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八神庵 發表於 2012-5-14 09:42

101新竹女中

各位早安
好久沒來了
自從去年八月換學校後....囧
今年第一砲
給從未公佈過題目的新竹女中!
有去考的可以分享計算題嗎?

Ellipse 發表於 2012-5-14 11:22

[quote]原帖由 [i]八神庵[/i] 於 2012-5-14 09:42 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5535&ptid=1358][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
各位早安
好久沒來了
自從去年八月換學校後....囧
今年第一砲
給從未公佈過題目的新竹女中!
有去考的可以分享計算題嗎? [/quote]

八神庵大大重出江湖了~
是現在這個學校太操了?
怎麼那麼久都沒您的消息?

tacokao 發表於 2012-5-14 12:20

新竹女中計算題

PPT有人分享,做了個簡單的整理,請橢圓老師及各位老師享用。

weiye 發表於 2012-5-14 20:32

附上 ptt 的 lovestupid 網友所提供的計算題。

hua0127 發表於 2012-5-15 00:08

感謝各位前輩分享考題,
今天晚上也練習了一下,將依些填充的部分整理過
分享給大家。

阿光 發表於 2012-5-15 05:51

想請教填充第3,6,7題,謝謝

hua0127 發表於 2012-5-15 09:43

[quote]原帖由 [i]阿光[/i] 於 2012-5-15 05:51 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5557&ptid=1358][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教填充第3,6,7題,謝謝 [/quote]

第7題
設空間中兩直線\(L_1\):\(\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{y+1}{3}=z+3\)與\(L_2\):\(\displaystyle \frac{x+1}{4}=\frac{4-y}{2}=\frac{z+2}{-1}\),若直線\(L\)過\(P(1,2,-1)\)且與\(L_1\)、\(L_2\)分別交於\(A\)、\(B\)兩點,則\(\overline{AB}\)長為[u]   [/u]。
[解答]
目前只想到用暴力的方式解,等其他老師分享其他想法
(抱歉本站的數學語法仍在摸索中,故麻煩點打成PDF)

tsusy 發表於 2012-5-15 13:21

回復 7# hua0127 的帖子

第 7 題和剛考完的  [url=https://math.pro/db/thread-1355-1-1.html]101附中填充1[/url] 是一樣的類型,兩間同時考,還考一樣的...真是巧合

小弟的作法如下:作過 \( P,\, L_1 \) 之平面 \( E_1 \),與 \( L_2 \) 交點即為 \( B \)

同理的,作過 \( P,\, L_2 \) 之平面 \( E_2 \),與 \( L_1 \) 交點即為 \( A \)

但附中的那一題,是求對稱比例式,所以只需求一個交點,比好好算

不過竹女這題,求線段長,兩個交點都要求,這個方法,就不見得快了
P.S. 附中那題  \( A,\, B\) 是同一個點,被出題者整了

hua0127 發表於 2012-5-15 14:59

[quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-15 01:21 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5562&ptid=1358][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 7 題和剛考完的  101附中填充1 是一樣的類型,兩間同時考,還考一樣的...真是巧合

小弟的作法如下:作過 \( P,\, L_1 \) 之平面 \( E_1 \),與 \( L_2 \) 交點即為 \( B \)

同理的,作過 \( P,\, L_2 \) 之平面 \( E_2 \) ... [/quote]

這個想法比硬解好太多了~附中的第一題當場也是被唬到了...哭哭

另外,填充題3,6有把他硬解出來,也算了部分的計算題,但計算題沒有答案
也請大家有空幫小弟看看。
好像計算題的第三跟第五題好像分享的題目敘述不太一樣,故可能有些問題,待補完
之後有時間會將整篇整理再PO

lianger 發表於 2012-5-15 16:49

回復 5# hua0127 的帖子

8.
\(x\)為非零實數,\(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x}\),若\(x=x_0\)時,\(f(x)\)有最大值\(M\),則數對\((x_0,M)=\)[u]   [/u]。
[解答]
第8題想到一個另解︰
考慮\(  x>0  \),
\( f(x)=\sqrt{x^2+32+\frac{4}{x^2}}-\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}} \)
       \(=\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-6)^2}-\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-2)^2} \)
令\( t=x-\frac{2}{x} \),則所求即為點\( (t,0) \)至點\( (0,6) \) 與點 \( (0,2) \)的距離差的最大值。
畫圖可得此時 \(( t,0)=(0,0) \),\(  t=0 \),\( x-\frac{2}{x}=0 \),\( x=\sqrt{2} \),
最大值即為點\( (0,6) \) 與點 \( (0,2) \)的距離4。

bugmens 發表於 2012-5-15 18:54

8.
x為非零實數,\( \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x} \),若\( x=x_0 \)時,\( f(x) \)有最大值M,則數對\( (x_0,M)= \)?

