101新竹女中
各位早安好久沒來了
自從去年八月換學校後....囧
今年第一砲
給從未公佈過題目的新竹女中!
有去考的可以分享計算題嗎? [quote]原帖由 [i]八神庵[/i] 於 2012-5-14 09:42 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5535&ptid=1358][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
各位早安
好久沒來了
自從去年八月換學校後....囧
今年第一砲
給從未公佈過題目的新竹女中!
有去考的可以分享計算題嗎? [/quote]
八神庵大大重出江湖了~
是現在這個學校太操了?
怎麼那麼久都沒您的消息?
新竹女中計算題
PPT有人分享，做了個簡單的整理，請橢圓老師及各位老師享用。 附上 ptt 的 lovestupid 網友所提供的計算題。 感謝各位前輩分享考題，今天晚上也練習了一下，將依些填充的部分整理過
分享給大家。 想請教填充第3,6,7題,謝謝 [quote]原帖由 [i]阿光[/i] 於 2012-5-15 05:51 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5557&ptid=1358][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教填充第3,6,7題,謝謝 [/quote]
第7題
設空間中兩直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{y+1}{3}=z+3\)與\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x+1}{4}=\frac{4-y}{2}=\frac{z+2}{-1}\)，若直線\(L\)過\(P(1,2,-1)\)且與\(L_1\)、\(L_2\)分別交於\(A\)、\(B\)兩點，則\(\overline{AB}\)長為[u] [/u]。
[解答]
目前只想到用暴力的方式解，等其他老師分享其他想法
（抱歉本站的數學語法仍在摸索中，故麻煩點打成PDF）
回復 7# hua0127 的帖子
第 7 題和剛考完的 [url=https://math.pro/db/thread-1355-1-1.html]101附中填充1[/url] 是一樣的類型，兩間同時考，還考一樣的...真是巧合小弟的作法如下：作過 \( P,\, L_1 \) 之平面 \( E_1 \)，與 \( L_2 \) 交點即為 \( B \)
同理的，作過 \( P,\, L_2 \) 之平面 \( E_2 \)，與 \( L_1 \) 交點即為 \( A \)
但附中的那一題，是求對稱比例式，所以只需求一個交點，比好好算
不過竹女這題，求線段長，兩個交點都要求，這個方法，就不見得快了
P.S. 附中那題 \( A,\, B\) 是同一個點，被出題者整了 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-15 01:21 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5562&ptid=1358][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 7 題和剛考完的 101附中填充1 是一樣的類型，兩間同時考，還考一樣的...真是巧合
小弟的作法如下：作過 \( P,\, L_1 \) 之平面 \( E_1 \)，與 \( L_2 \) 交點即為 \( B \)
同理的，作過 \( P,\, L_2 \) 之平面 \( E_2 \) ... [/quote]
這個想法比硬解好太多了～附中的第一題當場也是被唬到了...哭哭
另外，填充題3,6有把他硬解出來，也算了部分的計算題，但計算題沒有答案
也請大家有空幫小弟看看。
好像計算題的第三跟第五題好像分享的題目敘述不太一樣，故可能有些問題，待補完
之後有時間會將整篇整理再PO
回復 5# hua0127 的帖子
8.\(x\)為非零實數，\(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x}\)，若\(x=x_0\)時，\(f(x)\)有最大值\(M\)，則數對\((x_0,M)=\)[u] [/u]。
[解答]
第8題想到一個另解︰
考慮\( x>0 \)，
\( f(x)=\sqrt{x^2+32+\frac{4}{x^2}}-\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}} \)
\(=\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-6)^2}-\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-2)^2} \)
令\( t=x-\frac{2}{x} \)，則所求即為點\( (t,0) \)至點\( (0,6) \) 與點 \( (0,2) \)的距離差的最大值。
畫圖可得此時 \(( t,0)=(0,0) \)，\( t=0 \)，\( x-\frac{2}{x}=0 \)，\( x=\sqrt{2} \)，
最大值即為點\( (0,6) \) 與點 \( (0,2) \)的距離4。 8.
x為非零實數，\( \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x} \)，若\( x=x_0 \)時，\( f(x) \)有最大值M，則數對\( (x_0,M)= \)？
若x為正數，求\( \displaystyle \frac{\sqrt{x^4+x^2+2x+1}+\sqrt{x^4-2x^3+5x^2-4x+1}}{x} \)的最小值？
(2007國際數學奧林匹克香港選拔賽初賽，h ttp://gifted.hkedcity.net/Gifted/IMO/index.html連結已失效)
lovestupid所提供的計算題第三題的文字敘述和原試卷相同
另外計算第五題的\( Γ_2:x^2+y^2=4 \)應該更正為\( Γ_2:x^2+y^2=64 \) [quote]原帖由 [i]lianger[/i] 於 2012-5-15 04:49 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5564&ptid=1358][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第8題想到一個另解︰
考慮\( x>0 \)，
\( f(x)=\sqrt{x^2+32+\frac{4}{x^2}}-\sqrt{x^2+\frac{4}{x^2}} \)
\(=\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-6)^2}-\sqrt{(x-\frac{2}{x})^2+(0-2)^2} \)
令\( t=x-\frac{2}{x} \) ... [/quote]
這方法真漂亮，當初有嘗試把x關進根號，但沒有化簡到這一步，
這方法比較簡潔有力。 [quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2012-5-15 06:54 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5565&ptid=1358][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
8.
