回復 59# mandy 的帖子
試了一下最常見的錯誤類型，果然是126050，我得說問題出在你不會"降階"!!四階以上行列式的計算可不是像三階一樣!!!!!!!!
這也不能怪你，因為現行高中教材只談二三階，如果老師沒補充，學生就沒學到。
請網路搜尋"行列式降階"，應該可以找到有關四階以上的行列式的計算方式；
或者是翻一下你的線性代數課本，應該也有。 [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2012-5-5 09:14 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5401&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
試了一下最常見的錯誤類型，果然是126050，我得說問題出在你不會"降階"!!
四階以上行列式的計算可不是像三階一樣!!!!!!!!
這也不能怪你，因為現行高中教材只談二三階，如果老師沒補充，學生就沒學到。
請網路搜尋"行列式降階"， ... [/quote]
謝謝老師!! 我想起來了, 以前高中時, 的確學過, 是太久沒算了, 謝謝老師 !!
我認為如果是用公式五階的行列式計算四面體的體積, 不見得快, 因為降階從五階降到四階, 再從四階降到三階, 計算就很大,
老師認為呢 ? 填充題略解
14題與其記那個行列式
不如歸去 [quote]原帖由 [i]mandy[/i] 於 2012-5-5 12:38 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5409&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
謝謝老師!! 我想起來了, 以前高中時, 的確學過, 是太久沒算了, 謝謝老師 !!
我認為如果是用公式五階的行列式計算四面體的體積, 不見得快, 因為降階從五階降到四階, 再從四階降到三階, 計算就很大,
老師認為呢 ? ... [/quote]用#40 彬爸文中的符號
\(\displaystyle BC=a,CA=b,AB=c,DA=\alpha,DB=\beta,DC=\gamma \)
\(\displaystyle 288V^2=\left |
\begin {array} {ccccc}
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & c^2 & b^2 & \alpha^2 \\
1 & c^2 & 0 & a^2 & \beta^2 \\
1 & b^2 & a^2 & 0 & \gamma^2 \\
1 & \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 & 0 \\
\end {array} \right |
\)
\(\displaystyle =\left |
\begin {array} {ccccc}
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -\alpha^2 & c^2-\beta^2 & b^2-\gamma^2 & \alpha^2 \\
0 & c^2-\alpha^2 & -\beta^2 & a^2-\gamma^2 & \beta^2 \\
0 & b^2-\alpha^2 & a^2-\beta^2 & -\gamma^2 & \gamma^2 \\
1 & \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 & 0 \\
\end {array} \right |
\)
\(\displaystyle =\left |
\begin {array} {cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
-\alpha^2 & c^2-\beta^2 & b^2-\gamma^2 & \alpha^2 \\
c^2-\alpha^2 & -\beta^2 & a^2-\gamma^2 & \beta^2 \\
b^2-\alpha^2 & a^2-\beta^2 & -\gamma^2 & \gamma^2 \\
\end {array} \right |
\)
\(\displaystyle =\left |
\begin {array} {cccc}
0 & 0 & 0 & 1 \\
-2\alpha^2 & c^2-\beta^2-\alpha^2 & b^2-\gamma^2-\alpha^2 & \alpha^2 \\
c^2-\alpha^2-\beta^2 & -2\beta^2 & a^2-\gamma^2-\beta^2 & \beta^2 \\
b^2-\alpha^2-\gamma^2 & a^2-\beta^2-\gamma^2 & -2\gamma^2 & \gamma^2 \\
\end {array} \right |
\)
\(\displaystyle =-\left |
\begin {array} {ccc}
-2\alpha^2 & c^2-\beta^2-\alpha^2 & b^2-\gamma^2-\alpha^2 \\
c^2-\alpha^2-\beta^2 & -2\beta^2 & a^2-\gamma^2-\beta^2 \\
b^2-\alpha^2-\gamma^2 & a^2-\beta^2-\gamma^2 & -2\gamma^2 \\
\end {array} \right |
\)
\(\displaystyle =\left |
\begin {array} {ccc}
2\alpha^2 & \alpha^2+\beta^2-c^2 & \alpha^2+\gamma^2-b^2 \\
\alpha^2+\beta^2-c^2 & 2\beta^2 & \beta^2+\gamma^2-a^2 \\
\alpha^2+\gamma^2-b^2 & \beta^2+\gamma^2-a^2 & 2\gamma^2 \\
\end {array} \right |
\)
這就得到 彬爸 所PO的公式。
至於你說的計算難度問題，的確，五階比三階難算得多，
實際運用時，就憑你的記憶和計算能力吧。(感謝寸絲老師~~) 填充14.
