101板橋高中
附件是記憶中的題目有些敘述不太完整，有的數字可能不對，
或是寸絲的中文不好，言不及意
還請各位幫忙指正，謝謝~~
感謝 lianger 幫忙修正題意和題號
請諸位慢慢享用 感謝分享
3.
曲線Γ：\( \displaystyle y=\frac{1}{x} \)，
(1)△ABC三頂點皆在曲線Γ 上，求證其垂心亦在曲線Γ上。
(2)\( D=(-1,-1) \)，△BCD為正三角形，且B,C在第一象限曲線Γ上。求B,C坐標。
[url=https://math.pro/db/thread-559-1-1.html]https://math.pro/db/thread-559-1-1.html[/url]
在最後一題加分題有解答
連結已失效h ttp://web.tcfsh.tc.edu.tw/math/math2/T95221A.pdf
設雙曲線\( xy=1 \)的兩支為\( C_1,C_2 \)，正三角形PQR的三頂點位於此雙曲線上。
(1)求證：P,Q,R不能都在雙曲線的同一支上。
(2)設\( P(-1,-1) \)在\( C_2 \)上，Q,R在\( C_1 \)上，求頂點Q,R的坐標。
(1997大陸高中數學聯合競賽)
4.
我覺得題目要改成這樣才算得出來
(1)\( f(x)=\sqrt{-x^2+68x-256}-\sqrt{-x^2+10x-9} \)，求\( f(x) \)的最大值。
(2)承上，此時x之值。
[解答]
(x-34)^2+y^2=30^2的上半圓為\( y=\sqrt{-x^2+68x-256} \)
(x-5)^2+y^2=4^2的上半圓為\( y=\sqrt{-x^2+10x-9} \)
此時\( f(x) \)可視為兩半圓的y值相減的函數，當x=9時有最大值\( 5\sqrt{11} \)
感謝lianger和tsusy指教，原來用加的也是可以解出來
Find the largest positive value attained by the function \( f(x)=\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48} \), x a real number
(A)\( \sqrt{7}-1 \) (B)3 (C)\( 2\sqrt{3} \) (D)4 (E)\( \sqrt{55}-\sqrt{5} \)
(1993AHSME，[url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=44&year=1993]http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=1993[/url])
設\( x \in R \)，試求\( f(x)=\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48} \)的最大值？
(96和美高中，96基隆海事)
5.
\( <x_n> \)正實數數列，\( \displaystyle x_1=\frac{3}{4} \)且滿足\( x_{k+1}^2=x_k^4+2x_k^3+x_k^2 \)，求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+...+\frac{1}{x_{202}+1} \Bigg]\; \)
有一個數列\( x_1 \),\( x_2 \),\( x_3 \),…,\( x_{2001} \)，其中\( \displaystyle x_1=\frac{1}{3} \)且\( x_{k+1}=x_k^2+x_k \)，\( k=1,2,...,2000 \)請找出\( \displaystyle \frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+\frac{1}{x_3+1}+...+\frac{1}{x_{2001}+1} \)的整數部分？
(建中通訊解題第11期)
10.
求所有的正實數x,y，滿足\( \displaystyle \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}} \)，\( \displaystyle \frac{x+y}{2} \)，\( \sqrt{xy} \)，\( \displaystyle \frac{2xy}{x+y} \)皆為正整數且四數之和為66。
感謝thepiano將這麼古老的討論文章挖了出來
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2814]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2814[/url]
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=8852 (連結已失效)
回復 2# bugmens 的帖子
[size=3]第4題這題我在考試的時候也沒湊出來，後來才想到可以用柯西不等式，沒拿到這10分真是太可惜了!