x為非零實數，\( \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x} \)，若\( x=x_0 \)時，\( f(x) \)有最大值M，則數對\( (x_0,M)= \)？
若x為正數，求 ... [/quote]
感謝告知，那lovestupid網友的第五題的點是否要改為\((4 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2})\) 呢？因為原來的點好像不在橢圓上
我是參考前一篇的題目去作的，
最後整篇的題目大致上都補的差不多了，在此獻醜分享給大家，有些題目也參考了其他老師的解法也特地附上註解。 [quote]原帖由 [i]hua0127[/i] 於 2012-5-16 10:05 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5579&ptid=1358][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
感謝告知，那lovestupid網友的第五題的點是否要改為（4 sqrt(2), 3 sqrt(2) ) 呢？因為原來的點好像不在橢圓上
我是參考前一篇的題目去作的，
最後整篇的題目大致上都補的差不多了，在此獻醜分享給大家，有些題目也參考了其他 ... [/quote]
填充10:
方程式\(\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{2x^2+2x+3}=\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x-2}\)之解為[u] [/u]。
[提示]
在裡面的解答用兩端平方,會造成增根的危險
其實這題的解只有x=-2
x=(-3-5^0.5)/2是不合的
竹女答案給錯了,多給了(-3-5^0.5)/2
都已經公佈初試名單了...冏...
(我有用mathematica再確認一次) 填充10
方程式\(\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{2x^2+2x+3}=\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x-2}\)之解為[u] [/u]。
[解答]
(沒有用到增根的方法)
令a=(x^2-x+2)^0.5 ,b=(2x^2+2x+3)^0.5 ,c=(2x^2-1)^0.5 ,d=(x^2-3x-2)^0.5
則a+b=c+d--------------(1)
且a^2-d^2=b^2-c^2,得(a+b)(a-b)=(d+c)(d-c)------------(2)
由(1)&(2)得a-b=d-c--------------(3)
(1)+(3)得 a=d ,解(x^2-x+2)^0.5=(x^2-3x-2)^0.5 ,得x=-2
(1)-(3)得 b=c ,解(2x^2+2x+3)^0.5=(2x^2-1)^0.5 ,得x=-2 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-16 09:44 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5586&ptid=1358][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充10(沒有用到增根的方法)
令a=(x^2-x+2)^0.5 ,b=(2x^2+2x+3)^0.5 ,c=(2x^2-1)^0.5 ,d=(x^2-3x-2)^0.5
則a+b=c+d--------------(1)
且a^2-d^2=b^2-c^2,得(a+d)(a-d)=(b+c)(b-c)------------(2)
由(1)&(2)得a-d=b-c ... [/quote]
我的作法是
\(a-d=c-b\)分子有理化變成\(\displaystyle \frac{2x+4}{a+d}=\frac{-2x-4}{c+b}\)
所以\(x=-2\)若\(x\)不等於\(-2\)則分子約掉變成\(\displaystyle \frac{1}{a+d}=\frac{-1}{c+b}\)
整理可得\(a+b+c+d=0\)但\(a,b,c,d\)皆大於等於0且無法同時等於0 所以\(a+b+c+d\)不等於0
可確定只有\(x=-2\)一解 感謝樓上兩位的提醒，的確平方造成了增根，
代入原方程式剛好造成兩邊差一個負號，故
x=(-3-5^0.5)/2是不合的，當時只意識到只要滿足定義域即可，是個大疏忽
樓上的作法都蠻簡潔有力~推!
又長了一些知識......以後處理這一類問題要更加小心才是 想請教填充第五題一下!!!!!!!!
回復 18# man90244 的帖子
5.若實係數多項式\(f(x)=x^4+(2-k^2)x^2-2k^2x+(1-k^2)\)且\(f(x)=0\)只有兩個相異實根，則\(k\)的範圍為[u] [/u]。
[解答]
\(\displaystyle f(x)=(x^4+2x^2+1)-k^2(x^2+2x+1) \)
\(\displaystyle =(x^2+1)^2-(kx+k)^2 \)
\(\displaystyle =(x^2+kx+(k+1))(x^2-kx+(1-k)) \)
回復 19# 老王 的帖子
謝謝大大的解答!!!!想順便在問一下那如果遇到不能因式分解該怎麼辦???
如:
\(X^4-2(3a+1)X^2+7a^2+3a=0\)恰有2實根，求實數\(a\)的範圍??????