101田中高中
題目在附件[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-20 06:08 AM 編輯 [/i]] 1.
設a、b為實數，滿足\( (a+bi)^{2003}=a-bi \)的數對\( (a,b) \)有多少組？
(A)2002 (B)2003 (C)2004 (D)2005
實數a,b滿足\( (a+bi)^{101}=a-bi \)(其中\( i=\sqrt{-1} \))，則數對\( (a,b) \)有組解
(101文華高中，[url=https://math.pro/db/thread-1333-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1333-1-1.html[/url])
Find the number of ordered pairs of real numbers \( (a,b) \) such that \( (a+bi)^{2002}=a-bi \).
(A)1001 (B)1002 (C)2001 (D)2002 (E)2004
(2002AMC12，[url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=44&year=2002]http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=2002[/url])
7.
某班有48個學生，某次考試，經計算得算術平均數為70分，標準差為S分，後來發現成績登錄錯誤，A生得80分卻被誤記為50分，B生得70分而被誤記為100分，更正後重算得標準差為\( S_1 \)，則下列敘述何者正確？
(A)\( S_1<S-5 \) (B)\( S=S_1 \) (C)\( S-5 \le S_1<S \) (D)\( S<S_1\le S+5 \)
某班有48名學生，某次數學考試之成績，經計算得算術平均數為70分，標準差為S分。後來發現成績登錄有誤，某甲得80分卻誤記為50分，某乙得70分卻誤記為100分，更正後重算得標準差為\( S_1 \)分，試問\( S_1 \)與S之間，有下列哪種大小關係？
(n個數值\( x_1,x_2,...,x_n \)的標準差公式為\( \displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2-\bar{x}^2} \)，而\( \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \))
(A)\( S_1<S-5 \) (B)\( S-5 \le S_1<S \) (C)\( S_1=S \) (D)\( S<S_1\le S+5 \) (E)\( S+5<S_1 \)
(89大學聯考自然組試題，[url=http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/ma/M2000A.swf]http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/ma/M2000A.swf[/url])
計算7.
半徑a的半球體之容器裝滿水，今慢慢地將之傾斜\( 30^o \)，求流出水量的體積。
將半徑為a的半球體容器裝滿了水，今慢慢的將之傾斜\( \displaystyle \frac{\pi}{6} \)，則留出水量之體積？
(93國立大里高中，[url=https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html[/url])
在半徑為6的半球容器內裝滿水，若將此容器輕輕傾斜\( 30^o \)，求流出的水量。
(98清水高中，[url=https://math.pro/db/thread-836-1-1.html]https://math.pro/db/thread-836-1-1.html[/url])
在直徑12公分的半球形容器內裝滿水，將此容器傾斜\( 30^o \)，求流出去的水量為多少立方公分？
(99高雄市聯招，[url]https://math.pro/db/thread-975-1-4.html[/url])
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-19 08:06 PM 編輯 [/i]]
回復 2# bugmens 的帖子
今天從中壢趕下去考試，這份考題不難寫，選擇題第一題今年的文華高中就有考，剛自己預估一下分數。依照去年的經驗，要進入複試要很拼吧。大家在來一起討論這份考題吧。這一題在文華高中考完後，有確實做訂正的動作。所以很快就有寫出來。
選擇題第二題，我在寫得時候，也是每一個選項做因數分解，發現125＝5x5x5, 14!沒有三個5，所以就選125。
倒是第三題就有卡住了，不知道『最小多項式』為何，就把他當成特徵多項式來想。結果就錯了。
第四題令 t=x^2 因為恰有兩個實數解，所以變換變數後，t的方程式就會有
(1) 判別式大於等於0 且 (2) 兩根之積<0 這樣對x就會有兩相異實根，兩虛根。恰好兩個實數解就可以求出a的範圍，找到a的最小值
計算題第七題，去年得竹北高中，填充題最後一題也有考。這個題目在徐氏數學DIY裡面有出現。
選擇題第六題，可以先求出直線與Z軸的交點B。再利用參數式代入球體方程式。可以解出A，C兩點。
球體與直線旋轉後，切割出來的兩個圓形的半徑。兩個直角三角形正好相似。因此大圓與小圓的半徑比＝AB:BC
算出來是 4比3 因此面積比就是 16比9
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2012-5-21 08:26 AM 編輯 [/i]]
回復 3# shingjay176 的帖子
選擇題第九題，求反矩陣存在的機率。 計算6利用瑕積分來做
可是算到最後答案是3[2^(1/3)-(-1)^(1/3)]
用這樣表示就好
解答寫3[2^(1/3)+1]好像會有問題
因為後面的(-1)^(1/3)不代表-1
用mathematica算這題的近似值=2.27976 - 2.59808*i
因為它把(-1)^(1/3)定義為cos60[font=新細明體][size=12pt]°+i*sin60[font=新細明體][size=12pt]°[/size][/font][/size][/font]
回復 5# Ellipse 的帖子
這題不是用變換變數，令t=x-1，就可以積分出來勒。(-1)^3=(-1),所以不能解釋為 (-1)^(1/3)=-1嗎？？ [quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2012-5-19 10:10 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5633&ptid=1365][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這題不是用變換變數，令t=x-1，就可以積分出來勒。