\( f(x)=\sqrt{(x-1)(9-x)}+\sqrt{(64-x)(x-4)}=\sqrt{x-1} \sqrt{9-x}+\sqrt{64-x} \sqrt{x-4} \)
\(\begin{cases}
& (x-1)(9-x)\geq 0 \\
& (64-x)(x-4)\geq 0
\end{cases} \)
\( \Rightarrow 4 \leq x\leq 9 \)
所以\(x-1，9-x，64-x，x-4\)皆不小於0
由柯西不等式得
\([(x-1)+(64-x)][(9-x)+(x-4)]\geq (\sqrt{x-1} \sqrt{9-x}+\sqrt{64-x} \sqrt{x-4})^2\)
所以\( \sqrt{x-1} \sqrt{9-x}+\sqrt{64-x} \sqrt{x-4} \leq \sqrt{63 \times 5 }=3\sqrt{35} \)
所求之最大值為\(3\sqrt{35}\)
等號成立時，\( \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{9-x}}=\frac{\sqrt{64-x}}{\sqrt{x-4}} \)
\( \Rightarrow x=\frac{143}{17} \)[/size]
[[i] 本帖最後由 lianger 於 2012-5-20 12:10 PM 編輯 [/i]]
回復 3# lianger 的帖子
lianger 是對的，小弟也算出同樣的 \( x \)幾何解法，
取 \( (x-5)^2 + y^2 = 4^2 \) 的上半圓和 \( (x-34)^2 + (y-3 \sqrt{35})^2 = 30^2 \) 下半圓
兩半圓外切，而兩根號，可視為 半圓上的點至圓心的 \( y \) 分量，如圖 \( \overline{BD} \), \( \overline{AC} \) 之和
因此兩大值為兩圓心 \( y \) 坐標之差 \( 3 \sqrt{35} \), 其發生位置，其可由分點公式算出 \( x= \frac{143}{17} \)
[attach]1114[/attach]
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-20 12:45 PM 編輯 [/i]]
回復 1# tsusy 的帖子
第八題的範圍印象中是 101 到 2012因為當時我的解讀是 民國101年和西元2012年 XD
第8.9題題目修正
謝謝各位無私的分享沒記錯的話
第8題n範圍為66<=n<=2012
第9題f(0)=1,f(1)-3,則積分0到1 (f''(x))^2dx>=4
不好意思,電腦能力太弱
回復 6# brace 的帖子
感謝 sweeta 和 brace 兩位提供訊息第 9 題 brace 的數字應該才是對的
而第 8 題，個人的印象是有 6 偶數...但 66 的話不就和最後一題一樣??這樣應該會有印象才是?
印象中第 8 題算出 90xxxx。 不知道，諸位對此數字是否有印象，也可能是小弟算錯
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-21 09:50 PM 編輯 [/i]] 幫朋友解完第 5 題順便放上來~~
（聽他說，今年的彰中也有出一題類似題。）
第 5 題：
\(\displaystyle x_{k + 1}^2 = \left( x_k\left( x_k + 1 \right)\right)^2\)
\(\displaystyle \Rightarrow x_{k + 1} = x_k\left( x_k + 1 \right)\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x_{k + 1}} = \frac{1}{x_k\left( x_k + 1\right)} = \frac{1}{x_k} - \frac{1}{x_k + 1}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x_k + 1} = \frac{1}{x_k} - \frac{1}{x_{k + 1}}\)
因為
\(\displaystyle \frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} + \cdots + \frac{1}{x_{202} + 1}\)
\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} \right) + \left( \frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{x_{202}} - \frac{1}{x_{203}} \right)\)
\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_{203}} \right)\)
\(\displaystyle < \frac{1}{x_1} - 0\)
\(\displaystyle = \frac{4}{3} < 2\)
且
\(\displaystyle \frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} + \cdots + \frac{1}{x_{202} + 1}\)
\(\displaystyle > \frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} + 0 + 0 + \cdots + 0\)
\(\displaystyle = \frac{1}{\frac{3}{4} + 1} + \frac{1}{\frac{3}{4} \times \left( \frac{3}{4} + 1 \right) + 1}\)
\(\displaystyle = \frac{260}{259} > 1\)
因此，
\(\displaystyle \left[\frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} + \cdots + \frac{1}{x_{202} + 1} \right] = 1\)
回復 8# weiye 的帖子
應該是吧...昨天晚上也有人問寸絲題目好像是 \( 3a_{n+1} = a_n^2 +3a_n \)，問的是 \( \frac{1}{a_n +3} \) 的和之類的
手法一模一樣...昨天問小弟的那位，應該想撞牆了... 第九題:
考慮積分形式的柯西不等式:
若函數 f,g 在 [a,b] 可積分，則 (S (f(x))^2 dx) (S (g(x))^2 dx) 大於等於 (S f(x)g(x) dx)^2
(抱歉 其中的 S 表示積分符號， 且範圍為 [a,b]
本題中 (S (f'(x))^2 dx) (S 1^2 dx) 大於等於 (S f'(x) dx)^2, 其中 積分範圍為 [0,1]
化簡得到 (S (f'(x))^2 dx) 大於等於 (f(1)-f(0))^2 =4 , 驗畢.
