回復 79# nanpolend 的帖子
填充 7將一列\(n\)(\(n\ge 2\))的小方格中最左邊的黑棋向右移動，每次移動1或2格，直至最右邊的小方格為止。假設由最左移至最右有\(a_n\)種移動方法，每種移動方法的機會均等，「移動次數」的期望值為\(E_n\)，求數對\((a_7,E_7)\)為[u] [/u]。
●○○○○○○
[解答]
\( a_n \) 滿足遞迴式 \( a_n+2 =a_{n+1} + a_n \)
而 \( E_n \) 也可以遞迴 \( E_{n+2} = \left( a_{n+1}E_{n+1} + a_n E_n \right) / a_{n+2} +1 \)
可改寫為 \( a_{n+2} E_{n+2} = a_{n+1}E_{n+1} + a_n E_n + a_{n+2} \)
\( \{a_n\} = \{1,1,2,3,5,8,13 \} \), \( a_n E_n = \{ 0,1,3,7,15,30,58 \} \)
而 \(\displaystyle \{E_n\} = \{ 0,1,\frac32, \frac73, \frac{15}5, \frac{30}{8}, \frac{58}{13} \} \)
回復 80# nanpolend 的帖子
令 \( \angle B \) 的分角線為 L, A 對 L 的對稱點為 \( A' \), \( \overline{AA'} \) 和 L 的交點為 H不難發現 \( \triangle ABH \simeq \triangle A'BH \) 或是 \( \triangle ABA' \) 是等腰三角形
故 \( \angle ABH =\angle A'BH \) 因此 \( A' \) 必在射線 BC 上
回復 15# weiye 的帖子
找想算出通項,可是卻萛不出\( (k-1)(-1)^n+(k-1)^n \),可否麻煩老師幫我看看那裏算錯了.謝謝‧\( a_n+a_{n-1}=k(k-1)^{n-1} \)
\( \displaystyle \frac{a_n}{k}=-\frac{a_{n-1}}{k}+(k-1)^{n-1} \)
令\(\displaystyle b_n=\frac{a_n}{k}\)，則\(b_n=-b_{n-1}+(k-1)^{n-1}\)
\( \displaystyle b_n+\frac{1}{-k}(k-1)^n=-[b_{n-1}+\frac{1}{-k}(k-1)^{n-1}] \)
\( \displaystyle b_n+\frac{1}{-k}(k-1)^n=[b_1+\frac{1}{-k}(k-1)](-1)^{n-1} \)，而\( b_n=1 \)
\( \displaystyle b_n=\frac{1}{k}(k-1)^n+[1+\frac{1}{-k}(k-1)](-1)^{n-1}=\frac{1}{k}(k-1)^n+\frac{1}{k}(-1)^{n-1}=\frac{1}{k}[(k-1)^n+(-1)^{n-1}] \)
\(a_n=kb_n=(k-1)^n+(-1)^{n-1}\)
回復 83# martinofncku 的帖子
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=499&page=1#pid658[/url]注意 weiye 老師所回[color=Red]紅字[/color]，也就是 \( a_1 + a_2 \) 該式並不成立
因此往回推不能推到底，如果沒有其它錯誤的話
應修正成回推至 \( b_2 \) 或 \( a_2 \) 也就是 \( n=3 \), \( a_3+a_2 = k(k-1)^2 \)
再算出 \( a_2 = k(k-1) \) ，以之代入
即以下
\( \displaystyle b_{n}-\frac{1}{k}(k-1)^{n}=\left[b_{2}-\frac{(k-1)^{2}}{k}\right]\cdot(-1)^{n-2} \)
\( \displaystyle b_{n}=\frac{1}{k}(k-1)^{n}+\left[\frac{k(k-1)}{k}-\frac{(k-1)^{2}}{k}\right](-1)^{n-2} \)
\( a_{n}=(k-1)^{n}+(-1)^{n}\cdot(k-1) \) 第14題
空間中，四面體\(A-BCD\)，\(\overline{AB}=\overline{CD}=6\)，\(\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5\)，\(\overline{BD}=7\)，求四面體\(A-BCD\)的體積為[u] [/u]。
[解答]
請賜教
[url=https://www.dropbox.com/s/2bdds01n5jolmui/%E6%96%87%E8%8F%AF14%E9%A1%8C.jpg?m]https://www.dropbox.com/s/2bdds01n5jolmui/%E6%96%87%E8%8F%AF14%E9%A1%8C.jpg?m[/url]
回復 85# sstranger 的帖子
第 14 題空間中，四面體\(A-BCD\)，\(\overline{AB}=\overline{CD}=6\)，\(\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5\)，\(\overline{BD}=7\)，求四面體\(A-BCD\)的體積為[u] [/u]。
[解答]
另解，僅供參考。
[attach]1579[/attach]
回復 75# weiye 的帖子
為何最後一行要除以 2 而不用 3除以3的商數1 就好了 除以2有何目的感覺上不是如果最後一行是 7除以3=2....1 最後 a2就是2了嗎?
