101臺南二中
以下資料供以後考生參考：初試最低錄取分數 37分
取10名參加複試，錄取1名
49.48.46.46.42.42.38.38.38.37
其他，
30~35分 12人
20~29分 57人
10~19分 74人
0~9分 55人
缺考 3人
共計 211 人 3.
設\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 4 \cr 3 & 2} \Bigg]\; \)，且X、Y均為二階方陣，滿足\( X+Y=\Bigg[\; \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1}\Bigg]\; \)，\( XY=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0}\Bigg]\; \)，\( aX+bY=A \)，其中\( a>b \)，a、b為常數，則\( X^n= \)？
(91高雄女中指定科目模擬考(三)，RA531.pdf)
[解答]
(1)
\( \displaystyle \cases{aX+bY=A \cr X+Y=I} \)，得\( \displaystyle X=\frac{1}{a-b}(A-bI) \)，\( \displaystyle Y=\frac{1}{a-b}(aI-A) \)
又\( XY=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0}\Bigg]\; \)，得\( \displaystyle \frac{1}{(a-b)^2}(A-bI)(aI-A)=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \)
∵\( a-b>0 \) ∴\( (A-bI)(aI-A)=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \)，
\( \Bigg[\; \matrix{1-b & 4 \cr 3 & 2-b} \Bigg]\; \Bigg[\; \matrix{a-1 & -4 \cr -3 & a-2} \Bigg]\;=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \)
\( \Bigg[\; \matrix{a+b-13-ab & 4(a+b)-12 \cr 3(a+b)-9 & 2(a+b)-16-ab} \Bigg]\;=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \)
\( \cases{a+b-13-ab=0 \cr 4(a+b)-12=0} \)，得\( (a,b)=(5,-2) \)或\( (-2,5) \)(不合)
(2)
將\( (a,b)=(5,-2) \)代入\( \displaystyle X=\frac{1}{a-b}(A-bI)=\frac{1}{a-b}\Bigg[\; \matrix{1-b & 4 \cr 3 & 2-b} \Bigg]\;=\frac{1}{7}\Bigg[\; \matrix{3 & 4 \cr 3 & 4} \Bigg]\; \)
又\( X+Y=\Bigg[\; \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1} \Bigg]\; \)．兩邊同乘X，\( X^2+XY=X \)，得\( X^2=X \)，所以\( X^n=X=\Bigg[\; \matrix{\frac{3}{7} & \frac{4}{7} \cr \frac{3}{7} & \frac{4}{7}} \Bigg]\; \)
102.8.10補充文章
林倉億，從一題矩陣的試題談起
110.8.2補充
設\(A=\left[\matrix{1&-1\cr 2&4}\right]\)，且\(X\)，\(Y\)均為二階方陣，滿足\(X+Y=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)，\(XY=\left[\matrix{0&0\cr 0&0}\right]\)，若\(aX+bY=A\)，其中\(a>b\)，\(a,b\)為定值，試求
(1)數對\((a,b)=\)？
(2)\(X^{2021}-Y^{2021}=\)？
(110竹東高中，[url]https://math.pro/db/thread-3533-1-1.html[/url])
112.7.1補充
設\(A=\left[\matrix{2&4\cr 1&-1}\right]\)，二階方陣\(X\)、\(Y\)滿足\(X+Y=I\)且\(XY=O\)，其中\(I=\left[\matrix{1&0 \cr 0&1}\right]\)、\(O=\left[\matrix{0&0\cr 0&0}\right]\)。若存在實數\(a>b\)使得\(A=aX+bY\)，則\(a^b\)之值為[u] [/u]。
(112嘉義女中，[url]https://math.pro/db/thread-3767-1-1.html[/url])
6.
將\( (x-2y+3z-4u)^{40}-(x+2y-3z-4u)^{40} \)展開後並將同類項合併，則會有幾種不同類項？
將表示式\( (x+y+z)^{2006}+(x-y-z)^{2006} \)展開並合併同類項，試問化簡後共有多少項?
