100高中數學能力競賽
100學年度 數學 能力競賽 決賽 試題 暨 參考解答如附件 請參考
101.10.2補充
高雄中學數學科有決賽總報告
h ttp://web.kshs.kh.edu.tw/math/exam.htm (連結已失效)
我將各地複賽題目分割出來,請下載附件 活動網頁h ttp://cauchy.math.nknu.edu.tw/math/competitions/index.php 連結已失效
可惜高師大只有提供決賽題目，只是決賽題目難度高且算式多，教師甄試比較少採用
前幾屆我就可以整理出很多相關試題，100年就沒有相關題目可以整理
97高中數學能力競賽，[url=https://math.pro/db/thread-919-1-1.html]https://math.pro/db/thread-919-1-1.html[/url]
98高中數學能力競賽，[url=https://math.pro/db/thread-911-1-1.html]https://math.pro/db/thread-911-1-1.html[/url]
99高中數學能力競賽，[url=https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html[/url]
看各位網友有沒有是高師大的校友，能幫忙反應系上公佈各地區複賽試題 決賽總報告後面就有當年的全部的複賽試題
去年找的結果都沒寫，輕鬆佳作 求\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+…+\sqrt{1+\frac{1}{2010^2}+\frac{1}{2011^2}} \)的值。
(100台中區複賽試題二試題)
(我的教甄準備之路 裂項相消，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678[/url])
提示：\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \)
108.5.18補充
設\(P\)為正立方體\(ABCDEFGH\)內部一點，且滿足\(\displaystyle \overline{PA}=\overline{PB}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)，\(\displaystyle \overline{PF}=\overline{PC}=\frac{\sqrt{107}}{2}\)，求此正立方體的邊長。
(100台中區複賽筆試二試題)
設\(P\)為正方體\(ABCD-EFGH\)內部一點，今已知\(\overline{PA}=\sqrt{2},\overline{PB}=\overline{PD}=\sqrt{3},\overline{PE}=\sqrt{2}\)，試問此正立方體的稜長為？
(108麗山高中，[url]https://math.pro/db/thread-3113-1-1.html[/url])
\( \displaystyle \frac{tan1^o}{cos2^o}+\frac{tan2^o}{cos4^o}+\frac{tan4^o}{cos8^o}+…+\frac{tan(2^n)^o}{cos(2^{n+1})^o}= \)？(答案僅能以tan表示)
100台中區複賽試題(二)
(我的教甄準備之路 裂項相消，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678[/url])
在區間(0,1)當中，隨機任選兩個相異點x和y，即可將此區間分成長度各為a,b和c的三個子區間。
已知每一個序對(a,b,c)出現的機率均等，試問a,b和c可以作為一個三角形的三邊長的機率為何？
(100台中區複賽試題二試題)
另解h ttp://www.funlearn.tw/redirect.php?goto=findpost&ptid=15135&pid=203139 (連結已失效)
101.11.28補充
將一線段分成三份能構成三角形的機率，h ttp://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=1664&prev=4390&next=1551&l=f&fid=12 (連結已失效)
113.5.8補充
將長度為\(l\)之線段任意分為三段，則三段相接能構成一個三角形之機率為[u] [/u]。
(113台北市立陽明高中，[url]https://math.pro/db/thread-3864-1-1.html[/url])
可形成銳角三角形的機率
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12015 (連結已失效)
可下載[url]https://math.pro/temp/nta_examservice.zip[/url]，看html目錄下的12015.htm
文章中的兩個圖檔
[attach]1448[/attach]
[attach]1449[/attach]
設f為一個2010次的多項式，且滿足\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \)，k=1,2,3,…,2011。試求f(2012)的值。
(100台中區複賽試題二試題)
[url]https://math.pro/db/thread-1195-1-1.html[/url]
平面上，由圖形\( \displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2 \le 1 \)，\( \displaystyle y+1 \ge (\frac{\sqrt{2}}{2}+1)x \)，\( \displaystyle y+1 \ge -(\frac{\sqrt{2}}{2}+1)x \)所圍成區域之面積為何？
(100台中區複賽試題二試題)
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=826&page=1#pid1580[/url]
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101.10.13補充
