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我真心在追求我的夢想時,
每一天都是繽紛的。
因為我知道每個小時都是實現理想的一部份。

老王 發表於 2012-5-5 09:14

回復 59# mandy 的帖子

試了一下最常見的錯誤類型,果然是126050,我得說問題出在你不會"降階"!!
四階以上行列式的計算可不是像三階一樣!!!!!!!!
這也不能怪你,因為現行高中教材只談二三階,如果老師沒補充,學生就沒學到。
請網路搜尋"行列式降階",應該可以找到有關四階以上的行列式的計算方式;
或者是翻一下你的線性代數課本,應該也有。

mandy 發表於 2012-5-5 12:38

[quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2012-5-5 09:14 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5401&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
試了一下最常見的錯誤類型,果然是126050,我得說問題出在你不會"降階"!!
四階以上行列式的計算可不是像三階一樣!!!!!!!!
這也不能怪你,因為現行高中教材只談二三階,如果老師沒補充,學生就沒學到。
請網路搜尋"行列式降階", ... [/quote]

謝謝老師!! 我想起來了, 以前高中時, 的確學過, 是太久沒算了, 謝謝老師 !!

我認為如果是用公式五階的行列式計算四面體的體積, 不見得快, 因為降階從五階降到四階, 再從四階降到三階, 計算就很大,
老師認為呢 ?

shiauy 發表於 2012-5-5 14:21

填充題略解
14題與其記那個行列式
不如歸去

老王 發表於 2012-5-6 19:08

[quote]原帖由 [i]mandy[/i] 於 2012-5-5 12:38 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5409&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]


謝謝老師!! 我想起來了, 以前高中時, 的確學過, 是太久沒算了, 謝謝老師 !!

我認為如果是用公式五階的行列式計算四面體的體積, 不見得快, 因為降階從五階降到四階, 再從四階降到三階, 計算就很大,
老師認為呢 ? ... [/quote]用#40 彬爸文中的符號

\(\displaystyle BC=a,CA=b,AB=c,DA=\alpha,DB=\beta,DC=\gamma \)

\(\displaystyle 288V^2=\left |
\begin {array} {ccccc}
0 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
1 & 0 & c^2 & b^2 & \alpha^2  \\
1 & c^2 & 0 & a^2 & \beta^2  \\
1 & b^2 & a^2 & 0 & \gamma^2  \\
1 & \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 & 0  \\
\end {array} \right |
\)
\(\displaystyle  =\left |
\begin {array} {ccccc}
0 & 1 & 1 & 1 & 1  \\
0 & -\alpha^2 & c^2-\beta^2 & b^2-\gamma^2 & \alpha^2  \\
0 & c^2-\alpha^2 & -\beta^2 & a^2-\gamma^2 & \beta^2  \\
0 & b^2-\alpha^2 & a^2-\beta^2 & -\gamma^2 & \gamma^2  \\
1 & \alpha^2 & \beta^2 & \gamma^2 & 0  \\
\end {array} \right |
\)

\(\displaystyle =\left |
\begin {array} {cccc}
1 & 1 & 1 & 1  \\
-\alpha^2 & c^2-\beta^2 & b^2-\gamma^2 & \alpha^2  \\
c^2-\alpha^2 & -\beta^2 & a^2-\gamma^2 & \beta^2  \\
b^2-\alpha^2 & a^2-\beta^2 & -\gamma^2 & \gamma^2  \\
\end {array} \right |
\)

\(\displaystyle =\left |
\begin {array} {cccc}
0 & 0 & 0 & 1  \\
-2\alpha^2 & c^2-\beta^2-\alpha^2 & b^2-\gamma^2-\alpha^2 & \alpha^2  \\
c^2-\alpha^2-\beta^2 & -2\beta^2 & a^2-\gamma^2-\beta^2 & \beta^2  \\
b^2-\alpha^2-\gamma^2 & a^2-\beta^2-\gamma^2 & -2\gamma^2 & \gamma^2  \\
\end {array} \right |
\)

\(\displaystyle =-\left |
\begin {array} {ccc}
-2\alpha^2 & c^2-\beta^2-\alpha^2 & b^2-\gamma^2-\alpha^2  \\
c^2-\alpha^2-\beta^2 & -2\beta^2 & a^2-\gamma^2-\beta^2   \\
b^2-\alpha^2-\gamma^2 & a^2-\beta^2-\gamma^2 & -2\gamma^2   \\
\end {array} \right |
\)

\(\displaystyle =\left |
\begin {array} {ccc}
2\alpha^2 & \alpha^2+\beta^2-c^2 & \alpha^2+\gamma^2-b^2   \\
\alpha^2+\beta^2-c^2 & 2\beta^2 & \beta^2+\gamma^2-a^2   \\
\alpha^2+\gamma^2-b^2 & \beta^2+\gamma^2-a^2 & 2\gamma^2   \\
\end {array} \right |
\)