(A)6018 (B)671,676 (C)1,007,514 (D)1,008,016 (E)2,015,028
The expression \( (x+y+z)^{2006}+(x-y-z)^{2006} \)is simplified by expanding it and combining like terms. How many terms are in the simplified expression?
(A)6018 (B)671,676 (C)1,007,514 (D)1,008,016 (E)2,015,028
(2006AMC12，95和美高中，[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2006_AMC_12A_Problems/Problem_24[/url])
113.5.26補充
將表示式\((x+y+z)^{2024}+(x-y-z)^{2024}\)展開並合併同類項，試問化簡後共有多少項[u] [/u]。
(113高雄市高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3877-1-1.html[/url])
112.7.25補充
將\((a-2b+3c-4d)^{20}-(a+2b-3c-4d)^{20}\)展開後合併整理，最後會有[u] [/u]種不同類項。
(112東石高中，[url]https://math.pro/db/thread-3778-1-1.html[/url])
7.
\( [\; x ]\; \)表示不大於x的最大整數(高斯符號)，試求\( [\; (\sqrt{3}+1)^8 ]\;= \)？
若n是大於\( (\sqrt{5}+\sqrt{2})^6 \)的最小整數，試求n之值？
(100高師大附中代理，連結有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1286&page=1#pid4841[/url])
8.
\( x_i \)為整數且\( -1 \le x_i \le 2 \)，\( x_1+x_2+...+x_{2012}=19 \)，\( x_1^2+x_2^2+...+x_{2012}^2=219 \)，若\( x_1^3+x_2^3+...+x_{2012}^3 \)最大值為M，最小值為m，則數對\( (M,m) \)為何？
這裡還有相同類型的題目
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=980&page=1#pid2322]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=980&page=1#pid2322[/url]
計算證明題
2.
z為複數，試解方程式\( (z+1+10i)(z+1+11i)(z+1+13i)=-3570i \)
設方程式\( z(z+i)(z+3i)=2002i \)有一根為\( a+bi \)，其中a,b皆表正實數，試求a之值為？
(A)\( \sqrt{118} \) (B)\( \sqrt{210} \) (C)\( 2\sqrt{210} \) (D)\( \sqrt{2002} \) (E)\( 100\sqrt{2} \)
(2002AMC12)
3.
設△ABC為任意三角形，以\( \overline{AB} \)、\( \overline{BC} \)、\( \overline{CA} \)各為一邊向外作一正三角形，分別為△ABD、△BCE、△CAF。證明：△ABD、△BCE、△CAF的重心\( G_1 \)、\( G_2 \)、\( G_3 \)形成的三角形為正三角形。
拿破崙定理，書上看過但不會想到要準備這題 那些年我們一起考的教甄 XDD
同事考完有打電話問我
填充1我是用tan的和角公式，先轉成特殊角，150、30
然後就只剩 tan1 而已，化簡一下就可以得到
我另一位同事用偷吃步，因為三個角相差60度，
所以答案應該是固定的，所以他把題目的三個tan換成 tan120、tan60、tan0，
果然答案還是一樣 = =!!