回復 87# YAG 的帖子
題目有要求 \(0\leq a_2<2\) （\(0\leq a_i<i\)），所以 \(a_2\) 不可能是 \(3\)，只有可能是 \(0\) 或 \(1\)。
不過如你所說，解讀成上一行的「除以3的商數1」也可以啦。
回復 86# weiye 的帖子
比我的簡單多了，感謝:) [quote]原帖由 [i]YAG[/i] 於 2013-4-12 06:19 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7715&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]為何最後一行要除以 2 而不用 3除以3的商數1 就好了 除以2有何目的
感覺上不是如果最後一行是 7除以3=2....1 最後 a2就是2了嗎? [/quote]
因為題目出的是真分數，所以 \(a_2\) 真的就 用倒數第二行除以3的商數1 就可以了~
[color=Red]如果把題目改為假分數[/color]，那除以 2 就有目的了。
例如：\(\displaystyle\frac{30}{7} = a_1+\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}\)
其中 \(a_1\in\mathbb{N}\) 且 \(0\leq a_i<i,\) for \(i=2,3,4,5,6,7\)
則解答： \(\displaystyle\frac{30}{7}=\frac{30\times6!}{7!}=\frac{21600}{7!}\)
\(\displaystyle=\frac{7\times3085+5}{7!}\)
\(\displaystyle=\frac{3085}{6!}+\frac{5}{7!}\)
\(\displaystyle=\frac{6\times514+1}{6!}+\frac{5}{7!}\)
\(\displaystyle=\frac{514}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)
\(\displaystyle=\frac{5\times102+2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)
\(\displaystyle=\frac{102}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)
\(\displaystyle=\frac{4\times25+2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)
\(\displaystyle=\frac{25}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)
\(\displaystyle=\frac{3\times 8+1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)
\(\displaystyle=\frac{8}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)
\(\displaystyle\frac{2\times4+0}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)
\(\displaystyle=4+\frac{0}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{2}{4!}+\frac{2}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{5}{7!}\)
所以 \(a_1=4, a_2=0, a_3=1, a_4=2, a_5=2, a_6=1, a_7=5\) [quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2012-5-4 07:46 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5380&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
6.
一個實係數三次多項式函數通過(1012012) 、(992008) 、(1022005) 、(1032016) 四點，求此函數的切線中，斜率最小的切線所在的直線方程式為？
[解法]
可以用這篇所提到的牛頓差值多項式來解題
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274[/url]
將這四點向左平移99，向下平移2008
f(0) 0 y f(1) y 4−2y 4−y −15+3y f(2) 4 y−11 −7 29−y f(3) −3 18 11 f(4) 8
三次多項式在三階差分時會相等
−15+3y=29−y，y=11
f(n)=0C0n+11C1n−18C2n+18C3n=3n3−18n2+26n
f(x)=3x3−18x2+26x
f(x)=9x2−36x+26=9(x−2)2−10
過點(24) 有最小斜率-10
平移回去
過點(1012012) 有最小斜率-10
切線方程式為y−2012=−10(x−101)，10x+y=3022 ... [/quote]
在這個討論區常常看到這樣的解法
不知是有甚麼原理，麻煩老師可以解惑
102.10.28版主補充
推薦各位可以去找這本書來看
華羅庚，與中學生談中國數學史上的幾大成就
從第17頁開始介紹了什麼是差分多項式，若f(x)是m次多項式，則第m階差分為常數的原因，以及如何從差分的結果重新將f(x)表示出來。 [quote]原帖由 [i]shiauy[/i] 於 2012-5-8 01:01 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5443&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
對於aabc，在第一個Σ會出現4!/2!=12次，故扣掉12次
對於aabb，在第一個Σ只會出現4!/(2!2!)=6次
不過在第二個Σ裡扣掉了12次，正確應只需要扣6次，故加回來6次
對於aaab，在第一個Σ只會出現4!/3!=4次
不過在第二個Σ裡扣掉了 ... [/quote]
對於aabb
第二個應該扣了12*2=24次 (a^2*b*b , b^2*a*a)
所以第三個應該+18
對於aaab
但在第二個應該扣了12*2=24次 (a^2*a*b , a^2*b*a)
第四個應該+20
那最後一個就要扣27次
-12+18+20=26 26+1=27
這是在下的想法，不知道是不是有想太多>"< [quote]原帖由 [i]simon112266[/i] 於 2013-4-20 11:53 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7815&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
對於aabb
第二個應該扣了12*2=24次 (a^2*b*b , b^2*a*a)
所以第三個應該+18
對於aaab
但在第二個應該扣了12*2=24次 (a^2*a*b , a^2*b*a)
第四個應該+20
那最後一個就要扣27次
-12+18+20=26 26+1=27
這是在 ... [/quote]
在扣掉aabc的情形也才扣4!/2 = 12次
怎麼會有24次扣？ [quote]原帖由 [i]shiauy[/i] 於 2013-4-20 09:15 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7827&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
在扣掉aabc的情形也才扣4!/2 = 12次
怎麼會有24次扣？ [/quote]
是我誤會了~"~
回復 65# 老王 的帖子
空間中，四面體\(A-BCD\)，\(\overline{AB}=\overline{CD}=6\)，\(\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5\)，\(\overline{BD}=7\)，求四面體\(A-BCD\)的體積為[u] [/u]。[解答]
我發現用內積也滿好算的!
