想請教填充第4,5題和計算第3題 [/quote]
填充第四題:
甲、乙二人輪流擲一枚均勻的硬幣，誰先擲出正面，誰獲勝，如此稱為一局，他們連玩了數局，並規定前一局的輸家下一局先擲，若甲第一局先擲，則甲第六局獲勝的機率為？
[解答]
先算出先擲的一方獲勝的機率為 2/3 , 輸的機率為1/3
另P(n)為甲第n局獲勝的機率，
則可得到一個遞迴式 P(n)=(1/3)P(n-1)+(2/3)(1-P(n-1))
可解出 P(n)=(1/6)*(-1/3)^n-1
帶入P(6)=364/729
想法若有瑕疵也煩請大家指教，謝謝。 第五題做法,按照題意即可
回復 21# 阿光 的帖子
填充第五題：思考一：看起來很像旋轉矩陣，就當旋轉矩陣來玩看看好了。
解答一：
[attach]1040[/attach]
如圖，令 \(\displaystyle\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}, \sin\theta=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\)，其中 \(0^\circ<\theta<90^\circ\)
則 \(\displaystyle M=\cos\theta\left[\begin{array}{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{array}\right]\)
（註：以原點為中心逆時針旋轉 \(\theta\) 且伸縮為原來的 \(\cos\theta\) 倍）
畫出下圖：
[attach]1041[/attach]
其中
[attach]1042[/attach]
因此我們要求的面積＝\(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta\sin\theta\cdot\sin\left(180^\circ-\theta\right)=\frac{1}{2}\cos\theta\sin^3\theta\)
由算幾不等式，可得
\(\displaystyle\frac{\cos^2\theta+\frac{1}{3}\sin^2\theta++\frac{1}{3}\sin^2\theta++\frac{1}{3}\sin^2\theta}{4}\geq\sqrt[4]{\cos^2\theta\left(\frac{\sin^2\theta}{3}\right)^3}\)
化簡後，可得所求三角形面積的最大值為 \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{32}.\)
思考二：咦，剛剛的過程雖然包裝成三角函數，
可是也只是方便算面積而已呀，沒有用到什麼三角函數的特別性質，
而且最後還是透過算幾不等式，
也就是如果一開始就硬做＋算幾，應該也可以呀。
解答二：
如同前篇回覆，先算出 \(P_1,P_2,P_3\)，再算 \(\displaystyle\triangle P_1P_2P_3=\frac{a^3}{2\left(1+a^2\right)^2}\)
可由算幾不等式得
\(\displaystyle\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{1+a^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{1+a^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{1+a^2}\right)\geq\sqrt[4]{\frac{1}{27}\frac{a^6}{(1+a^2)^4}}\)
\(\displaystyle\Rightarrow \frac{3\sqrt{3}}{32}\geq\frac{a^3}{2(1+a^2)^2}\) 瑋岳大師的方法好酷喲，不知道誰能將計算第3題的方法仔細show 一下，謝謝。
回復 25# 阿光 的帖子
剛剛暴力硬算，其實沒有很醜，只是之前一直不敢算計算 3
令三個對應邊為 \( a,\, b,\, c\)，則 \(\overline{G_{3}C}=\frac{a}{\sqrt{3}}\), \( \overline{G_{2}C}=\frac{b}{\sqrt{3}} \), \( \angle G_{3}CG_{2}=\frac{\pi}{3}+C \)，
\( \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \), \( \sin C=\frac{2\triangle}{ab} \)，\( \cos(\frac{\pi}{3}+C)=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4ab}-\frac{\sqrt{3}\triangle}{ab}\)
餘弦定理硬算 \( \overline{G_{2}G_{3}}^{2}=\frac{a^{2}}{3}+\frac{b^{2}}{3}-\frac{2ab}{3}\cos(\frac{\pi}{3}+C)=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{6}+\frac{2\sqrt{3}\triangle}{3} \)
對稱的，另兩邊也一樣，三邊相等，得證。
回復 25# 阿光 的帖子
