Math Pro 數學補給站's Archiver

任何事情都有好的一面,
現在放棄就看不見了。

tsusy 發表於 2012-5-20 09:50

101板橋高中

附件是記憶中的題目
有些敘述不太完整,有的數字可能不對,

或是寸絲的中文不好,言不及意

還請各位幫忙指正,謝謝~~

感謝 lianger 幫忙修正題意和題號

請諸位慢慢享用

bugmens 發表於 2012-5-20 10:23

感謝分享

3.
曲線Γ:\( \displaystyle y=\frac{1}{x} \),
(1)△ABC三頂點皆在曲線Γ 上,求證其垂心亦在曲線Γ上。
(2)\( D=(-1,-1) \),△BCD為正三角形,且B,C在第一象限曲線Γ上。求B,C坐標。
[url=https://math.pro/db/thread-559-1-1.html]https://math.pro/db/thread-559-1-1.html[/url]
在最後一題加分題有解答
連結已失效h ttp://web.tcfsh.tc.edu.tw/math/math2/T95221A.pdf

設雙曲線\( xy=1 \)的兩支為\( C_1,C_2 \),正三角形PQR的三頂點位於此雙曲線上。
(1)求證:P,Q,R不能都在雙曲線的同一支上。
(2)設\( P(-1,-1) \)在\( C_2 \)上,Q,R在\( C_1 \)上,求頂點Q,R的坐標。
(1997大陸高中數學聯合競賽)

4.
我覺得題目要改成這樣才算得出來
(1)\( f(x)=\sqrt{-x^2+68x-256}-\sqrt{-x^2+10x-9} \),求\( f(x) \)的最大值。
(2)承上,此時x之值。
[解答]
(x-34)^2+y^2=30^2的上半圓為\( y=\sqrt{-x^2+68x-256} \)
(x-5)^2+y^2=4^2的上半圓為\( y=\sqrt{-x^2+10x-9} \)
此時\( f(x) \)可視為兩半圓的y值相減的函數,當x=9時有最大值\( 5\sqrt{11} \)

感謝lianger和tsusy指教,原來用加的也是可以解出來

Find the largest positive value attained by the function \( f(x)=\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48} \), x a real number
(A)\( \sqrt{7}-1 \) (B)3 (C)\( 2\sqrt{3} \) (D)4 (E)\( \sqrt{55}-\sqrt{5} \)
(1993AHSME,[url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=44&year=1993]http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=1993[/url])

設\( x \in R \),試求\( f(x)=\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48} \)的最大值?
(96和美高中,96基隆海事)

5.
\( <x_n> \)正實數數列,\( \displaystyle x_1=\frac{3}{4} \)且滿足\( x_{k+1}^2=x_k^4+2x_k^3+x_k^2 \),求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+...+\frac{1}{x_{202}+1} \Bigg]\; \)

有一個數列\( x_1 \),\( x_2 \),\( x_3 \),…,\( x_{2001} \),其中\( \displaystyle x_1=\frac{1}{3} \)且\( x_{k+1}=x_k^2+x_k \),\( k=1,2,...,2000 \)請找出\( \displaystyle \frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+\frac{1}{x_3+1}+...+\frac{1}{x_{2001}+1} \)的整數部分?
(建中通訊解題第11期)

10.
求所有的正實數x,y,滿足\( \displaystyle \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}} \),\( \displaystyle \frac{x+y}{2} \),\( \sqrt{xy} \),\( \displaystyle \frac{2xy}{x+y} \)皆為正整數且四數之和為66。

感謝thepiano將這麼古老的討論文章挖了出來
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2814]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2814[/url]
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=8852 (連結已失效)