令 A(0,0,0), B(6,0,0), C(3,4,0), D(x,y,z)
則有 \(\displaystyle x^2+y^2+z^2=25 ...(1)\)
\(\displaystyle 18=\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}=(-x,-y,-z)\cdot(3-x,4-y,-z)\)
\(\displaystyle 19=\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=(-x,-y,-z)\cdot(6-x,-y,-z)\)
\(\displaystyle x(x-3)+y(y-4)+z^2=18...(2)\)
\(\displaystyle x(x-6)+y^2+z^2=19...(3)\)
(1) 代入(3) 可得 \(\displaystyle x(x-6)+25-x^2=19\), 解出 \(\displaystyle x=1\) 代回
可得 \(\displaystyle y^2+z^2=24\) 與 \(\displaystyle y(y-4)+z^2=20\), 再解出 \(\displaystyle y=1\)
於是 \(\displaystyle z=\pm \sqrt{23}\)
可取 \(\displaystyle \overrightarrow{AD}=(1,1,\sqrt{23})\)
所以四面體 A-BCD 體積為 \(\displaystyle \frac{1}{6}|\left |
\begin {array} {clr}
1 & 1 & \sqrt{23} \\
6 & 0 & 0 \\
3 & 4 & 0 \\
\end {array} \right | |=4\sqrt{23}
\)
回復 11# arend 的帖子
計算第二題：(模仿100鳳山高中的類題的解法來寫如下~)第 12 題：
已知 \(a_n, f(0)=a_0, f(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\) 皆為奇數，
假設 \(f(x)=0\) 有有理根 \(\displaystyle \frac{q}{p}\)，其中 \(p,q\) 為互質的兩個非零整數，
\(\displaystyle f(\frac{q}{p})=0\Rightarrow a_n\left(\frac{q}{p}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{q}{p}\right)^{n-1}+\cdots+a_1\left(\frac{q}{p}\right)+a_0=0\)
\(\Rightarrow a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0\)
case i: 若 \(p\) 為偶數，則因為 \(p,q\) 互質，所以 \(q\) 為奇數，
\(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n \equiv a_n q^n \equiv a_n\cdot 1^n \equiv a_n \pmod2\)
且因為 \(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0\)
\(\Rightarrow a_n\equiv0\pmod2\) 此與 \(a_n\) 為奇數互相矛盾。
case ii: 若 \(q\) 為偶數，則因為 \(p,q\) 互質，所以 \(p\) 為奇數，
\(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n \equiv a_0 p^n \equiv a_0\cdot 1^n \equiv a_0 \pmod2\)
且因為 \(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0\)
\(\Rightarrow a_0\equiv0\pmod2\) 此與 \(a_1\) 為奇數互相矛盾。
case iii: 若 \(p,q\) 皆為奇數，則
\(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n \equiv a_n\cdot1^n+a_{n-1}\cdot1^n+\cdots+a_0\cdot1^n\equiv a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\pmod2\)
且因為 \(a_n q^n+a_{n-1}q^{n-1} p +\cdots+a_1 q p^{n-1}+a_0 p^n=0\)
\(\Rightarrow a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\equiv0\pmod2\) 此與 \(a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\) 為奇數互相矛盾。
case iv: 若 \(p,q\) 皆為偶數，此與 \(p,q\) 互質相矛盾。
故，\(f(x)=0\) 無有理根。
回復 15# weiye 的帖子
請問第16題，用五種顏色塗，A、B、C、D、E區域分別是指哪裡？感謝。回復 97# mathca 的帖子
因為相鄰顏色不可相同所以A必須與B C D E F G不同
A有5種選法
故 B C D E F G 環排上色只能用4色 （計算法可以從連結中了解）
H 不可與 G B 同色 故有 5-2=3種
J 與 I 和H 一樣有3種選擇
回復 85# sstranger 的帖子
#85 [url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&extra=&highlight=101%2B%E6%96%87%E8%8F%AF&page=9###[/url]第十四題參考解答中，為甚麼不能跟
台中一中 第4題 #6 一樣：
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=929&extra=&highlight=99%2B%E5%8F%B0%E4%B8%AD&page=1[/url]
奧數教程高二卷第9講.gif
用同樣方法？
四面體A-BCD：a^2+b^2=36 ， b^2+c^2=25 ， c^2+a^2=49 ...文華第14題這題無法這樣算...請問為甚麼？