101 台中一中
As title101.4.29版主補充
以下資料供以後考生參考：
初試最低錄取分數 47分
取13名參加複試，錄取2名
61,61,55,55,52,52,51,51,49,48,48,47,47
其他，
40~46分 18人
30~39分 42人
20~29分 73人
10~19分 67人
0~9分 36人
共計 249 人
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-4-29 03:46 PM 編輯 [/i]] 1.
計算\( \displaystyle \sum_{k=1}^{20}k^4 \)之值。
[解答]
\( f(0)=0 \)，\( f(1)=1 \)，\( f(2)=1^4+2^4=17 \)，\( f(3)=1^4+2^4+3^4=98 \)，\( f(4)=1^4+2^4+3^4+4^4=354 \)
\( f(5)=1^4+2^4+3^4+4^4+5^4=979 \)，\( f(6)=1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+6^4=2275 \)
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr
0 & & 1 & & 17 & & 98 & & 354 & & 979 & & 2275 \cr
& 1 & & 16 & & 81 & & 256 & & 625 & & 1296 & \cr
& & 15 & & 65 & & 175 & & 369 & & 671 & & \cr
& & & 50 & & 110 & & 194 & & 302 & \cr
& & & & 60 & & 84 & & 108 & & \cr
& & & & & 24 & & 24 & & & } \)
\( f(n)=0 \times C_0^n+1 \times C_1^n+15 \times C_2^n+50 \times C_3^n+60 \times C_4^n+24 \times C_5^n \)
5.
設\( x,y,z \in R \)，且\( x+y+z=2 \)，\( x^2-yz=4 \)，求\( xy+3yz+zx \)的最大值。
已知x、y、z為實數，且\( x+y+z=2 \)，\( 2x^2-yz=4 \)，若\( xy+yz+zx \)之最大值為M，最小值為m，求數對\( (M,m)= \)？
(100建國中學二招)
6.
△ABC，\( ∠C=90^o \)，\( \overline{AB} \)邊上的三等分點D,E，且\( \overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB} \)，已知\( \overline{CD}=3 \)，\( \overline{CE}=4 \)，求\( \overline{AC} \)。
直角△ABC中，\( ∠C=90^o \)，\( \overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB} \)。已知\( \overline{CD}=7 \)，\( \overline{CE}=9 \)，則\( \overline{DE}= \)？
(高中數學101 P129)
△ABE中，\( ∠BAE=90^o \)，C、D為邊\( \overline{BE} \)上的三等分點，令\( \overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}=a \)，\( \overline{AC}=7 \)，\( \overline{AD}=9 \)，求a？
(99育成高中，[url=https://math.pro/db/redirect.php?tid=1094]https://math.pro/db/redirect.php?tid=1094[/url])
三角形ABC中，\( ∠C=90^o \)，D、E為\( \overline{AB} \)之三等分點，且\( \overline{CD}=sinX \)，\( \overline{CE}=cosX \)，\( 0^o<X<90^o \)，\( \overline{AB}= \)？
(97全國高中聯招)
7.
△ABC，若\( \vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}=\vec{0} \)，且\( \overline{PA}=3 \)，\( \overline{PB}=4 \)，\( \overline{PC}=5 \)，求△ABC的面積。
已知三角形三中線分別為10，12，14，則此三角形的面積為多少？
(A)\( 32 \sqrt{6} \) (B)\( 30 \sqrt{5} \) (C)\( 36 \sqrt{3} \) (D)\( 40 \sqrt{2} \)
(99南台灣國中聯招)
已知△ABC的三條中線長為7,8,9，則△ABC的面積？
(100高師大附中，[url=https://math.pro/db/thread-1286-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1286-1-1.html[/url])
10.
在圓上任取12個點，兩兩相連所得的直線，最多將此圓內區域分割成為幾個區域。
11.
設數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)滿足\( a_1=2 \)且\( \displaystyle a_n=\frac{2a_{n-1}+1}{a_{n-1}+2} \)，\( \forall n \ge 2 \)，求一般項\( a_n \)(以n表示)。
這類題目還不會算嗎？趕快去數學傳播找那篇文章來看吧
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434[/url]
12.
若\( \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2} \)，當\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{sinx}}+\frac{2}{\sqrt{cosx}} \)有最小值時，求此時\( log_2(tanx) \)值。
若\( \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{sinx}}+\frac{32}{\sqrt{cosx}} \)的最小值？
(96台南女中，[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=24076]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=24076[/url])
(我的教甄準備之路－廣義的科西不等式，[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075[/url])
13.
魯夫航行於A、B、C、D、E五座島嶼之間。每日清晨魯夫隨機前往任一其他島嶼並留宿該島的機率均為0.25。若第一天清晨魯夫從A島出發，設第n天晚上魯夫留宿於A島的機率為\( P_n \)。求滿足\( \displaystyle \Bigg\vert\; P_n-\frac{1}{5} \Bigg\vert\; \le 10^{-9} \)之最小n值。
一隻青蛙在ABCDE五點上跳動，每次落點異於跳點，假設從A出發，跳n次後仍回到A之跳法有\( a_n \)種，若\( a_n=k a_{n-1}+m a_{n-2} \) \( (n \ge 3) \)，k,m為常數，求數對\( (k,m)= \)？
(99台中一中，[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=929&page=2#pid2318]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=929&page=2#pid2318[/url])
14.