換個方法暴力硬算\(R=cos60^0+isin60^0\)
\(R^3=-1\)
\(R^2=R-1\)
\(3 \cdot G_1=A+B+D=A+B+B+(A-B)R=A(R+1)+B(-R+2)\)
\(3 \cdot G_2=B+C+E=B+C+C+(B-C)R=B(R+1)+C(-R+2)\)
\(3 \cdot G_3=C+A+F=C+A+A+(C-A)R=C(R+1)+A(-R+2)\)
\(3 \cdot (G_3-G_1)=A(-2R+1)+B(R-2)+C(R+1)\)
\(3 \cdot (G_2-G_1)=A(-R-1)+B(2R-1)+C(-R+2)\)
\(R \cdot 3 \cdot (G_2-G_1) \)
\(=A(-R^2-R)+B(2R^2-R)+C(-R^2+2R)\)
\(=A(-2R+1)+B(R-2)+C(R+1)\)
\(=3 \cdot (G_3-G_1)\)
\(R \cdot (G_2-G_1)=(G_3-G_1)\)
Q.E.D. [quote]原帖由 [i]hua0127[/i] 於 2012-5-3 09:13 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5349&ptid=1335][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第四題:
先算出先擲的一方獲勝的機率為 2/3 , 輸的機率為1/3
另P(n)為甲第n局獲勝的機率，
則可得到一個遞迴式 P(n)=(1/3)P(n-1)+(2/3)(1-P(n-1))
可解出 P(n)=(1/6)*(-1/3)^n-1
帶入P(6)=364/729
想法若有瑕 ... [/quote]
請問hua0127老師
可解出 應該是
P(n)=(1/6)*(-1/3)^n+(1/2)
我算出是這樣
若乙第1局先擲,情況又會如何?
大家討論一下
謝謝
[[i] 本帖最後由 arend 於 2012-5-4 04:24 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2012-5-4 03:38 PM 發表
P(n)=(1/6)*(-1/3)^n+(1/2)
若乙第1局先擲,情況又會如何?
大家討論一下
[/quote]
\( n=1 \) 代入檢驗，就知道是否有錯
而乙先擲的情況，方法完全相同，甚至式子也幾乎沒有差別
何不自己試一下，順帶驗證，是否真的懂了，學會這個方法了
再由大家幫忙看看是否有錯誤，就行了
如果更懶一點，其實也有不重新計算的方法(甲、乙 對稱)
回復 2# bugmens 的帖子
看到第三題矩陣，完全沒有想過要像這樣硬解 \( X, Y \)還好題目是問 \( X^n \)，才想到應該從特徵值下手
找 \( P \) 把 A 對角化，\( X,\, Y \) 做 Similar transfrom 的 \( X',\, Y' \)
這時候 \( X',\, Y' \) 滿足一樣式子，但是 \( A \) 被對角化，
所以用眼睛一看，就知道 \( X', \, Y' \) 是 \(\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\
0 & 0\end{array}\right) \) 和 \( \left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1\end{array} \right) \)
接下計算 \( X^n \) 也因為那個 1 0; 0 0 怎麼乘不變，所以 \( X^n = X \)
中間的計算，就不做了，有興趣的自行完成 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-4 06:52 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5378&ptid=1335][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
\( n=1 \) 代入檢驗，就知道是否有錯
而乙先擲的情況，方法完全相同，甚至式子也幾乎沒有差別
何不自己試一下，順帶驗證，是否真的懂了，學會這個方法了
再由大家幫忙看看是否有錯誤，就行了
如果更懶一點，其實也有不重新計算 ... [/quote]
tsusy老師
其實我這這問題
我是有先想一下
P(n)=(-1/3)^n-1*(-1/6)+1/2
變成乙先擲情況下,甲赢第6局的機率365/729
因就變成1-(甲先擲的機率)
到這裡我就沒有把握
所以上來請就一下
謝謝你
回復 31# arend 的帖子
看起來沒什麼錯誤如果把算過的式子，仔細一看，就會發現列的遞迴式根本是一模一樣
只有 \( P_1 \) 代的數字不同而已
另外，您也注意到了，這個機率其實和原本的相加等於 \( 1 \)
運用先前所說的對稱，乙先擲，乙贏第六局的機率
必然與甲先擲甲贏第六局的機率相同，也就是 \( \frac{364}{729} \)
而沒人得勝，也是一直丟反面機率是 0，所以不是乙勝就是甲勝，
因此甲勝的機率 = 1 - 乙勝的機率
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-5 04:58 PM 編輯 [/i]] 可以請教一下
遞迴式 P(n)=(1/3)P(n-1)+(2/3)(1-P(n-1))的意思嗎?