若x為正數,求\( \displaystyle \frac{\sqrt{x^4+x^2+2x+1}+\sqrt{x^4-2x^3+5x^2-4x+1}}{x} \)的最小值?
(2007國際數學奧林匹克香港選拔賽初賽,h ttp://gifted.hkedcity.net/Gifted/IMO/index.html連結已失效)

lovestupid所提供的計算題第三題的文字敘述和原試卷相同
另外計算第五題的\( Γ_2:x^2+y^2=4 \)應該更正為\( Γ_2:x^2+y^2=64 \)

hua0127 發表於 2012-5-16 10:00

[quote]原帖由 [i]lianger[/i] 於 2012-5-15 04:49 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5564&ptid=1358][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第8題想到一個另解︰
考慮\(  x>0  \),
\( f(x)=\sqrt{x^2+32+\frac{4}{x^2}}-\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}} \)
       \(=\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-6)^2}-\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-2)^2} \)
令\( t=x-\frac{2}{x} \) ... [/quote]

這方法真漂亮,當初有嘗試把x關進根號,但沒有化簡到這一步,
這方法比較簡潔有力。

hua0127 發表於 2012-5-16 10:05

[quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2012-5-15 06:54 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5565&ptid=1358][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
8.
x為非零實數,\( \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x} \),若\( x=x_0 \)時,\( f(x) \)有最大值M,則數對\( (x_0,M)= \)?

若x為正數,求 ... [/quote]

感謝告知,那lovestupid網友的第五題的點是否要改為\((4 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2})\) 呢?因為原來的點好像不在橢圓上
我是參考前一篇的題目去作的,

最後整篇的題目大致上都補的差不多了,在此獻醜分享給大家,有些題目也參考了其他老師的解法也特地附上註解。

Ellipse 發表於 2012-5-16 20:56

[quote]原帖由 [i]hua0127[/i] 於 2012-5-16 10:05 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5579&ptid=1358][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]


感謝告知,那lovestupid網友的第五題的點是否要改為(4 sqrt(2), 3 sqrt(2) ) 呢?因為原來的點好像不在橢圓上
我是參考前一篇的題目去作的,

最後整篇的題目大致上都補的差不多了,在此獻醜分享給大家,有些題目也參考了其他 ... [/quote]

填充10:
方程式\(\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{2x^2+2x+3}=\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x-2}\)之解為[u]   [/u]。
[提示]
在裡面的解答用兩端平方,會造成增根的危險
其實這題的解只有x=-2
x=(-3-5^0.5)/2是不合的


竹女答案給錯了,多給了(-3-5^0.5)/2

都已經公佈初試名單了...冏...

(我有用mathematica再確認一次)

Ellipse 發表於 2012-5-16 21:44

填充10
方程式\(\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{2x^2+2x+3}=\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x-2}\)之解為[u]   [/u]。
[解答]
(沒有用到增根的方法)
令a=(x^2-x+2)^0.5 ,b=(2x^2+2x+3)^0.5 ,c=(2x^2-1)^0.5 ,d=(x^2-3x-2)^0.5
則a+b=c+d--------------(1)
且a^2-d^2=b^2-c^2,得(a+b)(a-b)=(d+c)(d-c)------------(2)
由(1)&(2)得a-b=d-c--------------(3)
(1)+(3)得 a=d ,解(x^2-x+2)^0.5=(x^2-3x-2)^0.5 ,得x=-2
(1)-(3)得  b=c ,解(2x^2+2x+3)^0.5=(2x^2-1)^0.5 ,得x=-2

邱中 發表於 2012-5-17 01:32

[quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-16 09:44 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5586&ptid=1358][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充10(沒有用到增根的方法)
令a=(x^2-x+2)^0.5 ,b=(2x^2+2x+3)^0.5 ,c=(2x^2-1)^0.5 ,d=(x^2-3x-2)^0.5
則a+b=c+d--------------(1)
且a^2-d^2=b^2-c^2,得(a+d)(a-d)=(b+c)(b-c)------------(2)
由(1)&(2)得a-d=b-c ... [/quote]

我的作法是
\(a-d=c-b\)分子有理化變成\(\displaystyle \frac{2x+4}{a+d}=\frac{-2x-4}{c+b}\)

所以\(x=-2\)若\(x\)不等於\(-2\)則分子約掉變成\(\displaystyle \frac{1}{a+d}=\frac{-1}{c+b}\)

整理可得\(a+b+c+d=0\)但\(a,b,c,d\)皆大於等於0且無法同時等於0  所以\(a+b+c+d\)不等於0

可確定只有\(x=-2\)一解

hua0127 發表於 2012-5-17 08:38

感謝樓上兩位的提醒,的確平方造成了增根,
代入原方程式剛好造成兩邊差一個負號,故
x=(-3-5^0.5)/2是不合的,當時只意識到只要滿足定義域即可,是個大疏忽

樓上的作法都蠻簡潔有力~推!
又長了一些知識......以後處理這一類問題要更加小心才是

man90244 發表於 2012-5-24 22:55

想請教填充第五題一下!!!!!!!!

老王 發表於 2012-5-24 22:59

回復 18# man90244 的帖子

5.
若實係數多項式\(f(x)=x^4+(2-k^2)x^2-2k^2x+(1-k^2)\)且\(f(x)=0\)只有兩個相異實根,則\(k\)的範圍為[u]   [/u]。
[解答]
\(\displaystyle f(x)=(x^4+2x^2+1)-k^2(x^2+2x+1) \)
\(\displaystyle =(x^2+1)^2-(kx+k)^2 \)
\(\displaystyle =(x^2+kx+(k+1))(x^2-kx+(1-k)) \)

man90244 發表於 2012-5-24 23:27

回復 19# 老王 的帖子

謝謝大大的解答!!!!
想順便在問一下那如果遇到不能因式分解該怎麼辦???
如:
\(X^4-2(3a+1)X^2+7a^2+3a=0\)恰有2實根,求實數\(a\)的範圍??????

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