101嘉義高中（代理）
官方剛剛公布的試題與答案，如附件。 5.正五邊形的對角線\( \overline{BD} \),\( \overline{CE} \),\( \overline{DA} \),\( \overline{EB} \)與\( \overline{AC} \)分別兩兩相交P,Q,R,S,T。已知\( \displaystyle sin18^o=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \)，求正五邊形PQRST與正五邊形ABCDE的面積的比為？
圓內接正五邊形，連接其對角線，在內部得一小正五邊形，已知內接圓半徑為1，求小正五邊形面積為？
(96景美女中，[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=23292]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=23292[/url])
連接正五邊形ABCDE的五條對角線，圍成一個較小的正五邊形FGHIJ，在繼續作五條對角線再圍成更小的正五邊形，如灰色區域。若灰色區域的邊長為1，則正五邊形ABCDE的面積為灰色面積的\( Φ^k \)倍，則k=？
(100楊梅高中，[url=https://math.pro/db/thread-1162-1-2.html]https://math.pro/db/thread-1162-1-2.html[/url])
6.
\( \overline{BD}=\overline{CD} \)，\( \overline{AE}=2\overline{CE} \)，\( \overline{BF}=3\overline{AF} \)，\( \overline{AD} \),\( \overline{BE} \),\( \overline{CD} \)交成△PQR。求△PQR之面積：△ABC之面積為？
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計算2.
若圓內接四邊形ABCD的四邊長分別為a,b,c,d，設\( \displaystyle s=\frac{1}{2}(a+b+c+d) \)，則四邊形ABCD之面積\( =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \)
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[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434[/url]
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-15 09:59 PM 編輯 [/i]] 老實說，以正式教甄的標準來看
考卷的版面不是很精美
至少圖可以重畫 = =!! 想請問#13該怎麼做?謝謝
回復 4# pizza 的帖子
填充第 13 題：\(\angle OQP=\angle AQO=\angle QAO=\theta\) 且 \(\angle QOP=2\theta\)
\(\Rightarrow \angle OPQ=180^\circ-3\theta\)
在 \(\triangle OQP\) 中，由正弦定理，可得
\(\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\sin\theta}=\frac{\overline{OQ}}{\sin\left(180^\circ-3\theta\right)}\)
\(\displaystyle\Rightarrow \overline{OP}=\frac{r}{3-4\sin^2\theta}\)
\(\displaystyle\Rightarrow \overline{AP}=r+\frac{r}{3-4\sin^2\theta}\)
當 \(\theta\to0\) 時，\(\displaystyle\overline{AP}\to r+\frac{r}{3}=\frac{4r}{3}\) 且 \(\displaystyle\overline{BP}= \overline{AB}-\overline{AP}\to\frac{2r}{3}\)
因此，\(\overline{AP}:\overline{BP}\) 將會趨近於 \(\displaystyle\frac{4r}{3}:\frac{2r}{3}=2:1\)
回復 5# weiye 的帖子
感謝weiye 大,沒想到這麼晚還會回,過程寫得很清楚且詳細,我會了!!謝謝 想請教填充第12題,謝謝
回復 7# 阿光 的帖子
填充第 12 題：\(\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{x}\Rightarrow y\,'=-\frac{\sqrt{3}}{x^2}\)
過 \(P\) 之切線方程式：\(\displaystyle y-\frac{\sqrt{3}}{t}=-\frac{\sqrt{3}}{t^2}\left(x-t\right)\Rightarrow A(2t,0)\)
過 \(P\) 之法線方程式：\(\displaystyle y-\frac{\sqrt{3}}{t}=\frac{t^2}{\sqrt{3}}\left(x-t\right)\Rightarrow B(t-\frac{3}{t^3},0)\)
因為 \(t>0\)，所以
\(\displaystyle \overline{AB}=t+\frac{3}{t^3}=\frac{t}{3}+\frac{t}{3}+\frac{t}{3}+\frac{3}{t^3}\geq4\sqrt[4]{\left(\frac{t}{3}\right)^3\cdot\frac{3}{t^3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\) 1.想請教計算第一題第三小題的解，複數解的部分
(而且答案的w是指cos2pi/3+isin2pi/3嗎？應該要稍微定義一下?)
2.填充第16題問的是(a,b)，可是題意似乎還有問以cos(2/9pi)，cos(4/9pi)，cos(8/9pi)為三根之三次方程式為何
我算三根任意兩根相乘之和為 -3/4
所以所求方程式為 x^3 - (3/4)x + (1/8) = 0 (假設此三次方程式最高係數為1，畢竟題目也沒說到底最高次項係數是多少....)