已知一個\( 9 \times 10 \times 11 \)大長方體積木是由990個每邊1單位的白色小正立方體積木所併成。若將大長方體積木的表面全部著上紅色後再拆開成原來的990個小正立方體積木，則恰有兩面著上紅色的小正立方體積木共有[u] [/u]個？
(100臺北市筆試二試題)
在下列的三角形陣列中，對\(k=1,2,3\),…，由上而下的第\(k\)列是由\(k\)個數所排成，其中最左邊的數與最右邊的數都是\(k+1\)，而中間的數都是上一列相鄰兩數之和，則第100列的數之總和除以100的餘數為？
\( \matrix{& & & & 2 & & & & \cr
& & & 3 & & 3 & & & \cr
& & 4 & & 6 & & 4 & & \cr
& 5 & & 10 & & 10 & & 5 & \cr
6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 }\)
(100臺北市筆試二試題)
(我的教甄準備之路 找出圖形的規律，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274[/url])
111.4.2補充
在右列的三角形陣列中，在兩條邊上依序填入2、3、4、⋯⋯連續自然數，中間的數都是上一列相鄰兩數之和(類似巴斯卡三角形)，所以第一列所有數字的總和為2，第二列所有數字的總和為6，以此類推，試求第2022列所有數字的總和除以1000的餘數為何？
\( \matrix{& & & & 2 & & & & \cr
& & & 3 & & 3 & & & \cr
& & 4 & & 6 & & 4 & & \cr
& 5 & & 10 & & 10 & & 5 & \cr
6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 }\)
(111樟樹實創高中，[url]https://math.pro/db/thread-3617-1-1.html[/url])
若\( \alpha \)是\( \displaystyle \frac{1}{3}x+3^x=8 \)的一個根，\( \beta \)是\( x+log_3(x+1)=24 \)的一個根，\( \alpha+\beta= \)？
(100臺北市筆試二試題)
101.11.11補充
設a與b為實數且\( a>0 \)，已知\( a+log a=8 \)且\( b+10^b=8 \)，則\( a+b \)之值為？
(98全國高中數學能力競賽 台北市筆試二，[url]https://math.pro/db/thread-911-1-1.html[/url])
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已知x為不等於零的正實數且滿足\( \displaystyle 3f(5x^2)+2f(\frac{1}{5x^2})=25x \)，求\( f(5) \)之值？
(100台南區筆試二試題)
設P(x)為實係數多項式，且\( P(x^2)=P(x+2)P(x+6 \)對於任意實數x均恆成立，求滿足這些條件的所有\( P(x) \)。
(100台南區筆試二試題)
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設\( x_0=2\sqrt{3} \)，\( y_0=3 \)，對於任意一個正整數n，\( \displaystyle x_n=\frac{2x_{n-1}y_{n-1}}{x_{n-1}+y_{n-1}} \)且\( \displaystyle y_n=\sqrt{x_n y_{n-1}} \)。證明：對於所有正整數n，\( y_{n-1}<y_n<x_n<x_{n-1} \)。
(100高雄區筆試一試題)
從平面上的一點\( S=(a,b) \),\( 0<b<a \)出發，並依下列規則\( \displaystyle x_0=a \)，\( y_0=b \)，\( \displaystyle x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2} \)，\( \displaystyle \frac{2x_n y_n}{x_n+y_n} \)構造出一連串的點\( (x_n,y_n) \)，試問當\( n \to \infty \),\( (x_n,y_n) \)是否會收斂？若是，則其極限點為何？
中山大學雙週一題96學年度第一學期第5題
[url]http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2007f/961Q&A.htm[/url]
[url]https://math.pro/db/thread-420-1-1.html[/url]
a,b,c為任意三正數，令\( \displaystyle a_1=\frac{a+b+c}{3} \)，\( b_1=\root{3}\of{abc} \)，\( \displaystyle c_1=\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \)，
對所有自然數i滿足\( \displaystyle a_{i+1}-\frac{a_i+b_i+c_i}{3} \)，\( \displaystyle b_{i+1}=\root{3}\of{a_i b_i c_i} \)，\( \displaystyle c_{i+1}=\frac{3}{\frac{1}{a_i}+\frac{1}{b_i}+\frac{1}{c_i}} \)
試證：
(1)\( a_n \ge b_n \ge c_n \)。
(2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n=\lim_{n \to \infty}c_n \)。
(95基隆高中，[url]https://math.pro/db/thread-865-1-1.html[/url])