lianger 發表於 2012-5-20 12:00

回復 2# bugmens 的帖子

[size=3]第4題
這題我在考試的時候也沒湊出來,後來才想到可以用柯西不等式,沒拿到這10分真是太可惜了!
\( f(x)=\sqrt{(x-1)(9-x)}+\sqrt{(64-x)(x-4)}=\sqrt{x-1} \sqrt{9-x}+\sqrt{64-x} \sqrt{x-4} \)
\(\begin{cases}
& (x-1)(9-x)\geq   0 \\
& (64-x)(x-4)\geq 0
\end{cases} \)
\( \Rightarrow  4 \leq  x\leq 9 \)
所以\(x-1,9-x,64-x,x-4\)皆不小於0
由柯西不等式得
\([(x-1)+(64-x)][(9-x)+(x-4)]\geq (\sqrt{x-1} \sqrt{9-x}+\sqrt{64-x} \sqrt{x-4})^2\)
所以\( \sqrt{x-1} \sqrt{9-x}+\sqrt{64-x} \sqrt{x-4}  \leq  \sqrt{63 \times 5 }=3\sqrt{35} \)
所求之最大值為\(3\sqrt{35}\)
等號成立時,\( \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{9-x}}=\frac{\sqrt{64-x}}{\sqrt{x-4}} \)
\( \Rightarrow  x=\frac{143}{17} \)[/size]

[[i] 本帖最後由 lianger 於 2012-5-20 12:10 PM 編輯 [/i]]

tsusy 發表於 2012-5-20 12:43

回復 3# lianger 的帖子

lianger 是對的,小弟也算出同樣的 \( x \)

幾何解法,
取 \( (x-5)^2 + y^2 = 4^2 \) 的上半圓和 \( (x-34)^2 + (y-3 \sqrt{35})^2 = 30^2 \) 下半圓

兩半圓外切,而兩根號,可視為 半圓上的點至圓心的 \( y \) 分量,如圖 \( \overline{BD} \),  \( \overline{AC} \) 之和

因此兩大值為兩圓心 \( y \) 坐標之差 \( 3 \sqrt{35} \), 其發生位置,其可由分點公式算出 \( x= \frac{143}{17} \)
[attach]1114[/attach]

[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-20 12:45 PM 編輯 [/i]]

sweeta 發表於 2012-5-20 13:02

回復 1# tsusy 的帖子

第八題的範圍印象中是 101 到 2012

因為當時我的解讀是  民國101年和西元2012年   XD

brace 發表於 2012-5-20 13:56

第8.9題題目修正

謝謝各位無私的分享
沒記錯的話
第8題n範圍為66<=n<=2012
第9題f(0)=1,f(1)-3,則積分0到1  (f''(x))^2dx>=4
不好意思,電腦能力太弱

tsusy 發表於 2012-5-20 18:08

回復 6# brace 的帖子

感謝 sweeta 和 brace 兩位提供訊息

第 9 題 brace 的數字應該才是對的

而第 8 題,個人的印象是有 6 偶數...但 66 的話不就和最後一題一樣??這樣應該會有印象才是?

印象中第 8 題算出 90xxxx。 不知道,諸位對此數字是否有印象,也可能是小弟算錯

[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-21 09:50 PM 編輯 [/i]]

weiye 發表於 2012-5-20 18:50

幫朋友解完第 5 題順便放上來~~

(聽他說,今年的彰中也有出一題類似題。)


第 5 題:

\(\displaystyle x_{k + 1}^2 = \left( x_k\left( x_k + 1 \right)\right)^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow x_{k + 1} = x_k\left( x_k + 1 \right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x_{k + 1}} = \frac{1}{x_k\left( x_k + 1\right)} = \frac{1}{x_k} - \frac{1}{x_k + 1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x_k + 1} = \frac{1}{x_k} - \frac{1}{x_{k + 1}}\)


因為

\(\displaystyle \frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} +  \cdots  + \frac{1}{x_{202} + 1}\)

\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} \right) + \left( \frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_3} \right) +  \cdots  + \left( \frac{1}{x_{202}} - \frac{1}{x_{203}} \right)\)

\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_{203}} \right)\)

\(\displaystyle < \frac{1}{x_1} - 0\)

\(\displaystyle = \frac{4}{3} < 2\)





\(\displaystyle \frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} +  \cdots  + \frac{1}{x_{202} + 1}\)

\(\displaystyle > \frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} + 0 + 0 +  \cdots  + 0\)

\(\displaystyle = \frac{1}{\frac{3}{4} + 1} + \frac{1}{\frac{3}{4} \times \left( \frac{3}{4} + 1 \right) + 1}\)

\(\displaystyle = \frac{260}{259} > 1\)

因此,

\(\displaystyle \left[\frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} +  \cdots  + \frac{1}{x_{202} + 1} \right] = 1\)

tsusy 發表於 2012-5-20 19:48

回復 8# weiye 的帖子

應該是吧...昨天晚上也有人問寸絲

題目好像是 \( 3a_{n+1} = a_n^2 +3a_n \),問的是 \( \frac{1}{a_n +3} \) 的和之類的

手法一模一樣...昨天問小弟的那位,應該想撞牆了...