回復 2# bugmens 的帖子
第四題亦可使用一階微分
f ' (x)=0
求出x 的值
但 計算較複雜 第六題,我想請問有沒有人有印象,題目是說每人投"兩票"還是投"兩人"?
如果是投兩票,是否可接受兩票皆投同一人?
雖然說這樣題目會變得很簡單...
H(3,80)
如果規定要投兩人的話,
相當於每人投你不想選的人
所以應該是H(3,40)
看你少拿了幾票
第二小題,可以只投一人
所以如果令x,y,z為三人少拿的票數
則40<=x+y+z<=80
且x,y,z<=40
可以解出來是H(4,80)-3*H(4,79)-H(4,39)
回復 12# gonm 的帖子
是兩人，而非兩票我的敘述可能不太好，不知道哪位願意幫忙修一下
回復 13# tsusy 的帖子
您的敘述沒有問題我只是想確認一下
順便替我的分數哀號XDD
回復 12# gonm 的帖子
第六題第一小題如gonm所說為H(3,40)但第二小題按你算式算出答案為負數,是否可以看成投票方法有(o,o,x),(o,x,o),(x,o,o),(o,x,x),(x,o,x),(x,x,o)共六種,投票總數為40張的重複組合,答案為H(6,40)
第三小題反向思考,投票方法為(o,o,x),(o,x,o),(x,o,o),有人得到不小於30各 x 的選票,其答案為
3 * H(3,10)=198...這樣的解法不知是否正確
回復 15# bigslam 的帖子
6 (2) 這樣寫會有重覆OOX 13*OXX 13*XOX 13*XXO 這組和 XOO 14*OXX 13XOX 12*XXO 總得票數都是 14,14,13
6 (3) 想法相同
等等再來想 6 (2) [font=Times New Roman]感謝寸絲兄指點，我把後面寫法補完[/font]
[font=Times New Roman]第八題[/font]
[font=Times New Roman][font=Times New Roman]將方程式同乘 \(x\) 則有\(C^{n}_{n-1}x^{n-1}+C^{n}_{n-2}x^{n-2}+...+C^{n}_{2}x^2+C^{n}_{1}x=0\)[/font][/font][font=Times New Roman] (\(x=0\)) 不為根[/font]
[font=Times New Roman][font=Times New Roman][font=Times New Roman]再同補上[/font] \(x^n+1\) 得 \(x^n+C^{n}_{n-1}x^{n-1}+C^{n}_{n-2}x^{n-2}+...+C^{n}_{2}x^2+C^{n}_{1}x+1=x^n+1\)
[/font][/font][font=Times New Roman]整理 \((x+1)^n=x^n+1\)[/font]
可令[font=Times New Roman] [/font]\( g(x)=(x+1)^n-x^n-1 \)若 \( x=a \)為 \( f(x) \) 的重根，那 \( x=a \) 必為 \( g(x) \) 的重根
則有\( g(a)=g'(a)=0 \)
\(g(a)=(a+1)^{n}-a^{n}-1\)，\(g'(a)=n(a+1)^{n-1}-na^{n-1}\) 推得
1.\(g(a)-\frac{a}{n} g'(a)=(a+1)^{n-1}-1=0\)
2.\(g(a)-\frac{a+1}{n} g'(a)=a^{n-1}-1=0\)
所以\(a\)為\((x+1)^{n-1}=x^{n-1}=1\)的根，在複數平面上畫出\(|x+1| =| x|=1\)
找出交點代回 \( (\pm \frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} = 1\) 或 \( ( \pm \frac{1}{2} - \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} =1 \)
故6為\(n-1\)的因數
[font=Times New Roman]
[/font]
[[i] 本帖最後由 basess8 於 2012-5-23 11:38 PM 編輯 [/i]]
回復 17# basess8 的帖子
前面的作法相同..但後面的討論似乎有點問題： \( n \) 奇數是，實際上 \( x=-1 \) 有可能是單根
