回復 20# kyqqman 的帖子
計算 5作法 1. 令 \( f(x) =(x-1)^3q(x) + (ax^2+bx+c) \), 則有
\( f(1) = a+b+c \), \( f'(1)= 2a+b \), \( f''(1) = 2a \)
解以上聯立方程式
作法 2. 利用二項式定理 \( x^{n+1}=[(x-1)+1]^{n+1} \), \( x^{n}=[(x-1)+1]^{n} \)
展開，3 次以上被整除，留下 2 次以下的處理就可以了 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-20 09:22 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5639&ptid=1365][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
(B): (1/n)^(1/lnn)=1/e
(C):用Integral test做,答案收斂
(D):用黎曼和做,答案發散 [/quote]
(D) 也可考慮用極限比較測試法，跟調和級數的一般項 1/n 作極限比較，會發現極限為1
故原級數與調和級數同時收斂或同時發散，答案發散
回復 14# tsusy 的帖子
用特徵多項式做出來，λ=2,2,1;不是該選a答案嗎。對角線化，如何判斷可對角線化[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2012-5-25 07:51 AM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-20 03:36 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5656&ptid=1365][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算第4題第(3)
線性代數告訴我們
如果一個矩陣可以對角化
那麼它的代數重度(AM :Algebraic Multiplicity)
就要等於幾何重度(GM:Geometric Multiplicity)
這題假設A是那個第一小題答案
計算det(A-t*I)=0 ,求出t= ... [/quote]
代數重度，幾何重度，。不了解。 [quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2012-5-25 08:06 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5788&ptid=1365][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
代數重度，幾何重度，。不了解。 [/quote]
algebraic multiplicity, geometric multiplicity
線性代數的課本裡面，應該在討論對角化（特徵根與特徵向量）那個章節，會講到。：Ｐ [quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2012-5-25 07:50 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5787&ptid=1365][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
用特徵多項式做出來，λ=2,2,1;不是該選a答案嗎。對角線化，如何判斷可對角線化 [/quote]
特徵多項式跟最小多項式(minimum polynomial)應該是不一樣的觀念，但他們有一些關係：
令一個矩陣A的特徵多項式為 c(x), 最小多項式為 m(x), 值得注意的地方如下
(1) 根據 cayley-hamilton 定理，c(A)=0 (矩陣，以下都為0矩陣)
(2) A的最小多項式的定義為存在一個次數最小（但要為正）的首項係數為1的多項式m(x)使得 m(A)=0
(3) 這樣定出來的最小多項式若存在，一定唯一（因為首項係數為1, 稱之為 monic polynomial)
(4) 根據定理，m(x) 會整除 c(x)
(5) 根據定理，若 A的特徵根 a, 則 m(a)=0 （純量）, 換句話說， 若 A有特徵根 a , 則 (x-a) 整除 m(x)
(6) 根據定理，若有相異特徵根 a1,a2,...,ak 且 c(x)=((x-a1)^n1)((x-a2)^n2)...((x-ak)^nk), 則
m(x)=((x-a1)^m1)((x-a2)^m2)...((x-ak)^mk) , 其中 1小於等於 mi 小於等於 ni , 對於所有 i
(7) 根據定理，若 A 可對角化且A有相異特徵根 a1,a2,...,ak 若且唯若 A的 m(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-ak)
故本題根據觀念，從答案中大概可推敲A的特徵值為 1,2, 驗證可對角化，可得到 A 的m(x)=(x-1)(x-2)
或直觀的去計算 A 的 c(x)=(x-1)(x-2)^2 故 m(x) =((x-1)^p) ((x-2)^q)
可知 p=1, q=1 or 2 , 從最小的次數開始檢驗即可
最後說明A什麼時候可對角化，就像前輩說的，當代數重根數等於幾何重根數的時候
若A(假設nxn)有特徵根a , 定義a在 c(x)中的重根數為代數重數 ; 定義a所張的特徵空間的維度 dim(V(a))為幾何重數
觀念上可能要去複習一下線代比較好，但可直接用 dim(V(a))= dim(ker(A-aI))=n-rank(A-aI) 記 （這裡 I為單位矩陣）
有一個重要的性質， a的代數重根數恆大於等於幾何重根數。
故A可對角化的充要條件為所有A的相異特徵根均滿足相對應的代數重數等於幾何重數的時候。
若有錯誤也煩請指正。
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2012-5-25 10:02 AM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2012-5-25 09:49 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5789&ptid=1365][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
algebraic multiplicity, geometric multiplicity
線性代數的課本裡面，應該在討論對角化（特徵根與特徵向量）那個章節，會講到。：Ｐ [/quote]
謝啦。我在去翻線代課本。 [quote]原帖由 [i]hua0127[/i] 於 2012-5-25 10:01 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5790&ptid=1365][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
特徵多項式跟最小多項式(minimum polynomial)應該是不一樣的觀念，但他們有一些關係：
令一個矩陣A的特徵多項式為 c(x), 最小多項式為 m(x), 值得注意的地方如下
(1) 根據 cayley-hamilton 定理，c(A)=0 (矩陣，以下都為0 ... [/quote]
謝謝你詳細的解說。 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-20 09:22 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5639&ptid=1365][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
(B): (1/n)^(1/lnn)=1/e
(C):用Integral test做,答案收斂
(D):用黎曼和做,答案發散 [/quote]
D選項是調和級數,(1/2)+(1/3)+(1/4)+........
