回復 19# hua77825 的帖子
計算作圖第 7 題：thepiano 老師解過了 [url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2816#p7601]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2816#p7601[/url]回復 21# weiye 的帖子
謝謝瑋岳老師，小弟太不細心了沒有去注意，感謝:) 想請教填充第9題謝謝~
回復 23# bluemo 的帖子
已知\(x\)為實數，則\(\sqrt{-x^2+4x+21}-\sqrt{-x^2+10x-24}\)的最大值為[u] [/u]。先配方得 \( \sqrt{25-(x-4)^{2}}-\sqrt{1-(x-5)^{2}} \)
將之看作兩半圓之 \( y \) 坐標相減
而當 \( x=4 \) 時，第一個半圓 \( y \) 坐標有最大值，第二個半圓 \( y \) 坐標有最小值
\( x= 4 \) 代入得最大值 \( \sqrt{21} \) [quote]原帖由 [i]milkie1013[/i] 於 2012-5-21 01:46 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5669&ptid=1369][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教幾題:
填充1. 四面體ABCD
其中AB長=4
CD長=5
AB到CD之距離為3
求四面體體積=?
計算作圖2. 給定一拋物線,並給軸上一點,如何利用紙規作圖找出焦點
計算作題4.
... [/quote]
校方公佈題目和答案說填充第一題條件不足無法解，請問要加什麼條件才能算呢？
又，請問該如何算呢？ 想請問填充7該如何做
回復 26# icetea 的帖子
填充 7.若\(\displaystyle z_k=cos \frac{k\pi}{12}+i sin\frac{k\pi}{12}\)，其中\(k=0,1,2,\ldots,11\)；若\(\displaystyle \omega=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，則\(\displaystyle \sum_{k=0}^{11}|\;z_k-\omega|\;^2=\)[u] [/u]。
\( |z|^2 = z \cdot \bar{z} \)
用力的展開，合併項得
所求 \( = 24 - \sum \bar{z_k} \omega - \sum z_k \bar{\omega} = 24 - 2Re \sum z_k \bar \omega \)
而 \( Re \sum z_k \bar \omega = 2 + \sqrt{\frac32} + \frac{3}{\sqrt{2}} +\sqrt{3} \) (硬算) 代入得
\( 20 - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} -3\sqrt{2} \) 變成lim e^{1/n ln [(1+2/n)(1+4/n).....]}
=e^{1/n [ln(1+2/n)+ln(1+4/n)+...]}
是積ln(1+2x)嗎@@..
感恩
[quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-25 10:24 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5799&ptid=1369][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充 8.
這應該是老題目了，直覺就是取 log 黎曼和，作法如下
把 \( n = (n^n)^{\frac1n} \) 放進中括號 \( [..] \)
取 log 後，黎曼和轉成積分 [/quote]
回復 28# natureling 的帖子
積 ln(1+x) 或 ln(1+2x) 皆可，以下補完算式注意 \( \frac{1}{n}=(\frac{1}{n^{n}})^{\frac{1}{n}} \)，\( \frac{1}{n}\left[\prod\limits _{k=1}^{n}(n+2k)\right]^{\frac{1}{n}}=\left[\prod\limits _{k=1}^{n}(1+\frac{2k}{n})\right]^{\frac{1}{n}} \)，
取對數，變乘為加，\( \frac{1}{n}\ln\prod\limits _{k=1}^{n}(1+\frac{2k}{n})=\frac{1}{n}\sum\limits _{k=1}^{n}\ln(1+\frac{2k}{n}) \)，
上式為 \( \int_{0}^{1}\ln(1+2x)dx \) 之黎曼和，故其收斂至 \( \int_{0}^{1}\ln(1+2x)dx=\frac{3\ln3}{2}-1 \)。
故所求極限為 \( e^{\frac{3\ln3}{2}-1}=\frac{3\sqrt{3}}{e} \)。
計算第 3 題
空間中，\(x^2+y^2=3^2,z=0\)及\(x-z=0\)所圍成封閉區域的體積為何？雖然 thepiano 老師已解，小弟幫朋友解完也順便放上來供參考。
可以請教一下計算作圖第 6 題嗎? 謝謝!!
可以請教一下計算作圖第 6 題嗎?謝謝!! bugmens 老師已有提示
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1369&page=1&authorid=210[/url]
回復 32# thepiano 的帖子
感謝鋼琴老師提醒!已解出!!! 對於計算5 小弟有個問題請教
我第一眼的想法 是發現t=1，2，3 三根和為6
為(t+2011)(t+2012)x+(t+2012)(t+2013)y+(t+2013)(t+2014)z=t^2 的三根
但這是一個2次方程 頂多兩根
但如果把尾部的常數改成 1 8 27
即可用這方法搭配根與係數求出x+y+z
想請問的是如果是原題目的數字，是否就不能用上述的方法，只能用橢圓老師的方法
又或者是我有哪邊的細節沒考慮到 你的觀察很敏銳
\((t+2011)(t+2012)x+(t+2012)(t+2013)y+(t+2013)(t+2014)z=t^2\)是一個二次方程式，卻有\(t=1,2,3\)三個根
代表原方程式是個恆等式，將原方程式重新整理成\((x+y+z)t^2+(\ldots)t+(\ldots)=t^2\)比較\(t^2\)係數可得\(x+y+z=1\)
把尾部的常數改成1,8,27
\((t+2011)(t+2012)x+(t+2012)(t+2013)y+(t+2013)(t+2014)z=t^3\)是一個三次方程式，三根為\(t=1,2,3\)
就不是恆等式了，此時才用根與係數求出\(x+y+z\)
同樣技巧的類似問題整理在這裡[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919&page=1#pid1944[/url]
若實數\(a,b,c\)滿足\( \displaystyle \frac{a}{5}+\frac{b}{8}+\frac{c}{11}=\frac{a}{6}+\frac{b}{9}+\frac{c}{12}=\frac{a}{7}+\frac{b}{10}+\frac{c}{13}=1 \)，則\( a+b+c \)？(A)18 (B)24 (C)27 (D)30
也可以問上面題目要怎麼改才會變成用恆等式求\(a+b+c\)的值。 感謝bugmens老師的指點 豁然開朗
試著推導了一下常數為1 16 81 的情形
令t=1，2，3，d為
(t+2011)(t+2012)x+(t+2012)(t+2013)y+(t+2013)(t+2014)z=t^4 的四根
整理得t^4 -(x+y+z)t^2 +...t+...=0
由根與係數知d=-6
-(x+y+z)=-25
所以x+y+z=25 經過驗證相同
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