空間中，四面體\(A-BCD\)，\(\overline{AB}=\overline{CD}=6\)，\(\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5\)，\(\overline{BD}=7\)，求四面體\(A-BCD\)的體積為[u] [/u]。
[解答]
"[color=#ff0000]不如歸去[/color]"啊~~~~真的，當我看到"科科科"的題目時，也是作如此想。
把四面體展開，反正就是畢氏定理。
如圖，以ABC為底面，將DAB、DAC、DBC打開到同一個平面，
過\( D_1 \)作 \( AB \)的垂線，垂足為E；
過\( D_2 \)作 \( AC \)的垂線，垂足為F，並與 \( AB \)交於G，與 \( D_1E \)交於H，
那麼H就是原來D點在平面ABC上的投影點。
簡單計算可以得到
\(\displaystyle D_1E=2\sqrt{24},AE=1,AF=\frac{7}{5} \)
那麼\(\displaystyle AG=AF \times \frac{5}{3}=\frac{7}{3} \)
\(\displaystyle EG=AG-AE=\frac{4}{3} \)
\(\displaystyle EH=EG \times \frac{3}{4}=1 \)
\(\displaystyle DH^2=D_1E^2-EH^2=23 \)
所以\(\displaystyle (ABCD)=\frac{1}{3} \times 12 \times \sqrt{23} =4\sqrt{23} \)
回復 65# 老王 的帖子
精采，把它攤了真是太酷了感謝彬爸和老王兩位老師的公式和精采解題
[color=#FF0000]不如歸去[/color]啊，小弟在考場也是一般想法，不如直接放棄這題
原本一直在想，有一兩個等腰的面、有兩個全等的面，有沒有可能翻翻轉轉
透過五鬼挪移大法，有沒有可能拼出一個漂亮的圖形
不過看了這解法，小弟應該不用繼續搬了，哈~~ 感謝各位老師精彩的解法，在下獲益良多。
小弟我坐在試場裡面的時候，看到14.15就送它了...
然後12題計算的很開心，想說9題也來"計算"一下
算的更開心，公佈題目答案後，發現居然無解...冏rz [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-6 08:55 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5432&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
精采，把它攤了真是太酷了
[/quote]
精采 酷 +1
回復 63# shiauy 的帖子
請問a_6(任四積的和要如何討論) 對於aabc，在第一個Σ會出現4!/2!=12次，故扣掉12次對於aabb，在第一個Σ只會出現4!/(2!2!)=6次
不過在第二個Σ裡扣掉了12*2次(a^2*b*b與b^2*a*a)，正確應只需要扣6次，故加回來18次，但a^2*b^2與b^2*a^2一樣，故加9次
對於aaab，在第一個Σ只會出現4!/3!=4次
不過在第二個Σ裡扣掉了12*2次(a^2*a*b與a^2*b*a)，且不會出現在第三個Σ，故加回來20次
對於aaaa，在第一個Σ只會出現1次
不過在第二個Σ裡扣掉了12次，且在第三個Σ加了18次與第四個Σ加了20次
1-12+9+20=18，故還需再扣掉18次
感謝simon112266指正
回復 70# shiauy 的帖子
謝謝！第13題的一些整理
請大家參考看看 謝謝! [quote]原帖由 [i]iamcfg[/i] 於 2012-4-30 10:53 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5284&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]填充4
我把它倒過來想
如果b=27 則 a最小為999
a要是999 則本來的數至少要連續111個9
但是題目說他是101位正整數 所以不可能
因此b最大就是18
9+18=27 [/quote]
填充4.