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設\( \{\; x_n \}\;_{n=1}^\infty \)是一個實數數列，\( x_1=1 \)，\( x_2=2 \)且滿足對於所有正整數n，\( x_{n+2}=\frac{1}{2}(x_{n+1}+x_n) \)。證明：\( \displaystyle \sum_{k=1}^\infty (x_{2k+1}-x_{2k-1})=\frac{2}{3} \)。
(100高雄區筆試二試題)
(我的教甄準備之路 裂項相消，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678[/url])
已知函數\( f(x) \)滿足\( f(x+5)f(x)-f(x)+f(x+5)+1=0 \)，且\( f(1)=3 \)，求\( f(2011) \)之值？
(100高雄區筆試二試題)
從正整數1,2,3,…,20中任意取出四個數令為\( a_1,a_2,a_3,a_4 \)，並將其排序，使得\( a_1<a_2<a_3<a_4 \)，且滿足\( a_2-a_1\ge 3 \)，\( a_3-a_2\ge 4 \)，\( a_4-a_3\ge 5 \)，則滿足這些條件的數共有多少種取法？
(100高雄區筆試二試題)
滿足\( 1\le a\le b<c\le d\le 8 \)的整數解\( (a,b,c,d) \)共有幾組？
(95新竹高商)
若從1,2,...,13中任選出相異三數x,y,z，且\( x<y<z \)，則\( y-x\ge3 \)且\( z-y\ge 3 \)成立之機率為
(100中科實中，[url]https://math.pro/db/thread-1107-1-9.html[/url])
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在邊長為1的正方形內任給5點，證明：其中必有2點，他們的距離小於或等於\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \)。
(100第一區口試試題)
在邊長為1的正立方體內任取9點，證明：其中必有二點，距離不超過\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \)。
(數學傳播 第6卷第4期 彭志帆 抽屜原理)
設正三角形邊長為1，試證：由此正三角形內部任取5點，至少有兩點的距離小於或等於1/2。
(99全國高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-978-1-1.html[/url])
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有一個各位數字都不相同且都不為0的四位數，將這四位數的各位數字重新排列，可得一個最大數和一個最小數(例如:2793經重排後，最大數為9732，最小數為2379)，如果如得的最大數與最小數的差恰好就是此四位數，試求所有這種四位數。
(100第一區筆試一試題)
將一個四位數更動其個、十、百、千位，得一最大數與最小數，取兩者之差得一新數。將此新數更動其位數，取其大數減小數之差得另一新數，將此新數反覆作同樣的操作，最後結果，只要原來四位數之個、十、百、千位不盡相同，都是6174。為什麼？請將以上事實給予嚴格的證明。
數學傳播 第3卷第2期 謝聰智，6174妙題巧解
110.5.3補充
有一個三位數滿足數字重新排列後所得之最大數與最小數的差值為原三位數，則此三位數為[u] [/u]。
(110台中女中，[url]https://math.pro/db/thread-3515-1-1.html[/url])
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求\( x^{50}+x^5+1 \)除以\( x^3+x \)的餘式為。
(100第一區筆試二試題)
若p為質數且\( x^2+px-444p=0 \)之兩根均為整數，則p=。
(100第一區筆試二試題)
設p為△ABC所在平面上一點，滿足\( 2\vec{PA}+\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0} \)，△BPC面積:△APC面積的比值為。
(100第一區筆試二試題)
設\( f(x)=|\; x^2-3x |\;-x+1 \)，則方程式\( f(f(x))=-2 \)的實數有多少個？
(100第一區筆試二試題)
The graph of the function is shown below. How many solutions does the equation \( f(f(x))=6 \) have?
[img]http://cache.artofproblemsolving.com/asyforum/6/a/e/6ae4e7b11667c1a0c6ceb10855f868336f58c4bd.png[/img]
(A)2 (B)4 (C)5 (D)6 (E)7
(2002AMC12，[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=44&year=2002[/url])
一個公正的骰子擲n次，若至少出現一次6點的機率大於0.95，則n之最小值為？
將一個半徑為5公分的鐵球，放入一個邊長10公分的正方體容器，再放入另一個小鉛球，然後蓋上正方體容器的蓋子，使蓋子與正方體完全密合，則這個鉛球的最大半徑為[u] [/u]公分
其他類似問題
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1118&page=2#pid3471[/url]
在空間中，球面S：\( x^2+y^2+z^2=10 \)有兩點\( A(3,0,1) \)，\( B(1,\sqrt{5},2) \)。設γ為連接A點到B點的最短球面路徑，則γ的中點坐標為
假設地球為一球體。今以地球球心為原點，地球半徑為單位長，建立一直角坐標系。設地球表面上有甲乙丙三地，甲、乙兩地的坐標分別為
\( (1,0,0) \)、\( \displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \)，而丙地正好是甲乙兩地之間最短路徑的中點，則丙地的坐標為何?