hua0127 發表於 2012-5-20 23:03

第九題:
考慮積分形式的柯西不等式:
若函數 f,g 在 [a,b] 可積分,則 (S (f(x))^2 dx) (S (g(x))^2 dx) 大於等於 (S f(x)g(x) dx)^2
(抱歉 其中的 S 表示積分符號, 且範圍為 [a,b]

本題中 (S (f'(x))^2 dx) (S 1^2 dx) 大於等於 (S f'(x) dx)^2, 其中 積分範圍為 [0,1]
化簡得到 (S (f'(x))^2 dx) 大於等於 (f(1)-f(0))^2 =4 , 驗畢.

blue329456 發表於 2012-5-21 11:47

回復 2# bugmens 的帖子

第四題
亦可使用一階微分
f ' (x)=0
求出x 的值
但 計算較複雜

gonm 發表於 2012-5-21 13:52

第六題,我想請問有沒有人有印象,題目是說每人投"兩票"還是投"兩人"?
如果是投兩票,是否可接受兩票皆投同一人?
雖然說這樣題目會變得很簡單...
H(3,80)
如果規定要投兩人的話,
相當於每人投你不想選的人
所以應該是H(3,40)
看你少拿了幾票

第二小題,可以只投一人
所以如果令x,y,z為三人少拿的票數
則40<=x+y+z<=80
且x,y,z<=40
可以解出來是H(4,80)-3*H(4,79)-H(4,39)

tsusy 發表於 2012-5-21 15:12

回復 12# gonm 的帖子

是兩人,而非兩票

我的敘述可能不太好,不知道哪位願意幫忙修一下

gonm 發表於 2012-5-21 18:20

回復 13# tsusy 的帖子

您的敘述沒有問題
我只是想確認一下
順便替我的分數哀號XDD

bigslam 發表於 2012-5-22 21:31

回復 12# gonm 的帖子

第六題第一小題如gonm所說為H(3,40)
但第二小題按你算式算出答案為負數,是否可以看成投票方法有(o,o,x),(o,x,o),(x,o,o),(o,x,x),(x,o,x),(x,x,o)共六種,投票總數為40張的重複組合,答案為H(6,40)
第三小題反向思考,投票方法為(o,o,x),(o,x,o),(x,o,o),有人得到不小於30各 x 的選票,其答案為
3 * H(3,10)=198...這樣的解法不知是否正確

tsusy 發表於 2012-5-22 21:51

回復 15# bigslam 的帖子

6 (2) 這樣寫會有重覆
OOX 13*OXX 13*XOX 13*XXO 這組和 XOO 14*OXX 13XOX 12*XXO 總得票數都是 14,14,13

6 (3) 想法相同

等等再來想 6 (2)

basess8 發表於 2012-5-23 12:56

[font=Times New Roman]感謝寸絲兄指點,我把後面寫法補完[/font]

[font=Times New Roman]第八題[/font]
[font=Times New Roman][font=Times New Roman]將方程式同乘 \(x\) 則有\(C^{n}_{n-1}x^{n-1}+C^{n}_{n-2}x^{n-2}+...+C^{n}_{2}x^2+C^{n}_{1}x=0\)[/font][/font][font=Times New Roman]       (\(x=0\)) 不為根[/font]
[font=Times New Roman][font=Times New Roman][font=Times New Roman]再同補上[/font] \(x^n+1\) 得 \(x^n+C^{n}_{n-1}x^{n-1}+C^{n}_{n-2}x^{n-2}+...+C^{n}_{2}x^2+C^{n}_{1}x+1=x^n+1\)
[/font][/font][font=Times New Roman]整理 \((x+1)^n=x^n+1\)[/font]
可令[font=Times New Roman] [/font]\( g(x)=(x+1)^n-x^n-1 \)若 \( x=a \)為 \( f(x) \) 的重根,那 \( x=a \) 必為 \( g(x) \) 的重根
則有\( g(a)=g'(a)=0 \)