設\(n\)為一個101位數的正整數，且能被9整除。令\(n\)的所有位數之和為\(a\)，\(a\)的所有位數之和為\(b\)，則\(b\)的所有可能值之和為[u] [/u]。
[解答]
因為朋友有問，我順便把存在性補上。
n 是 101 位數字
a <= 101*9 = 909
因此 b<= 8+9+9 = 26
因為 n 是 9 的倍數→ a是 9 的倍數→b是9的倍數
且因為 n 是 101 位數字，所以 n>0 → a>0 → b>0，
因此，b 只有可能為 9,18
然後，當 b=18 時，可取 b=1+8+9→取 a=189，
可取 a=90*2+9*1+2*0
→取 n = 寫90個2，再寫9個1，再寫2個0
同理，當 b=9 時，可取 b = 1+8+0 →取 a=180
可取 a=90*2+11*0
→取 n = 寫90個2，再寫11個0
因此，b的所有可能值之和＝9+18=27. 請問填充第9題當初為什麼送分呢？
是因為題目式子\(=\)的左邊是\(\displaystyle \frac{5}{7}\)而非\(\displaystyle \frac{4}{7}\)嗎？
還是其他的原因？
回復 74# casanova 的帖子
第 9 題：有一組正整數\( a_2 \)，\( a_3 \)，\( a_4 \)，\( a_5 \)，\( a_6 \)，\( a_7 \)使得\( \displaystyle \frac{4}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \)，其中\( 0 \le a_i < i \)(\(i=2,3,4,5,6,7\))，求數對\( (a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)= \)[u] [/u]。
[解答]
\(\displaystyle\frac{4}{7} = \frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}\)
左右同乘 \(7!\)，可得
\(2880=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3a_2+7\cdot6\cdot5\cdot4a_3+7\cdot6\cdot5a_4+7\cdot6a_5+7a_6+a_7\)
因為
\(2880\div 7 = 411 \cdots 3\)
\(411\div 6 = 68 \cdots 3\)
\(68\div 5 =13 \cdots 3\)
\(13\div 4 = 3 \cdots 1\)
\(3\div 3 = 1 \cdots 0\)
\(1\div 2 = 0 \cdots 1\)
所以，\((a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)=(1,0,1,3,3,3)\)
但是題目說 \(a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7\) 都是正整數，因此送分。 [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2012-8-3 01:47 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7068&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 9 題：
\(\displaystyle\frac{4}{7} = \frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}\)
左右同乘 \(7!\)，可得
\(2880=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3a_2+7\cdot6\cdot\) ... [/quote]
原來是這樣做，好炫的作法啊.....
謝謝weiye老師！
回復 76# casanova 的帖子
其實它就是生活裡的找零錢，只是單位不一樣而已可以想像有 1 元 7 元 42 元 210 元 840 元 2520 元各種幣值
要湊出 2880 元，要求 1 元少於 7 個 ， 7 元少於 6 個， 42 元少於 5 個， 210 元少於 4 個，840 元少於 3 個
weiye 老師是從一元開始把錢愈換愈大
反過來，也可以從先換成最大張，剩下的再逐一用零錢處理，也就是一般的找零錢方法 [quote]原帖由 [i]pizza[/i] 於 2012-5-4 10:07 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5384&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問填充1,2該怎麼做?
填充2不管怎麼算都算不出該範圍,
先感謝回答的人 [/quote]
一.
想成無窮大時最後變為正方形2X2
二.
先X=x-3代換入原式
1.兩根之和>0
2.兩根之積>0
3.判別式>=0
在1.2.3.求交集
==這些題目即使我算過重算時有時候得3次才算出正確答案
加油吧
回復 78# nanpolend 的帖子
請教填充7.An=An-1+An-2 a0=0,a1=1 , a7=13
但下面得E7=?58/13 如何得來的 [quote]原帖由 [i]iamcfg[/i] 於 2012-4-30 11:04 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5286&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充8
97中二中考過類似題的樣子
A點對兩條直線做對稱點
此兩點連線就是BC直線 [/quote]
請教有證明的連結嗎還是哪個三角形內心定理