(-1)^3=(-1),所以不能解釋為 (-1)^(1/3)=-1嗎？？ [/quote]
是要用這樣做沒錯
如令t=x-1
就要分[-1,0]與[0,2]來討論,不然會被扣分,甚至於0分~
因為在t=0時,y值不存在,
最後面要這樣寫
lim{t->0-} 3[t^(1/3)-(-1)^(1/3)] + lim{t->0+} 3[2^(1/3)-(t)^(1/3)]
=3[2^(1/3)-(-1)^(1/3)]
高中的課本定義a^(1/3)這種"有理數指數" ,有說a>0
若是(-1)^(1/3)這東西要很小心定義,不能亂寫
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-20 09:47 AM 編輯 [/i]]
回復 7# Ellipse 的帖子
謝啦。瞭解了，考試時候真的沒有想到那麼仔細，t=0時， x=1，造成分母為0，會產生無意義的情形，希望保佑只有扣少許的分數囉。真的嚴重的話，應該會得0分，觀念有嚴重瑕疵。用極限來寫，就是要避開0，用左極限與右極限寫喔。 積分那題不用阿,令X=1+(tan[size=3]θ)^3[/size][font=新細明體][size=3] , dx=3(tanθ)^2*(secθ)^2 dθ[/size][/font][font=新細明體][size=3]上下限就是3π/4 和arctan2^(1/3) ,這樣就可以做出來了
[/size][/font] 選擇第八題，有點不大懂
看到試題答案上寫這個有發散。不知為何。
這個數列不是 收斂於 1嗎…
另外(B)、(C)是用 n+1項與 n項比較就可以了嗎…還是用其它方法呢。 [quote]原帖由 [i]peter579[/i] 於 2012-5-20 07:14 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5638&ptid=1365][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
選擇第八題，有點不大懂
看到試題答案上寫這個有發散。不知為何。
這個數列不是 收斂於 1嗎…
另外(B)、(C)是用 n+1項與 n項比較就可以了嗎…還是用其它方法呢。 ... [/quote]
(B): (1/n)^(1/lnn)=1/e
(C):用Integral test做,答案收斂
(D):用黎曼和做,答案發散
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-20 09:27 AM 編輯 [/i]] 想請教選擇第3, 4題和計算第4題第(3)小題,謝謝 [quote]原帖由 [i]阿光[/i] 於 2012-5-20 12:11 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5645&ptid=1365][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教選擇第3, 4題和計算第4題第(3)小題,謝謝 [/quote]
計算第4題第(3)
線性代數告訴我們
如果一個矩陣可以對角化
那麼它的代數重度(AM :Algebraic Multiplicity)
就要等於幾何重度(GM:Geometric Multiplicity)
這題假設A是那個第一小題答案
計算det(A-t*I)=0 ,求出t=2,2,-4
當t=2時,AM=2
而3-Rank(A-2*I)=3-2=1
GM=1
因為AM不等於GM
所以A不能對角化~
PS:剛剛還把塵封已久的大學線性代數原文書拿出來,再確認一次觀念~~
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-20 03:52 PM 編輯 [/i]]
回復 12# 阿光 的帖子
選擇 3. 就是對角化或 Jordan form 的問題計算小弟懶得作了，交給 Wolframe Alpha 好了 Eigensystem[{{5, -6, -6}, {-1, 4, 2}, {3, -6, -4}}]
算出 \( \lambda_1 =2,\, v_1=(2,0,1)^t \), \( \lambda_2 = 2,\, v_2=(2,1,0)^t \), \( \lambda_3 =1,\, v_3=(3,-1,3)^t \)
所以可對角化，故選 (C)。
以上，如果還有問題的話，那代表要向橢圓兄學習，回去翻翻線性代數吧
選擇 4.
令 \(y=x^{2} \), 則 \(y^{2}-2(3a+1)y+7a^{2}+3a=0 \) 有恰一負根。
而此二次式之圖形頂點在 \(x=3a+1 \) 處，開口向上。
若 \(7a^{2}+3a<0 \)，則一負一正根。若 \(7a^{2}+3a>0 \)，則二正或正負或無實根。
若 \(7a^{2}+3a=0 \)，則僅當頂點左邊時，即 \(3a+1<0 \)，有一負根。
\(\Rightarrow-\frac{3}{7}<a<0\vee a=-\frac{3}{7}\Rightarrow-\frac{3}{7}\leq a<0 \)
以上討論，如有遺漏錯誤，麻請指正
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-20 06:58 PM 編輯 [/i]]
回復 14# tsusy 的帖子
想請問選擇4，有點疑問如果我以a = -3/7代入原方程式，得
\(x^4+(4/7)x^2=0\)，意思是說二重實根x=0算是兩實根囉？
（感謝tsusy大！一看題目就很直覺判斷成兩實根相異了＠＠"）
回復 15# Pacers31 的帖子
答案已經在問題中了不是已經寫 "二"重實根了嗎？
計算第五題
想請問答案是否有問題？ [quote]原帖由 [i]rudin[/i] 於 2012-5-22 02:10 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5694&ptid=1365][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]想請問答案是否有問題？ [/quote]
沒有問題~
注意它的答案表法
不是寫成x的多項式 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-22 02:33 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5695&ptid=1365][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
沒有問題~
注意它的答案表法
不是寫成x的多項式 [/quote]
謝謝 請教計算第五題
謝謝
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