這一題格式太特殊，我想應該還有別的漂亮解法(如根與係數、變換…等等)
計算證明題3
目標：三角形的三邊長相等
方法摘要：利用「餘弦定理」、「cos的和角公式」、「三角形的面積公式absinC/2」
就可以求出 \(\LARGE x^2=y^2=z^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{6}+\frac{2\sqrt{2}Area(ABC)}{3}\)
其中 x,y,z 表示要證的三角形G1G2G3的三邊長， a,b,c 表示三角形 ABC 的三邊長
細節我就不寫了，但其實過程會蠻漂亮
不過我想應該還有其它方法，再想過吧 ^^ 今年的考試難度好像都提高了，分數蠻驚人的。囧 計算2
求(z+1+10i)(z+1+11i)(z+1+13i)=-3570i 的解
因為3570=14*15*17
原式改為[(z+1-4i)+14i]*[(z+1-4i)+15i]*[(z+1-4i)+17i]=-3570i
令x=z+1-4i ,即求(x+14i)*(x+15i)*(x+17i)=-3570i的解
展開後得x^3+46i*x^2-703x-3570i= -3570i
x(x^2+46i*x-703)=0
x=0或x=-23i+174^0.5 或 -23i-174^0.5
還原z=-1+4i 或 -1-19i +174^0.5或 -1-19i -174^0.5 [quote]原帖由 [i]poemghost[/i] 於 2012-4-29 10:53 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5267&ptid=1335][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
那些年我們一起考的教甄 XDD
同事考完有打電話問我
填充1我是用tan的和角公式，先轉成特殊角，150、30
然後就只剩 tan1 而已，化簡一下就可以得到
我另一位同事用偷吃步，因為三個角相差60度，
所以答案應該是固定的，所以 ... [/quote]
計算3可以用複數做~ 第10題
10.
函數\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x)+f(\frac{x-1}{x})=\frac{1+x+x^2}{x}\)，試求\(\displaystyle \sum_{k=2}^{100}f(k)=\)？
[解答]
96政大附中第6題
(1)原式
(2)x用(x-1)/x代
(3)x用-1/(x-1)代
(三式相加)/2-(2)可得f(x)
填充九
第九題我提供一下我的想法整理過程有用到三倍角 & 和角公式
原諒我比較懶惰 直接上傳計算過程的圖檔
也許有其他作法 也歡迎提出來一起討論 請問有人能提供全部的答案嗎?雖然有一兩題題目"比較"簡單~但自己算完還是很不確定怕怕的>"< 請教計算第一題
我是設FD=x, EB=y , 用餘弦定理,或和角
一直做不出來
試了很多方法,就是差一步
謝謝 [quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2012-5-1 12:52 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5290&ptid=1335][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教計算第一題
我是設FD=x, EB=y , 用餘弦定理,或和角
一直做不出來
試了很多方法,就是差一步
謝謝 [/quote]
\(\displaystyle (5-x)^2+(5-y)^2=16 \)
\(\displaystyle 50-10(x+y)+(x^2+y^2)=16 \).............(1)
令\(\displaystyle \angle {DCF}=\alpha , \angle {BCE}=\beta \)
\(\displaystyle \tan \alpha =\frac{x}{5}, \tan \beta =\frac{y}{5} \)
\(\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\tan(90^o-\angle{ECF})=\cot \angle{ECF} \)
\(\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x}{5}+\frac{y}{5}}{\displaystyle 1-\frac{xy}{25}}=\frac{4}{3} \)
\(\displaystyle 15(x+y)=100-4xy \)...........(2)
再令\(\displaystyle P=x+y,Q=xy \)
(1) => \(\displaystyle 50-10P+P^2-2Q=16 \)
(2) => \(\displaystyle 15P=100-4Q \)
\(\displaystyle 50-10P+P^2-50+\frac{15}{2}P=16 \)
\(\displaystyle 2P^2-5P-32=0 \)
\(\displaystyle P=\frac{5+\sqrt{281}}{4} \)
所求為\(\displaystyle 25-\frac{1}{2}(5x+5y+25-5x-5y+xy)=\frac{1}{2}(25-Q)=\frac{15}{8}P=\frac{75+15\sqrt{281}}{32} \)
