101師大附中(含計算題)
熱騰騰的考題剛出爐，先 po 一下計算證明的部分，其它晚點應該會公佈101 師大附中計算證明題，除第三題，兩小題各 5 分外，其餘每題 9 分
1. \( a>0 \), \( b>0 \), \( \theta\) 銳角，求 \( \frac{a}{\cos\theta}+\frac{b}{\sin\theta} \) 的最小值。
2. \( \triangle ABC \) 中， \(G\) 為重心。直線 \(L\) 過 \(G\) 與 \(\overline{AB}\) 和 \(\overline{BC}\) 分別交於 \(M\) 和 \(N\)。
\( \overline{BM}=p\overline{BA} \), \( \overline{BN}=q\overline{BC}\)，求 \(pq\) 最小值。
3. \( a_{1}=2\), \(a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{1}{a_{n}})\), for \(n\geq1\)。
(1) 證明 \( \lim\limits_{n\to\infty}a_{n}\) 存在。
(2) 證明 \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1)\) 收斂。
4. \( A_{n\times n}=[a_{ij}]\), \(B_{n\times n}=[b_{ij}]\)，其中 \(b_{ij}=\sum\limits _{k=1}^{n}a_{ik}-a_{ij}\)。\(\det A=a\), 求 \(\det B\) (以 \(a\) 表示)。
5. 求 \( \sum\limits_{n=1}^{10}\left[\frac{x}{n!}\right]=2012\) 的所有正整數解。
6. 求兩小於 1 的正數，其和小於 1，其積小於 \(\frac{2}{9}\) 的機率。
7. \(P(a,b)\) 在 \(x^{2}+y^{2}=5\) 上，求滿足 \(\log_{2}(b-a)-\log_{8}(3b-5a)=0\) 的所有點 \(P\)。
以上，題號序應該沒錯，而敘述也大概接近原本的文字，如有錯誤，還請指正
PS:感謝一起幫忙回憶的夥伴們^^
【註：weiye 於 2012/05/12, 17:10 加上師大附中公佈的參考答案檔案。】
回復 1# tsusy 的帖子
計算題第一題\(a>0,b>0\)，\(\theta\)為銳角，求\(\displaystyle \frac{a}{cos\theta}+\frac{b}{sin\theta}\)的最小值。
[解答]
用廣義的柯西不等式。
\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)
\(\displaystyle \left[\left(\root 3\of{\frac{a}{cos\theta}}\right)^3+\left(\root 3\of{\frac{b}{sin\theta}}\right)^3 \right]
\left[\left(\root 3\of{\frac{a}{cos\theta}}\right)^3+\left(\root 3\of{\frac{b}{sin\theta}}\right)^3 \right]
\left[(\root 3 \of{sin^2 \theta})^3+(\root 3 \of{cos^2 \theta})^3\right]\ge \left[\root 3 \of{a^2}+\root 3 \of{b^2}\right]^3\)
\(\displaystyle \left(\frac{a}{cos\theta}+\frac{b}{sin\theta}\right)^2\times 1\ge\left[\root 3\of {a^2}+\root 3\of {b^2}\right]^3\)
\(\displaystyle \frac{a}{cos\theta}+\frac{b}{sin\theta}\ge \left(\root 3 \of {a^2}+\root 3 \of {b^2}\right)^{\frac{3}{2}}\) 想請教是填充 2 ，上面的計算題，只是趁現在還記得，先寫下來而已。
填充 2：\( \triangle ABC \) 中 \(\overline{AB}=12\), \( \overline{AC}=8 \), \( D \) 在 \( \triangle ABC \) 內部，且 \( \angle ABD =\angle ACD \), \( \angle ADB \) 是直角。 \( M \) 為 \( \overline{BC} \) 中點，求 \( \overline{DM} \)
感覺應該是用外接圓，對同弧，在沒做出來，那時候找了一個特例，不過敲鐘後，發現找的特到 \( D \) 在三角形外面...
