題目了，直覺就是取 log 黎曼和，作法如下
把 \( n = (n^n)^{\frac1n} \) 放進中括號 \( [..] \)
取 log 後，黎曼和轉成積分
回復 13# weiye 的帖子
在第六位可以抽的條件下，第七位不能抽的機率\(\displaystyle \frac{\displaystyle C_3^5 \times (\frac{1}{2})^5 \times \frac{1}{2}}{P(A)} \)
回復 2# judochiou625 的帖子
作對稱軸可利用對稱及尺規作圖
以該點為圓心取適當長當半徑畫弧與拋物線的交點必對稱
再以此兩點作出其線段的中垂線
必過給定點且必為軸
後面就差怎樣找正焦弦 不好意思，能否請教一下各位老師計算第七題。
上下同乘 A-B 分母都變成1之後就不知道怎麼下手了@_@
感謝。
回復 19# hua77825 的帖子
[]表高斯符號，求\(\displaystyle \left[\frac{1}{\root 3 \of {1^2}+\root 3 \of {1\times 2}+\root 3 \of {2^2}}+\frac{1}{\root 3 \of {3^2}+\root 3 \of {3\times 4}+\root 3 \of {4^2}}+
\frac{1}{\root 3 \of {5^2}+\root 3 \of {5\times 6}+\root 3 \of {6^2}}+\ldots+
\frac{1}{\root 3 \of {999^2}+\root 3 \of {998\times 999}+\root 3 \of {1000^2}} \right]\)之值。
看錯題目~~抱歉~~等等想想
承您所說，同乘可得
\( \left[ \sum\limits_{n=1}^{999} (\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}) \right] \)
之後相消即得 \( [ \sqrt[3]{1000}-1] = 9 \)
-----------------------------------------------------------------------------------------
上面雖然是錯的，但想法可用，就是把缺項補上
令 \( A=(\sqrt[3]{2}-1)+(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3})+\ldots+(\sqrt[3]{1000}-\sqrt[3]{999}) \), \( B=\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}+\ldots+\sqrt[3]{999}-\sqrt[3]{998} \)
則 \( A + B = 10-1 =9\)。把根號寫回分數，則 \( A,\, B \) 可逐項比大小有 \( A>B \) 且 \( A-(\sqrt[3]{2}-1)<B \) 可得 \( B<A<B+0.3 \)
所以 \( 2A-0.3<A+B=9<2A \)，得 \( 4.5 < A < 4.65 \)
因此 \( [A] =4 \)
以上，如有錯誤，麻煩指正
頁:
[1]
2