調和級數有背過，是發散級數
計算題第四題第二小題,行列式值算出來是-16,我在考場寫代表經過轉換後,變成反向,長度伸長16倍.
我這樣解釋有誤嗎??還望指正......
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2012-5-25 11:52 PM 編輯 [/i]]
回復 25# weiye 的帖子
請教一下計算第七題==我連碗都拿出來試了
回復 30# nanpolend 的帖子
計算第7題[attach]1443[/attach]
後註：剛剛突然想到，我若直接積分 \(\displaystyle \int_0^{\displaystyle \frac{a}{2}} \pi\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)^2dx\) ，那區塊的體積就是答案了~XDD。 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-20 09:22 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5639&ptid=1365][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
(B): (1/n)^(1/lnn)=1/e
(C):用Integral test做,答案收斂
(D):用黎曼和做,答案發散 [/quote]
(C)積分審斂法有做出來=1/ln2
請教一下(D)黎曼和積不太出來 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-22 07:36 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5699&ptid=1365][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算 5
作法 1. 令 \( f(x) =(x-1)^3q(x) + (ax^2+bx+c) \), 則有
\( f(1) = a+b+c \), \( f'(1)= 2a+b \), \( f''(1) = 2a \)
解以上聯立方程式
作法 2. 利用二項式定理 \( x^{n+1}=[(x-1)+1]^{n+1} \), ... [/quote]
這作法我同學想出來的較快
三種方法我都算過
直接綜合除法連除(x-1)
剩下的餘數
1.常數
2.(x-1)的係數
3.(x-2)^2的係數
[[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2012-11-5 02:52 PM 編輯 [/i]]
回復 32# nanpolend 的帖子
我也不會用黎曼和 做它(D) 還是 比較判別法和 \( \frac{1}{n} \) 比值收斂到 1, 同斂散
至於計算 5, 本題中，綜合除法做起來，的確比較快的，因為除出來的的商很單純
如果稍稍改動一下數字，商可能就沒有這樣漂亮
個人還是比較喜歡 二項式定理 展開的招數 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-20 09:22 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5639&ptid=1365][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
(B): (1/n)^(1/lnn)=1/e
(C):用Integral test做,答案收斂
(D):用黎曼和做,答案發散 [/quote]
請問選擇題第８題，如何用黎曼和做呢？
有人可以寫一下嗎？ [quote]原帖由 [i]casanova[/i] 於 2013-3-6 10:03 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7600&ptid=1365][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問選擇題第８題，如何用黎曼和做呢？
有人可以寫一下嗎？ [/quote]
當初想太快了~
應該是不行吧~ [size=3]選擇題 9. 以 1, 2, 4, 8 為元的所有 2x2 矩陣，假設每一個矩陣被選取的機會均等，則從中任選一個矩陣，其為可逆之機率為何?[/size]
[size=3][/size]
[size=3]解: 1 - [(1²+2²+3²+4²+3²+2²+1²) / 4⁴] = 53/64 [/size]
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[size=3]計算證明題 5. 以 (x-1)³ 除 xⁿ⁺¹ - xⁿ- nx + (n-1) 之餘式為何?[/size]
[size=3][/size]
[size=3]解:[/size] [size=3]由泰勒展開式得 n(x-1)² + (1-n)(x-1) -1[/size]
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