回復 3# tsusy 的帖子
這題也是想超久，第二題就卡住了，繼續努力想看看了。 6.求兩小於 1 的正數，其和小於 1，其積小於\(\displaystyle \frac{2}{9}\)的機率。
[解答]
相當於求紅色部分的面積
最新一期的數學傳播「美國高中數學測驗AMC 12之機率問題(下)」
有探討機率問題，像這種就是以a,b所在的區域面積R為分母
分子為事件發生區域的面積
這一題分母的區域面積為1，故所求機率就是事件發生的區域面積
曲線部分為雙曲線xy=2/9在第一象限的部分
直線x+y=1與xy=2/9交會的面積為(1/6)-(2/9)ln2
所求面積=三角形-交會面積=(1/2)-[/font][font=細明體][(1/6)-(2/9)ln2[/font]]=(1/3)+(2/9)ln2
回復 4# shingjay176 的帖子
填充 2設\(D\)為\(\Delta ABC\)內一點使得\(\angle ACD=\angle ABD\)，且\(\angle ADB=90^{\circ}\)，\(M\)為\(\overline{BC}\)的中點。已知\(\overline{AB}=12\)，\(\overline{AC}=8\)，則\(\overline{DM}=\)[u] [/u]。
[解答]
自問自答一下
做 \( \triangle ABD \) 的外接圓，其圓心為 \(E\)，將此圓對 \(\overline{AD}\) 作對稱。
[attach]1079[/attach]
以\( '\)表示之，則 \(D\) 為 \(\overline{BB'}\) 中點，又 M 為 \(\overline{BC}\) 中點，
而由 \( \angle ABD = \angle ACD \)，得 \(C\) 兩圓上，且不在 \(AD\) 劣弧上。再由 \(D\) 是內部點的條件，可知是右邊下方的 \( BD \)弧上
所以 \( \overline{DM}=\frac{1}{2}\overline{B'C}=\frac{1}{2}\sqrt{12^{2}-8^{2}}=2\sqrt{5} \) [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-12 06:25 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5501&ptid=1355][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
自問自答一下[/quote]
第二題這樣做還真殺~真是漂亮
另外，自己整理了部分的計算題，也請大家指教一下
考了幾間，一直感覺還沒有抓到應有的節奏...... [font=新細明體][size=3]我比較想要問填充三[/size][/font][font=新細明體][size=3]題目是不是給錯了啊？[/size][/font]
[font=新細明體][size=3]已知[/size][/font][font=新細明體]∫f(x) dx[/font][font=新細明體] = k[/font]
[font=新細明體][size=3] 0→1[/size][/font]
[font=新細明體][size=3]求[/size][/font]
[font=新細明體][size=3] ∫ dx ∫ f(x)f(y)dy
[/size][/font][font=新細明體]0→1 x→1[/font][font=新細明體][size=3]
[/size][/font][font=新細明體][size=3]他的dx是不是應該要放到最後面去才是呢？[/size][/font]
回復 8# Yichen 的帖子
只是記號不同而已那種寫法也是有人用 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-12 06:25 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5501&ptid=1355][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
自問自答一下，填充 2 [/quote]
精彩! 加一個讚! [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-12 10:14 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5505&ptid=1355][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
精彩! 加一個讚! [/quote]
最近流行這句嗎？
其實是今天下午睡前想到的...只是很懶，醒來的時候才補上的
來補一下，前因後果好了：考場裡的時候，雖然沒做出來，但也弄了一個 "不合法" 的特殊化
那時候，把 \( C \) 點放在 \( B' \) 的正上方，然後令 \( \overline{BD} = \overline{AC} = 8 \)
\(ABDC\) 變成平行四邊形, \(M\) 是中心, \( \overline{DM} \) 是一半的高，得到一樣的式子
不過以上還沒結束...因為響鈴的時候，才發現 \( D \) 點跑出三角形外了
於是乎，在回程的路上，才仔細思索，想到了從外接圓著手
不過在路上，沒有紙筆畫圖，自然還看不出關係
於是又弄了一個特例，把 \( C \) 點沿著那個弧搬到 \( D \)
不要這個特例更犯規... 移動的過程，都符合題意的條件...但最後合在一起角度不見了
不過那時，姑且假設它是個不變量。所以 \(C\), \(D\) 重合 \( \triangle ADB\) 是直角三角形
\( \overline{DM} =\frac{1}{2} \overline{DB} \)，最後當然還是一樣的式子和答案
直到那個正當的做法，做出來後，才消出了怨念，才可以安心地入眠。
回復 2# shingjay176 的帖子
不好意思~想請問一下 計算第一題 為何算幾不等式不能用 或是 算出來不對呢? [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-12 11:29 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5506&ptid=1355][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
最近流行這句嗎？
其實是今天下午睡前想到的...只是很懶，醒來的時候才補上的
來補一下，前因後果好了：考場裡的時候，雖然沒做出來，但也弄了一個 "不合法" 的特殊化
那時候，把 \( C \) 點放在 \( B' \) 的正上方，然後令 \( ... [/quote]
您就不用太有虧欠感啦(想不出來會不好睡喔?),這題在考試時會做出來的沒幾個吧?