將n顆球，全部投入5個箱中，每球投入每箱的機率均為0.2，若已知空箱期望值小於0.1，求n最小值。
[url=https://math.pro/db/thread-690-1-1.html]https://math.pro/db/thread-690-1-1.html[/url]
15.
正整數a,b,c滿足\( a \cdot b \cdot c=420 \)，考慮集合\( S=\{\;a,b,c \}\; \)，問集合S的所有可能有幾種。
感謝thepiano提供解答
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2786]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2786[/url]
設a,b,c為相異正整數,則滿足\( abc=2310 \)之集合S={a,b,c}有幾個？
For how many three-element sets of positive integers {a,b,c} is it true that abc=2310?
(A)32 (B)36 (C)40 (D)43 (E)45
(1995AMC12，高中數學101 P4，95台中家商，97家齊女中，113大直高中)
求\( xyz=360 \)有幾組整數解？
(99文華高中，[url=https://math.pro/db/thread-924-1-5.html]https://math.pro/db/thread-924-1-5.html[/url])
18.
考慮正整數n的所有正整數分割，將其分割乘積的最大值定義為\( f(n) \)，
[例：\( 1+1+1+1=2+1+1=3+1=2+2=4 \)，
( \( 1 \times 1 \times 1 \times 1 \) )<( \( 2 \times 1 \times 1 \) )<( \( 3 \times 1 \) )<( \( 2 \times 2 \) )=(4)，
得\( f(4)=4 \)]。問\( f(2012) \)(以十進位表示)是幾位數。
將2008分解成一些正整數之和，使得這些正整數之乘積有最大值，求這最大值，並加以證明。
(97高中數學能力競賽台南區筆試一，[url=https://math.pro/db/thread-919-1-1.html]https://math.pro/db/thread-919-1-1.html[/url])
20.
實係數多項式\( f(x) \)，若\( deg f(x)=2010 \)，且\( \displaystyle f(k)=\frac{2k+1}{k} \)，\( \forall k=1,2,3,...,2011 \)，求\( \displaystyle \sum_{k=0}^{2011}\{\; C_k^{2012}\cdot (-1)^k \cdot f(k+1) \}\; \)值。
更多相同類型的題目
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108[/url]
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-30 10:26 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]t3712[/i] 於 2012-4-29 08:51 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5242&ptid=1334][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
As title
1016 [/quote]
#20
答案應該是 -2吧
我還有用數學軟體驗算過
還有不明白題目為什麼要加deg f(x)=2010這條件?
回復 3# Ellipse 的帖子
20 題用巴貝琪定理，所求即為 \( f(2013) \) (有沒有差負，和它不熟)
給 2011 個值， deg 2010 ，恰好能唯一決定，該多項式，否則就不唯一唯了
橢圓兄是否題目看錯了什麼，Sigma 中有一項有 \( f(2012) \) 是題目沒給的
應該無法直接用軟體驗算 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-4-29 10:06 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5249&ptid=1334][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
20 題
用巴貝琪定理，所求即為 \( f(2013) \) (有沒有差負，和它不熟)
給 2011 個值， deg 2010 ，恰好能唯一決定，該多項式，否則就不唯一唯了
橢圓兄是否題目看錯了什麼，Sigma 中有一項有 \( f(2012) \) 是題目沒給的
應該 ... [/quote]
對喔! 剛剛有看到了
f(2012)沒有給
感謝您~
回復 5# Ellipse 的帖子
補上計算...\( xf(x)=2x+1\Rightarrow g(x)=xf(x)-(2x+1)=c\prod_{k=1}^{\infty}(x-k)\Rightarrow f(x)=\frac{c\prod_{k=1}^{2011}(x-k)+1}{x}+2 \), for \( x\neq 0\)
又 f 在 0 連續，所以 \( c=\frac{1}{2011!} \)
由差分，或巴貝琪定理，所求即 \( -f(2013)=-\frac{\frac{1}{2011!}2012!+1}{2013}-2=-1-2=-3 \)
有計算錯誤的話，麻煩指正一下
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-4-29 10:21 AM 編輯 [/i]] #16
假設在一個圓內以圓心O向外(輻射狀)做出n個扇形(不重疊,且將圓分割完),
題目的p(n)相當於用6種不同顏色塗上述n個區域,相鄰區域塗不同顏色的機率
p(n)= [(6-1)^n +(-1)^n*(6-1)]/6^n = [5^n +5*(-1)^n*]/6^n
6*p(n+1)=[5^(n+1) +5*(-1)^(n+1)]/6^n
所求=p(n)+6*p(n+1)
=6*5^n / 6^n
=5^n/6^(n-1)
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2012-4-29 12:33 PM 編輯 [/i]] #18
假設a1+a2+.......+an=2012
可以證明ai(i=1,2,.....n)用2或3乘積最大(用其它正整數,乘積不會有最大值)
又2+2+2=3+3
但是2*2*2<3*3
用三個2與兩個3其和不變,但用兩個3乘積變大
所以2的數量不會超過兩個
又2012/3=670......2
因此將2012寫成3+3+..............+3+2 (3有670個)
則A=2*3^670乘積最大
LogA=Log2 +670*Log3=319........