如 \( n=3 \) 方程式為 \( 3x+3 = 0\) 顯然是單根
應令 \( g(x) = xf(x) = (x+1)^n - x^n -1 \), 則有 \( g'(x) = n(x+1)^{n-1} + nx^{n-1} \)
0 不為 \( f(x) =0 \) 之根，因此 \( x=a \) 為 \( f(x) = 0 \) 之重根若且唯若 \( x=a \) 為 \( g(x) =0 \) 之重根
若且唯若 \( g(a)=g'(a) = 0 \)，若且唯若 \( 0 = g(a) - \frac an g'(a) = (a+1)^{n-1}-1 \) 且 \( 0 = g'(a) =n(a+1)^{n-1} - na^{n-1} \)
若且唯若 \( x=a \) 為 \( (x+1)^{n-1} =x^{n-1} =1 \) 的解。
在複數平面上畫兩圓 \( |x+1|=|x| =1 \) ，其交點為 \( x= -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt 3}{2} \)
因此，有重根若且為若 \( (\pm \frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} = 1\) 或 \( ( \pm \frac{1}{2} - \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} =1 \)
即 \( 6 \mid n-1 \)
\(n = 1 \) 時，原方程式是 \( 0 = 0 \) 算不算重根丫？？？但不影響此題作答
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-23 01:30 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-20 12:43 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5646&ptid=1366][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
lianger 是對的，小弟也算出同樣的 \( x \)
幾何解法，
取 \( (x-5)^2 + y^2 = 4^2 \) 的上半圓和 \( (x-34)^2 + (y-3 \sqrt{35})^2 = 30^2 \) 下半圓
兩半圓外切，而兩根號，可視為 半圓上的點至圓心的 \( y \) 分量，如圖 ... [/quote]
請問tsusy老師
\( (x-34)^2 + (y-3 \sqrt{35})^2 = 30^2 \) 下半圓
怎麼從原式得到的
想了很久還是想不透
謝謝
回復 19# arend 的帖子
[align=left]因為過程被小弟抹掉了，不過這個構造有點不直覺，所以可不用太在意[/align][align=left]比較好的方法，可以參考 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1366&page=1#pid5644]#3[/url] lianger 的做法[/align]
[align=left]回到被抹掉的東西，一開始其實是畫兩個上半圓，圓心都在 \( x \) 軸[/align]
[align=left]但是這樣 \( y \) 方向的兩線段會有疊在一起的部分，不利於幾何上解釋加法，於是把一個圓改成下半圓[/align]
[align=left]這樣兩個線段就連起來變成一個線段了，在考場裡，寸絲也沒有想那個第二個下半圓的平移[/align]
[align=left]而是採用微分的觀點發現，相求函數之微分，即兩半圓切線斜率相減，所以當切線斜相等時，即極點位置[/align]
[align=left]小弟因此先做出 (2) ，後來再思考，才從切線斜率相同，想到相切，而且半圓可平移，線段不變[/align]
[align=left]所以就它右邊的大半圓往上移動，直至與左邊小圓相切，那從畢氏定理算一算得圓心 \( y \) 坐標為 \( \sqrt{(4+30)^2-(34-5)^2} \)[/align]
[align=left]以上，囉嗦了半天，沒什麼重點，勿怪[/align]