(90指考自然組)
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若一多項式\( f(x) \)滿足\( f(x+2)-f(x+1)=6x^2+1 \)，且\( f(0)=1 \)，則此\( f(x)= \)？
(100第二區筆試二試題)
已知實數a,b滿足\( 2a^2-3ab+2b^2-7=0 \)，若\( a^2+b^2 \)的最大值和最小值分別為p,q，則\( p+q= \)？
(100第二區筆試二試題)
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證明：\( \displaystyle sin\frac{\pi}{13}sin\frac{2\pi}{13}…sin\frac{6\pi}{13}=\frac{\sqrt{13}}{2^6} \)
(100第十區筆試一試題)
令x為大於零的實數，試求\( \displaystyle \frac{x^2+2-\sqrt{x^4+4}}{x} \)的最大值
(100第十區筆試一試題)
X為非零實數，\( \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{4+32x^2+x^4}-\sqrt{4+x^4}}{x} \)，若\( x=x_0 \)時，\( f(x) \)有最大值M，則數對\( (x_0,M)= \)？
(101新竹女中，[url]https://math.pro/db/thread-1358-1-2.html[/url])
設方程式\( x^3-x-1=0 \)的三個根為\( \omega_1 \)、\( \omega_2 \)、\( \omega_3 \)。試求\( \omega_1^8+\omega_2^8+\omega_3^8 \)的值。
(100第十區筆試一試題)
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試求\( (1+x)^{2011} \)被\( 1+x+x^2 \)除的餘式。
(100第十區筆試二試題)
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三角形的三邊長各為\( \sqrt{89} \),\( 4\sqrt{5} \),5，請問此三角形的面積為何？
(100第四區口試試題)
我的教甄筆記 三角形面積，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779[/url]
設數列\( \{\; a_n \}\; \)滿足\( a_1=0 \)，且\( a_{n+1}=a_n+1+2\sqrt{1+a_n} \),\( n=1,2,3,... \)。試求一般項\( a_n \)的公式。
(100第四區口試試題)
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(1)設數列\( a_n=(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n \)，其中n是自然數。試證：對所有的自然數n，\( a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n \)均成立。
(2)試求\( [\; (1+\sqrt{2})^{100} ]\; \)的個位數字(其中\( [\; x ]\; \)表示不超過實數x之最大整數)。
(100第四區筆試一試題)
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方程式\( x^2-y^2=2011^2 \)共有[u] [/u]組整數解。
(100第四區筆試二試題)
有相同大小的20顆紅球、20顆黑球、20顆白球，分成各30顆的兩堆，共有[u] [/u]種分法。
(100第四區筆試二試題)
已知實數x,y,z滿足\( x+2y+3z=14 \)，\( x^2+y^2+z^2=196 \)。則z的最大可能值為[u] [/u]。
(100第四區筆試二試題)
提示：
\( (x^2+y^2)(1^2+2^2)\ge (x+2y)^2 \) ， \( (196-z^2)(5)\ge (14-3z)^2 \)
設△ABC為等腰三角形，其中\( \overline{AB}=\overline{AC} \)。設∠ABC的角平分線交\( \overline{AC} \)邊於D點，並且滿足\( \overline{BC}=\overline{AD}+\overline{BD} \)。則∠BAC=[u] [/u]度。
(100第四區筆試二試題)
(96斗南高中，99中壢家商，[url]https://math.pro/db/thread-932-1-3.html[/url])
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國慶煙火在施放後升空700公尺時爆炸，煙火半徑為300公尺，則站立於距煙火施放處多少公尺可以看得最清楚(提示，此時有最大視角)？
(100嘉義區筆試一試題)
實數a,b,c,d,e滿足\( a+b+c+d+e=8 \)，\( a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16 \)，則e的最大值為何？
(100嘉義區筆試一試題)
提示：
\( (a^2+b^2+c^2+d^2)(1^2+1^2+1^2+1^2)\ge (a+b+c+d)^2 \) ， \( (16-e^2)(4)\ge (8-e)^2 \)
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方程式\( \displaystyle log_{\frac{x}{2}}x^2-14log_{16x}x^3+40log_{4x}\sqrt{x}=0 \)的所有實數解為[u] [/u]。
(100嘉義區筆試二試題)
方程\( |\;|\;|\;|\;|\; x^2-x-1|\;-2|\;-3|\;-4|\;-5|\;=x^2+x-30 \)的所有實數解為[u] [/u]。