[[i] 本帖最後由 老王 於 2012-5-1 07:47 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2012-5-1 07:44 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5296&ptid=1335][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
\(\displaystyle (5-x)^2+(5-y)^2=16 \)
\(\displaystyle 50-10(x+y)+(x^2+y^2)=16 \).............(1)
令\(\displaystyle \angle {DCF}=\alpha , \angle {BCE}=\beta \)
\(\displaystyle \tan \alpha =\)... [/quote]
謝謝王老師
我是算到(2)就卡住了
再次感謝你 填充一
\(\displaystyle \tan(149^o-29^o)=\frac{\tan149^o-\tan29^o}{1+\tan149^o \tan29^o} \)
\(\displaystyle \tan149^o \tan29^o=-1-\frac{1}{\sqrt3}(\tan149^o-\tan29^o)=-1+\frac{1}{\sqrt3}(\tan29^o-\tan149^o) \)
同法可得
\(\displaystyle \tan89^o \tan149^o=-1+\frac{1}{\sqrt3}(\tan149^o-\tan89^o) \)
\(\displaystyle \tan89^o \tan29^o=-1+\frac{1}{\sqrt3}(\tan89^o-\tan29^o) \)
所以
\(\displaystyle \tan149^o \tan29^o+\tan89^o \tan149^o+\tan89^o \tan29^o=-3 \)
順便PO一下今天監考算的東西，有錯要說，我很容易算錯的。
2. 7
4. \(\displaystyle \frac{364}{729} \)
5. \(\displaystyle \frac{3\sqrt3}{32} \)
6. 6160
7. 3103
8. (253,19)
10. \(\displaystyle -\frac{99}{100} \)
話說計算第三題拿破崙三角形，那是我的幾何講義裡面，用來講極端化和特殊化的例子。 感恩您~ 想請問填充6有沒有比較簡單的想法呢?
還是都是要一個個討論呢?~
回復 14# justhgink 的帖子
[font='Times New Roman'][size=3][/size][/font]
[font='Times New Roman'][size=3][font='Times New Roman'][size=3]填充6[/size][/font]
懶,因此 省略所有項的係數
\( [(x-u)-(y-z)]^{40} - [(x-u)+(y-z)]^{40} \)
去掉中括號後[/size][/font][font='Times New Roman'][size=3]
[/size][/font]
[font='Times New Roman'][size=3]小括號外 偶次項對消 僅餘奇次項
\( =(x-u)^{39} (y-z)^1 + (x-u)^{37} (y-z)^3 + (x-u)^{35} (y-z)^5 + ... +(x-u)^1 (y-z)^{39} \)
項數
= 40*2 + 38*4 + 36*6 +... + 2*40
= \( \displaystyle \Large\sum_{k=1}^{20} \left[ (42-2k)(2k) \right] \)
=6160[/size][/font] [quote]原帖由 [i]cplee8tcfsh[/i] 於 2012-5-1 11:20 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5304&ptid=1335][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
[/quote]
又一位高手出現了
彬爸是"彬爸珍媽部落格"裏面的彬爸嗎?
Math pro的高手越來越多了喔~
回復 16# Ellipse 的帖子
是 彬爸但稱不上 高手
還請多指教
很惋惜 全教會 教甄論壇 走入歷史
很高興 發現這裡
感謝 瑋岳站長 [quote]原帖由 [i]cplee8tcfsh[/i] 於 2012-5-2 06:30 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5309&ptid=1335][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
是 彬爸
但稱不上 高手
還請多指教
很惋惜 全教會 教甄論壇 走入歷史
很高興 發現這裡
感謝 瑋岳站長 [/quote]
吉彬老師 ^^？ [quote]原帖由 [i]cplee8tcfsh[/i] 於 2012-5-2 06:30 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5309&ptid=1335][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
是 彬爸
但稱不上 高手
還請多指教
很惋惜 全教會 教甄論壇 走入歷史
很高興 發現這裡
感謝 瑋岳站長 [/quote]
彬爸您好,您太謙虛了
您到這網站來是大家的福氣
小弟也很懷念全教會的教甄論壇
不過那時候小弟的能力就只能當觀眾而已
回復 15# cplee8tcfsh 的帖子
我的作法跟彬爸一樣。我以為你知道這個地方~~