更何況這週是母親節,還要舟車勞頓去考試,真是辛苦~
想當初我也跑到很遠地方去考試及服務(差點沒跑到離島去~)
不過最後還是幸運地考回自己的家鄉~
以上是題外話~
重點是要祝天下的母親:母親節快樂
如果各位可以的話,考回自己的家鄉
能夠就近照顧父母親,是最大的幸福~
教甄夥伴們加油ㄚ~ [quote]原帖由 [i]dennisal2000[/i] 於 2012-5-13 12:24 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5507&ptid=1355][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
不好意思~
想請問一下 計算第一題 為何算幾不等式不能用 或是 算出來不對呢? [/quote]
[b]恐怕直接用算幾,"等式"會不成立[/b]
[b]但是可以有技巧的用算幾[/b]
[b]令X=a/cos[font=新細明體][size=12pt]θ+b/sin[font=新細明體][size=12pt]θ ,Y=(cos[font=新細明體][size=12pt]θ)^2 +(sin[font=新細明體][size=12pt]θ)^2=1[/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/b]
[font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][b][font=Helvetica](a/cos[/font][font=新細明體][size=12pt]θ) /X + [font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=Helvetica](a/cos[/font][font=新細明體][size=12pt]θ) /X + (cos[font=新細明體][size=12pt]θ)^2/Y >= 3 [a^2 /(X^2*Y) ] ^(1/3) ----------------(1)[/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/b][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font]
[font=新細明體][size=12pt]
[/size][/font]
[font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][b][font=Helvetica](b/sin[/font][font=新細明體][size=12pt]θ) /X + [font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=Helvetica](b/sin[/font][font=新細明體][size=12pt]θ) /X + (sin[font=新細明體][size=12pt]θ)^2/Y >= 3 [b^2 /(X^2*Y) ] ^(1/3) ----------------(2)[/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/b][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font]
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[font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt]
[/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font]
[font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][font=新細明體][size=12pt][b]以上的過程就是"廣義柯西不等式"的証明方式[/b][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font][/size][/font]
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回復 14# Ellipse 的帖子
感謝橢圓大提供更多的資訊給我~但我有想過是否為等號不成立問題
等號成立 => a/cosx = b/ sinx 且 a>0 b>0 x銳角
則 tanx = b/a , x 為銳角 無論 a,b為何 應都有 對應的角度x才對阿@@"
想再問這個想法有哪裡有錯誤嗎?? [quote]原帖由 [i]dennisal2000[/i] 於 2012-5-13 01:29 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5510&ptid=1355][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
感謝橢圓大提供更多的資訊給我~
但我有想過是否為等號不成立問題
等號成立 => a/cosx = b/ sinx 且 a>0 b>0 x銳角
則 tanx = b/a , x 為銳角 無論 a,b為何 應都有 對應的角度x才對阿@@"
... [/quote]
可是後面一定會用到(sinx)^2=(cosx)^2的條件
題目的a,b未定,這樣(sinx)^2不一定會等於(cosx)^2
回復 12# dennisal2000 的帖子
個人不喜歡猜來猜去...雖然隱約可以猜中如何操作的。有時候，其實會覺得這樣問題很奇怪，不過大概見怪不怪了。
學數學(定理)的時候，課本(定理) 總是告訴我們什麼對，在怎樣條件下會有什麼事。
如果要問：「為什麼不對？」那不如問「為什麼覺得對？」或是「那樣做有什麼是對的？」
數學本來就是這樣，對的事，須要理由和證明；不對的事，通常是不需理由的，當然也可以想想錯在哪裡，和反例。
記得某年 (7x) 的大學聯考題，就有這一題，只是 \( a,\, b\) 是給固定的數字 2 和 3
當年讀書的時候，它也被編去某參考書的題目裡...當時沒學過廣義柯西，自然做不出來
只是後來很無聊的，弄了一個柯西加疊合，讓兩個等號同時成立(記憶中，應該是這題)
回到問題，既然不知道您的過程...就來講一個[color=#FF0000]胡說八道[/color]的例子，希望有所啟發、幫助
求：\( x \) 是實數， \( f(x) = x^2 +1 \) 的最小值。 大家都知道最小值是 1
\( x^2 \geq 0 \) 這是對的 \( 1 \geq 0 \) 這也是對的
所以 \( f(x) \geq 0+0 = 0 \) 也是對的。
以上都是對的，所以 \( f(x) \) 最小值是 \( 0 \)
如果以上邏輯都是對的，那仿此也可以胡說八道說，最小值是任意負數。
評曰：\( 0=0 \) 是對的，所以如果學生在考卷寫 \( 0=0 \)，不能打叉，要在 \( 0 = 0 \) 上面打勾，但是給它 \( 0 \) 分
(改自楊維哲語錄：很快樂的情形，得到 \( 0=0 \)，那你的分數就得零分嘛。)
以上，想通看懂後，再回去思考原問題吧
回復 1# tsusy 的帖子
計算題5.求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\left[\frac{x}{n!}\right]=2012\)的所有正整數解。
[解答]
提供一下計算5的詳解，不知是否有更好的寫法，考試的時候好幾題都沒能仔細思考，可能被前面某幾題耽擱了不少時間。
回復 18# lianger 的帖子
想按個讚~~做得比我漂亮多了補充兩點小東西
1. 計算的時候，其實可以使用連除法，這樣在計算上，會比較方便，以下表格表示之
[table=50%][tr][td] 2[/td][td]1172[/td][/tr][tr][td]3 [/td][td]586 [/td][/tr][tr][td] 4[/td][td]195[/td][/tr][tr][td] 5[/td][td]48 [/td][/tr][tr][td] 6[/td][td]9 [/td][/tr][tr][td] [/td][td]1 [/td][/tr][/table]
然後將第二行加起來 \( 1172+586+195+48+9+1 = 2011 \)
2. 關於唯一性：相信學長也注意到了，只是忘了說明為什麼而已
也許是太顯然、太簡單了： \( f(x) = \sum\limits_{n=1}^{10} [\frac{x}{n!}] \) 限制在整數上時是嚴格遞增函數
理由是每項都遞增而 \( [x] = x \) (在整數上) 是嚴格遞增，故 \( f(x) \) 限制在整數時是嚴格遞增函數