所以A為319+1=320位數
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2012-4-29 12:49 PM 編輯 [/i]] 1~21解法(缺17,19)
[[i] 本帖最後由 shiauy 於 2012-5-5 09:54 PM 編輯 [/i]] 計算題我只會四種課本兩種，
第一，用兩個參數，然後分別與兩線方向內積為0，聯立求解。
第二，找一個包含L1且與L2平行的平面，然後變成求點到平面距離。
啊!!不是徐氏，是陸思明教的
第三種，在L1和L2上各取一點A和B，外積求兩直線公垂向量，距離即是AB向量在公垂方向的正射影長。
第四種，只設一個參數，然後計算到另一條直線的距離，找最小值。
有人可以教教還有其他方法嗎??
難道要用雙變數微積分??
[[i] 本帖最後由 老王 於 2012-4-29 10:28 PM 編輯 [/i]]
回復 10# 老王 的帖子
在L1和L2上各取一點A和B，設 L1與L2的方向向量為V1與V2，求 V1、V2、AB向量所圍平行六面體體積～再除以V1、V2所圍平行四邊形面積。
（雖然其實列出來的結果，跟老王老師的第三種方法是一樣的～ＸＤＤ） [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2012-4-29 07:53 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5258&ptid=1334][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算題我只會四種課本兩種，
第一，用兩個參數，然後分別與兩線方向內積為0，聯立求解。
第二，找一個包含L1且與L2平行的平面，然後變成求點到平面距離。
啊!!不是徐氏，是陸思明教的
第三種，在L1和L2上各取一點A和B，外積求兩直線公 ... [/quote]
宜蘭高中的李維昌老師,有篇文章是利用"向量的三重積分"來做
但那篇文章我還沒看過~
回復 9# shiauy 的帖子
來補一下 17.19 題17題 考慮一個籌碼的期望值為 \( x \)
則 \( x=\frac{1}{6}(100+x)+\frac{1}{36}(240+2x) \)
解得 \( x =30 \)
所以十個籌碼就是 \( 30 \times 10 = 300 \)
19 題
將未兩位是四的倍數分組，
除以 3 餘 0 的有 0,12,24,36,60 共 5 個；
餘 1 的有 4,16,40,52,64 共 5 個；
餘 2 的 20,32,44,56 共 4 個。
而前三位除以 3 之餘數：可考慮生成函數 \( (2+2x+2x^{2})(3+2x+2x^{2})^{2}=18+42x+74x^{2}+72x^{3}+56x^{4}+24x^{5}+8x^{6} \)。
0, 3, 6 次的係數和為 98，1, 4 次的係數和為 98，2, 5 次的係數和為 98。
所以，所求為 \( 5\times98+5\times98+4\times98=14\times98=1372 \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-3 10:46 PM 編輯 [/i]]
回復 9# shiauy 的帖子
請教第15題我前面的作法和您一樣 \( \big(H^{3}_2(H^{3}_1)^3 - 6\big)/3! = 26 \)
但是不太懂為什麼要再+2, 有什麼情況被多扣掉了嗎？
回復 14# Pacers31 的帖子
-6是扣掉(420,1,1)(1,420,1)(1,1,420)(105,2,2)(2,105,2)(2,2,105)但是最後你要加回來這兩種情況啊
回復 15# shiauy 的帖子
謝謝您的回答也就是說 S={a,b,c} 的所有可能當中，是可以包括 {1,1,420} 和 {2,2,105} 嗎？
就集合論學的來說，{1,1,420} 這種寫法是沒有不允許沒錯，但這個集合其實就是 {1,420}吧
我以為一般寫出S={a,b,c} 就應該表示 a, b, c 完全相異
#13
知道試考古題，題意的部分~我一直誤解成"前往任一島"&"留宿在該島"的機率"均"為1/4我以為~去到這個島晚上可以住在其他島~>"<
回復 9# shiauy 的帖子
請教shiauy老師，台中一中，第十八題，要如何說明或證明，當為2,3作分割的時後，乘積最大值，網站上有老師提供的pdf檔案，有提到證明，但看不懂，為何n要分成奇數與偶數，為何那樣令n={n/2}+{n/2}......回復 18# shingjay176 的帖子
先證明分割乘積要最大，則分割中不能有1再來證明比4大的數都可以再做分割使其乘積更大
所以只能分割成2與3這兩種
2最多只能有兩個
回復 19# shiauy 的帖子
謝謝，我在依照這樣方式討論看看頁:
[1]
2