我都只畫出一個交點，這是如何算出來的？
回復 21# wayloon 的帖子
沒錯，你是對的答案是開區間，其中一個端點是一個交點，
區間內，兩個，另一個端點變三個，
至於怎麼畫，就是注意雙曲線漸近線斜率
回復 22# tsusy 的帖子
感謝寸絲大大，我看懂了。眼殘啊~ 計算
3.(2) [color=#ff0000]我想錯了，待我想想~~[/color][color=#ff0000]這樣吧[/color]
\(\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}-1=\frac{a_n^2-1}{a_n^2+1}<a_n-1 \)
\(\displaystyle a_{n+1}-1=\frac{(a_n-1)^2}{2a_n}<\frac{1}{2}(a_n-1) \)
對啊，這收斂真的很快，所以應該很多作法吧~~要不然放大絕，把一般項算出來
\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{\displaystyle 3^{2^n}+1}{\displaystyle 3^{2^n}-1} \)
4.
\(\displaystyle B=A \left [\begin {array} {ccccc}
0 & 1 & 1 & \cdots &1 \\
1 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & 0 & \cdots & 1 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\
\end {array} \right ]
\)
[font=Arial][size=2]
[/size][/font]
5.
\(\displaystyle 2012<x+\frac{x}{2}+\frac{x}{6}+\frac{x}{24}+\frac{x}{120}+\frac{x}{720}<2012+6 \)
7.
\(\displaystyle a^2+b^2=5 \)
\(\displaystyle (b-a)^3=3b-5a=\frac{1}{5}(a^2+b^2)(3b-5a) \)
101.1.1版主補充
計算3.
\( a_1=2 \)，\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n}) \)，for \( n \ge 1 \)。
(1)證明\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \)存在。
回復 24# 老王 的帖子
小弟眼拙，看不出計算 3 \( \leq \frac{1}{2} a_n \) 這個估計有何用處而 \( a_n \to 1 \) ，所以...??
小弟是當時做的時候，是去估計 \( a_{n+1}^2 - 1 \) 和 \( a_n^2 - 1 \) 的關係(差幾倍)
計算 5. 真是簡潔有力的秒殺~~讚~!!
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計算 3 (2) 小弟做的估計式是 \( a_{n+1}^2 - 1 \leq \frac{1}{2} (a_n^2 - 1) \)
不過過程醜多了，今天靈感突然來，又有新招 \( \frac{a_n}{a_{n+1}} -1 =\frac{a_n - a_{n+1}}{a_{n+1}} \leq a_n - a_{n+1} \)
右邊的和相消得 \( a_1 -1 =1 \)，而左邊每項皆正，故其和收斂。
另外，其是這題的本質應該是牛頓法解 \( x^2 - 1 =0 \)
所以其中 \( a_{n+1} -1 = O((a_n -1 )^2) \) ，收斂超快的
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原來這種分式的遞迴也有一般式可求，今日又受教了...
來去翻一下小黃看看(高中數學競賽教程) 3(2).分享一下當初朋友來問我,想到的一個作法:
由第一小題知\(<a_n>\)為遞減數列且極限存在，又
\[
\Sigma_{n=1}^{\infty}(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)=\Sigma_{n=1}^{\infty}a_n(\frac1{a_{n+1}}-\frac1{a_n})\le \Sigma_{n=1}^{\infty}a_1(\frac1{a_{n+1}}-\frac1{a_n})
=1
\]
不難看出收斂性.其實中間可以省掉估計,由Abel's test 可以立即得到結果
回復 17# tsusy 的帖子
計算 1. 來回憶一下當年的作法\( \phi \) 銳角，待定， \( \cos(\theta - \phi) = \cos\theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi \)
由 \( \cos(\theta - \phi) \leq 1 \) 和柯西不等式得
\(\displaystyle \frac{a}{\cos \theta} +\frac{b}{\sin \theta} \geq \left( \frac{a}{\cos \theta} +\frac{b}{\sin \theta} \right) \cos(\theta -\phi) \geq (\sqrt{a \cos \phi} + \sqrt{b \sin \phi})^2 \)
而當 \(\displaystyle\Large \theta = \phi =\cos^{-1}\sqrt{\frac{a^\frac23}{a^\frac23+b^\frac23}} \) 時，使兩不等號式皆為等號
請問
請問填充第六題怎麼旋轉？其實光是敘述就不是太懂@@"
謝謝^^