\(g(a)=(a+1)^{n}-a^{n}-1\),\(g'(a)=n(a+1)^{n-1}-na^{n-1}\) 推得

1.\(g(a)-\frac{a}{n} g'(a)=(a+1)^{n-1}-1=0\)
2.\(g(a)-\frac{a+1}{n} g'(a)=a^{n-1}-1=0\)

所以\(a\)為\((x+1)^{n-1}=x^{n-1}=1\)的根,在複數平面上畫出\(|x+1| =| x|=1\)
找出交點代回 \( (\pm \frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} = 1\)  或 \(  ( \pm \frac{1}{2} - \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} =1  \)

故6為\(n-1\)的因數

[font=Times New Roman]
[/font]

[[i] 本帖最後由 basess8 於 2012-5-23 11:38 PM 編輯 [/i]]

tsusy 發表於 2012-5-23 13:20

回復 17# basess8 的帖子

前面的作法相同..

但後面的討論似乎有點問題: \( n \) 奇數是,實際上 \( x=-1 \) 有可能是單根

如 \( n=3 \) 方程式為 \( 3x+3 = 0\) 顯然是單根

應令 \( g(x) = xf(x) = (x+1)^n - x^n -1 \), 則有 \( g'(x) = n(x+1)^{n-1} + nx^{n-1} \)

0 不為 \( f(x) =0 \) 之根,因此 \( x=a \) 為 \( f(x) = 0 \) 之重根若且唯若 \( x=a \) 為 \( g(x) =0 \) 之重根

若且唯若 \( g(a)=g'(a) = 0 \),若且唯若 \( 0 = g(a) - \frac an g'(a) = (a+1)^{n-1}-1 \) 且 \( 0 = g'(a) =n(a+1)^{n-1} - na^{n-1} \)

若且唯若 \( x=a \) 為 \( (x+1)^{n-1} =x^{n-1} =1 \) 的解。

在複數平面上畫兩圓 \( |x+1|=|x| =1 \) ,其交點為 \( x= -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt 3}{2} \)

因此,有重根若且為若 \( (\pm \frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} = 1\) 或 \(  ( \pm \frac{1}{2} - \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} =1  \)

即 \( 6 \mid n-1 \)

\(n = 1 \) 時,原方程式是  \( 0 = 0 \) 算不算重根丫???但不影響此題作答

[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-23 01:30 PM 編輯 [/i]]

arend 發表於 2012-5-23 22:43

[quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-20 12:43 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5646&ptid=1366][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
lianger 是對的,小弟也算出同樣的 \( x \)

幾何解法,
取 \( (x-5)^2 + y^2 = 4^2 \) 的上半圓和 \( (x-34)^2 + (y-3 \sqrt{35})^2 = 30^2 \) 下半圓

兩半圓外切,而兩根號,可視為 半圓上的點至圓心的 \( y \) 分量,如圖  ... [/quote]

請問tsusy老師

\( (x-34)^2 + (y-3 \sqrt{35})^2 = 30^2 \) 下半圓

怎麼從原式得到的

想了很久還是想不透

謝謝

tsusy 發表於 2012-5-23 23:20

回復 19# arend 的帖子

[align=left]因為過程被小弟抹掉了,不過這個構造有點不直覺,所以可不用太在意[/align]

[align=left]比較好的方法,可以參考 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1366&page=1#pid5644]#3[/url] lianger 的做法[/align]

[align=left]回到被抹掉的東西,一開始其實是畫兩個上半圓,圓心都在 \( x \) 軸[/align]

[align=left]但是這樣 \( y \) 方向的兩線段會有疊在一起的部分,不利於幾何上解釋加法,於是把一個圓改成下半圓[/align]

[align=left]這樣兩個線段就連起來變成一個線段了,在考場裡,寸絲也沒有想那個第二個下半圓的平移[/align]

[align=left]而是採用微分的觀點發現,相求函數之微分,即兩半圓切線斜率相減,所以當切線斜相等時,即極點位置[/align]

[align=left]小弟因此先做出 (2) ,後來再思考,才從切線斜率相同,想到相切,而且半圓可平移,線段不變[/align]

[align=left]所以就它右邊的大半圓往上移動,直至與左邊小圓相切,那從畢氏定理算一算得圓心 \( y \) 坐標為 \( \sqrt{(4+30)^2-(34-5)^2} \)[/align]

[align=left]以上,囉嗦了半天,沒什麼重點,勿怪[/align]

頁: [1] 2 3

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