(100嘉義區筆試二試題)
方程式\( (x+1)(x+3)(x+6)(x+7)=y^2 \)有[u] [/u]組整數解\( (x,y) \)。
(100嘉義區筆試二試題)
設賭徒A有賭本m元，賭徒B有賭本n元。兩人擲骰子決定勝負，每次擲兩粒骰子，點數和若不大於7點則B須給A一元，反之則A須給B一元。最後A會贏得B全部賭本的機率為[u] [/u]。
(100嘉義區筆試二試題)
滿足\( x^2+y^2=\sqrt{m^2+35} \)的所有自然數解\( (x,y,m) \)為[u] [/u]。
(100嘉義區筆試二試題)
在△ABC中，\( \overline{AB}=5 \)，\( \overline{BC}=6 \)，\( \overline{CA}=7 \)，E為外心且\( \vec{AE} \)交直線\( \overline{BC} \)於D。若\( \vec{AD}=x \vec{AB}+y \vec{AC} \)，則\( x= \)[u] [/u]，\( y= \)[u] [/u]。
(100嘉義區筆試二試題)
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假設\( a=\sqrt{2}+1 \)、\( \displaystyle b=\frac{sin \frac{7}{16}\pi}{sin \frac{3}{16}\pi} \)、\( \displaystyle b=\frac{sin \frac{5}{16}\pi}{sin \frac{1}{16}\pi} \)。比較\( a,b,c \)大小為何？
(100第二區(新店高中)口試試題)
(104新北市高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-2279-1-1.html[/url])
高中數學能力競賽2題
想問請問各位高手1. 100台北市第六題(附件1)
2. 100第二區第七題(附件2)
謝謝
102.09.12, weiye 註：相同主題合併討論，刪除附件節省空間（如需附件，請見首篇。）
回復 1# nathan 的帖子
100台北市複賽筆試二-6以斜坐標表示之，令 A 為原點，B 點坐標為 (4,0), C 點坐標為 (0,5)，
則有以下坐標 F(0,2), G(0,1), H(1,0), \( D(\frac{8}{3},\frac{5}{3}) \)，
而 \( \overleftrightarrow{DG}:\, x-4y=-4 \), \( \overleftrightarrow{FH}:\,2x+y=1 \)，
聯立解得 \( P(\frac{4}{9},\frac{10}{9})\Rightarrow\overline{FP}:\overline{PH}=4:5 \)。
100二區筆試二-7
\( 26\mid18n-16\Leftrightarrow13\mid9n-8\Leftrightarrow n\equiv11 \) (mod 13)；
\( 36\mid33n+12\Leftrightarrow12\mid11n+4\Leftrightarrow n\equiv4 \) (mod 12 )；
\( 42\mid27n-36\Leftrightarrow14\mid9n-12\Leftrightarrow n\equiv6 \) (mod 14 )。
\( \begin{cases}
n & \equiv11\,(\mbox{mod }13)\\
n & \equiv4\,(\mbox{mod }12)\\
n & \equiv6\,(\mbox{mod }14)
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
n & \equiv11\,(\mbox{mod }13)\\
n & \equiv1\,(\mbox{mod }3)\\
n & \equiv6\,(\mbox{mod }7)\\
n & \equiv0\,(\mbox{mod }4)
\end{cases}
\Rightarrow n\equiv4\cdot84+364+3\cdot156\equiv2260 \) (mod 1092)。
回復 6# nathan 的帖子
相同主題，合併討論。機率/優勝率問題
設賭徒A有賭本m元，賭徒B有賭本n元。兩人擲骰子決定勝負，每次擲兩粒骰子，點數和若不大於7點則B須給A一元，反之則A給B一元。最後A會贏得B全部賭本的機率為_________。這題似乎和優勝率問題類似
如果改成像下面這題
設賭徒A有賭本m元，賭徒B有賭本n元。兩人擲[b]硬幣[/b]決定勝負，若為正面則B須給A一元，反之則A給B一元。最後A會贏得B全部賭本的機率為_________。
則答案應為[b][u]m[/u][/b]/(m+n)
腦筋轉不過來~~
附註:上面那題答案是(1.4^(m+n)-1.4^n)/(1.4^(m+n)-1)
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這題是 100年 高中數學能力競賽 嘉義區筆試二的試題可參考許介彥教授的大作[attach]2530[/attach][attach]2530[/attach]
另一題的答案應是 \(\frac{m}{m+n}\)
111.7.12補充
艾莉絲跟巴柏賭錢，規則如下：兩人輪流丟擲同一個不公正的硬幣(該硬幣出現正面的機率為\(\displaystyle \frac{2}{5}\)、反面的機率為\(\displaystyle \frac{3}{5}\))。如果出現正面，則艾莉絲要給巴柏1元；反之，如果出現反面，則巴柏要給艾莉絲1元。如果遊戲開始的起始籌碼是：艾莉絲有4元、巴柏有3元。試求艾莉絲將巴柏的錢全部贏光的機率=[u] [/u]。
(111屏東高中，[url]https://math.pro/db/thread-3663-1-1.html[/url])
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