回復 28# vicki8210 的帖子
請參考橢圓老師在美夢成真的回覆[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2803&sid=882f7ccf530d3c0f3e188c918bc486d8#p7514]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2803&sid=882f7ccf530d3c0f3e188c918bc486d8#p7514[/url]
題外話...原先的檔案小弟不小心手殘...填充 1 打錯數據
感謝橢圓兄和其它網友提醒，已在前天 5.15 修正 想請教填充第3&6題,另外想請教填充第4題為什麼
算不出所附的答案,謝謝
回復 30# 阿光 的帖子
填充 6. 請看 100 桃園新進 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1149&page=1#pid3654]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1149&page=1#pid3654[/url]填充 3. 法 1. 可以令 \( F(x) = \int_0^x f(t)dt \), 然後可以去掉一個積分，再做變數代換 \( t = F(x),\, dt =f(x)dx \)
法 2. 或是函數、積分區域是對稱的，把它沿著 \( x=y \) 翻過去，兩塊加起再除 2 也可以
\( G(x,y)=f(x)f(y) \)，這個函數相對於 \( x=y \) 是對稱...把三角形翻過去，兩塊加起是正方形
填充 4. 不知道您怎麼做...所以不知道問題有哪 填充6.請教同事之後有一個方法，放上來跟大家分享一下
請參閱附件
[attach]1103[/attach]------------------------------------------
阿哩~突然發現我方向搞錯邊了
這樣變成順時鐘轉120度
請各位看官自行倒轉過來>"<
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逆時鐘轉的我修正過來了，請看下面的附件
[attach]1105[/attach] 小弟資質努鈍,填充第3題還是不太了解,
是否能請tsusy大師能解釋的更清楚一些
,謝謝 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-14 03:51 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5544&ptid=1355][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
小弟眼拙，看不出計算 3 \( \leq \frac{1}{2} a_n \) 這個估計有何用處
而 \( a_n \to 1 \) ，所以...??
小弟是當時做的時候，是去估計 \( a_{n+1}^2 - 1 \) 和 \( a_n^2 - 1 \) 的關係(差幾倍)
計算 5. 真是簡潔有力 ... [/quote]
請問寸絲大大：
「另外，其實這題的本質應該是牛頓法解 \( x^2 - 1 =0 \)
所以其中 \( a_{n+1} -1 = O((a_n -1 )^2) \) ，收斂超快的」
為什麼 \( a_{n+1} -1 = O((a_n -1 )^2) \) 呢？
又，怎麼看出收斂超快的呢？
沒大大那麼厲害，可以請您解說一下嗎？
回復 34# casanova 的帖子
大大二字，在下可擔不起牛頓法，應該不陌生吧...以前，即便是高三理組，也可能學過
大學的數值分析之類的課，基本上都會教到
至於證明，就是用 Taylor 定理，寫一寫而已，
不對...用 Taylor 定理算是殺雞牛刀，罪過罪過
這個迭代，比較基本 (Elementary) ，直接寫下來算一算就好了
\( a_{n+1}-1=\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}-2)=\frac{1}{2}\frac{a_{n}^{2}-2a_{n}+1}{a_{n}}=\frac{1}{2}\frac{(a_{n}-1)^{2}}{a_{n}} \)
所以得 \( a_{n+1} =\frac{1}{2a_n} \cdot (a_n - 1)^2 \)
題外話，如果要的根是重根，或者說 \( f(a)=0 \) 且 \( f'(a) = 0 \) 其中 \( f(x)=0 \) 是欲解之方程式
牛頓法的收斂就會變慢，此時 \( a_{n+1} -1 = O(1-a_n) \), 當然這時候還是有辦法處理，有興趣就去翻數值分析之類的書或 Google 吧
註：其實，上面那些符號，應該掛一下絕對值比較好 想再請教填充第3題和第1題有無較快的作法,謝謝
回復 36# 阿光 的帖子
有填充 1. 實際上那兩條不是歪斜線，而是相交於一點，由交點和 P 點即可以對稱比例式
填充 3. 不正當的作法：令 \( f(x) =k \) 常數函數，則得答案為 \( \frac{k^2}{2} \)
以上方法雖然快，但是只能說是取巧而已，遇到其它題目，大概就不行了。
不知道以上，是不是你想要的？ 謝謝tsusy,我終於看懂了 放在抽屜裡有點久的東西
附檔是一些想法和略解
致於詳解...人有點懶，就算了 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-27 06:35 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5820&ptid=1355][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
放在抽屜裡有點久的東西
附檔是一些想法和略解
致於詳解...人有點懶，就算了 [/quote]
填充題第五題怎麼思考切入的。