@@我的想法如下：不知卡在何處
第n局win=第(n-1)局win*第n局也要win+第(n-1)局lose*第n局win
為何不是
P(n)=P(n-1)*1/2*1/2 + (1-P(n-1))*1/2
第n-1局甲win 第n-1局甲輸
第n局換乙丟 第n局換甲先丟
因甲要win 甲丟正面1/2即win
故乙丟反面1/2
換甲丟正面1/2
想法若有瑕 ...
回復 33# natureling 的帖子
我想，只要問一個問題就好了第一局甲贏的機率是多少？
是 \( \frac{1}{2} \) 嗎？
如果覺得是的話，再仔細看看題意，也許有所誤會題意了哦 想出了。題意的一局是指看誰先丟出正面，才一局結束。有可能輪流丟了1O多次才分出勝負，才算一局。故P（n)=第n-1局甲 Win*1/3（第n局.換乙先丟，沒丟正面，即甲先正）十第n-1局甲輸*2/3（表第n局甲先丟*甲先正面）.....@@這樣對嗎！？想了許久！唉！
[quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-5 12:08 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5388&ptid=1335][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我想，只要問一個問題就好了
第一局甲贏的機率是多少？
是 \( \frac{1}{2} \) 嗎？
如果覺得是的話，再仔細看看題意，也許有所誤會題意了哦 [/quote]
[[i] 本帖最後由 natureling 於 2012-5-5 01:18 AM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]natureling[/i] 於 2012-5-5 12:23 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5390&ptid=1335][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
是吔...第一局甲win...想法
一、甲先丟直接丟正面1/2 win....乙不用丟...這樣算一局
二、甲丟換乙丟....共有4種(++,+ -,-+,--) 這樣甲win機率(雖甲+乙也+,但甲先丟先win)也是2/4=1/2...
還是2個都錯....@@..感恩解 ... [/quote]
我代 [i]tsusy[/i] 老師回答
第1局甲贏的機率
甲(+),甲(-)乙(-)甲(+),...
1/2+(1/2)^3+.....=2/3 [quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2012-5-5 01:04 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5393&ptid=1335][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我代 tsusy 老師回答
第1局甲贏的機率
甲(+),甲(-)乙(-)甲(+),...
1/2+(1/2)^3+.....=2/3 [/quote]
嗯~謝arend!
回復 33# natureling 的帖子
起初我也是犯了跟你一樣的錯誤，想說遞迴式沒寫錯吧。怎麼答案不一樣。原來是題目的意思解讀錯了。回復 24# weiye 的帖子
今天恰好和人討論了這份題目...重新又仔細思考之一下：關於填充 5發現， \( P_2 \) 的軌跡是圓，而 \( P_3 \) 的軌跡是心臟線
瑋岳老師的圖中，將 \( P_3 \) 沿著 \( \overline{OP_2} \) 折過去得 \( P_4 \)
則 \( P_4 \) 在 x 軸上，且 \( \overline{P_2P_4} \) 垂直 x 軸
[attach]1102[/attach]
\( \triangle P_1P_2P_3 \) 和 \( \triangle P_1P_2P_4\) 同底等高，面積相同
列下來，當然是和瑋岳老師一樣的式子，但圖形上就很清楚了，就只是 \( P_2 \) 和半圓上移動
其對 \( x \) 軸投影 \( P_4 \) 和 \( P_1 \) 所圍出的直角三角形面積
如果把 \( \overline{P_2P_4} \) 延長成 \( \overline{P_2P_5} \) 讓 \( P_5 \) 在圓上
這時 \( P_1P_2P_5 \) 面積是所求的兩倍，但其為圓內接三角形，閉著眼睛也能猜出正三角時最大了！
(其實畫了會動的 ggb 但是要怎麼放上來？要轉 html嗎？還是...)
(感謝橢圓兄，可以放圖了)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-17 08:38 AM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-16 09:51 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5587&ptid=1335][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
[/quote]
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就行了
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