不知道答案有沒有算對@@
[[i] 本帖最後由 redik 於 2012-6-16 10:12 PM 編輯 [/i]]
回復 9# redik 的帖子
填充 16. 題目敘述問題而已，你的方程式算對了\( (a,b) \) 雖然可以直接算出來，但如果用三倍角公式造方程式，也可從根與係數關係得到
計算 1. \( \omega \) 是在公告的答案裡出現，不影響作答
當然以考試來說，寫的時候是要小心一點。 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-6-17 12:56 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6419&ptid=1357][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充 16. 題目敘述問題而已，你的方程式算對了
\( (a,b) \) 雖然可以直接算出來，但如果用三倍角公式造方程式，也可從根與係數關係得到
計算 1. \( \omega \) 是在公告的答案裡出現，不影響作答
當然以考試來說，寫的時候是 ... [/quote]
1.「求」以cos2pi/9，cos4pi/9，cos8pi/9為根的三次方程式「並求」a,b之值
我總覺得看起來應該是要求方程式，但出考官複製貼上時沒注意到吧？XD
畢竟根據根與係數，求方程式跟求a,b道理根本都一樣....
2.其實我是想問計算二的那兩個複數解怎麼來的...orz，我只有解出實數解...
回復 11# redik 的帖子
計算 2. 其實是卡丹公式的推導(1) (2) 做出後聯立，可得 \( u^3 \) 的兩個值，\(u, v \) 對稱，其實另一個就是 \( v^3 \)
然以要取三次方根，三次方程式有三個根，只是你太順手自動只寫實數根而已 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-6-17 02:25 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6425&ptid=1357][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算 2. 其實是卡丹公式的推導
(1) (2) 做出後聯立，可得 \( u^3 \) 的兩個值，\(u, v \) 對稱，其實另一個就是 \( v^3 \)
然以要取三次方根，三次方程式有三個根，只是你太順手自動只寫實數根而已 ... [/quote]
原來如此，謝謝！orz 不好意思，想請問第8題，集合的問題，A=｛a、b、c、d、e｝，B=｛1，2，3，4｝，自A到B中任取一個，滿足f(a)<=f(b)<=f(c)，其中他講的滿足條件是指a或比任取一個元素，這個元素要取最小嗎?不好意思，麻煩各位高手了。我很單純的想一共九個元素，任取一個，但不知要如何符合f(a)<=f(b)<=f(c)這個條件。
回復 14# catglow 的帖子
不知道是不是您漏看了題目問的是"函數"
還有 A, B 聯集起來是九個元素沒錯，但 a,b,c,d,e 能比大小嗎？
看起來您覺得誤解題意了 我了解了~~是取A到B的函數，原來是這樣，非常感謝。之前一直卡在您說的a，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ並不能比較大小，所以不知道怎麼取，謝謝大大。
[[i] 本帖最後由 catglow 於 2012-8-17 10:19 AM 編輯 [/i]]
請教第16題
第16題直接算出a b
但之前做過的差都一樣
不過這一題的差都不一樣
請問該如何下筆??
麻請各位前輩幫忙!!!
回復 17# nianzu 的帖子
考慮\( \cos 3\theta = \cos \frac{2\pi}{3} \)
的解有 \( \displaystyle \theta = \frac{2\pi}{9}, \frac{4\pi}{9}, \frac{8\pi}{9} \)
由有三倍公式可得 \( 4t^3 -3t = -\frac{1}{2} \)
有三相異解 \( \displaystyle \cos \frac{2\pi}{9}, \cos \frac{4\pi}{9}, cos\frac{8\pi}{9} \)
由根與係數關係知：三根之和為 0, 三根的乘積為 \( \frac{-1}{8} \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-1-3 10:34 PM 編輯 [/i]]
回復 18# tsusy 的帖子
感謝tsusy老師!!原來這樣就可以!!!
我了解自己錯在哪了~~
感恩~~ 我不是很懂你的做法...請問有什麼可以參考的資料?感謝~
[quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2013-1-3 03:03 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7417&ptid=1357][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
考慮
\( \cos 3\theta = \cos \frac{2\pi}{3} \)
的解有 \( \theta = \frac{2\pi}{9}, \frac{4\pi}{9}, \frac{8\pi}{9} \)
由有三倍公式可得 \( 4t^3 -3t = -\frac{1}{2} \)
有三相異解 \( \cos \frac{2\pi}{9}, ... [/quote]
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