這就得到 彬爸 所PO的公式。
至於你說的計算難度問題,的確,五階比三階難算得多,
實際運用時,就憑你的記憶和計算能力吧。(感謝寸絲老師~~)

老王 發表於 2012-5-6 20:25

填充14.
空間中,四面體\(A-BCD\),\(\overline{AB}=\overline{CD}=6\),\(\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5\),\(\overline{BD}=7\),求四面體\(A-BCD\)的體積為[u]   [/u]。
[解答]
"[color=#ff0000]不如歸去[/color]"啊~~~~真的,當我看到"科科科"的題目時,也是作如此想。

把四面體展開,反正就是畢氏定理。
如圖,以ABC為底面,將DAB、DAC、DBC打開到同一個平面,
過\( D_1 \)作 \( AB \)的垂線,垂足為E;
過\( D_2 \)作 \( AC \)的垂線,垂足為F,並與 \( AB \)交於G,與 \( D_1E \)交於H,
那麼H就是原來D點在平面ABC上的投影點。

簡單計算可以得到
\(\displaystyle D_1E=2\sqrt{24},AE=1,AF=\frac{7}{5} \)

那麼\(\displaystyle AG=AF \times \frac{5}{3}=\frac{7}{3} \)

\(\displaystyle EG=AG-AE=\frac{4}{3} \)

\(\displaystyle EH=EG \times \frac{3}{4}=1 \)

\(\displaystyle DH^2=D_1E^2-EH^2=23 \)

所以\(\displaystyle (ABCD)=\frac{1}{3} \times 12 \times \sqrt{23} =4\sqrt{23} \)

tsusy 發表於 2012-5-6 20:55

回復 65# 老王 的帖子

精采,把它攤了真是太酷了

感謝彬爸和老王兩位老師的公式和精采解題

[color=#FF0000]不如歸去[/color]啊,小弟在考場也是一般想法,不如直接放棄這題

原本一直在想,有一兩個等腰的面、有兩個全等的面,有沒有可能翻翻轉轉

透過五鬼挪移大法,有沒有可能拼出一個漂亮的圖形

不過看了這解法,小弟應該不用繼續搬了,哈~~

t3712 發表於 2012-5-6 21:07

感謝各位老師精彩的解法,在下獲益良多。

小弟我坐在試場裡面的時候,看到14.15就送它了...

然後12題計算的很開心,想說9題也來"計算"一下

算的更開心,公佈題目答案後,發現居然無解...冏rz

cplee8tcfsh 發表於 2012-5-6 23:11

[quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-6 08:55 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5432&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
精采,把它攤了真是太酷了
[/quote]
精采 酷 +1

rudin 發表於 2012-5-7 23:38

回復 63# shiauy 的帖子

請問a_6(任四積的和要如何討論)

shiauy 發表於 2012-5-8 01:01

對於aabc,在第一個Σ會出現4!/2!=12次,故扣掉12次

對於aabb,在第一個Σ只會出現4!/(2!2!)=6次
不過在第二個Σ裡扣掉了12*2次(a^2*b*b與b^2*a*a),正確應只需要扣6次,故加回來18次,但a^2*b^2與b^2*a^2一樣,故加9次

對於aaab,在第一個Σ只會出現4!/3!=4次
不過在第二個Σ裡扣掉了12*2次(a^2*a*b與a^2*b*a),且不會出現在第三個Σ,故加回來20次

對於aaaa,在第一個Σ只會出現1次
不過在第二個Σ裡扣掉了12次,且在第三個Σ加了18次與第四個Σ加了20次
1-12+9+20=18,故還需再扣掉18次

感謝simon112266指正

rudin 發表於 2012-5-8 11:25

回復 70# shiauy 的帖子

謝謝!

catlee 發表於 2012-5-10 15:08

第13題的一些整理

請大家參考看看  謝謝!

weiye 發表於 2012-5-20 20:01

[quote]原帖由 [i]iamcfg[/i] 於 2012-4-30 10:53 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5284&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充4
我把它倒過來想
如果b=27  則 a最小為999
a要是999  則本來的數至少要連續111個9
但是題目說他是101位正整數  所以不可能
因此b最大就是18
9+18=27 [/quote]
填充4.
設\(n\)為一個101位數的正整數,且能被9整除。令\(n\)的所有位數之和為\(a\),\(a\)的所有位數之和為\(b\),則\(b\)的所有可能值之和為[u]   [/u]。
[解答]
因為朋友有問,我順便把存在性補上。

n 是 101 位數字

a <= 101*9 = 909

因此 b<= 8+9+9 = 26

因為 n 是 9 的倍數→ a是 9 的倍數→b是9的倍數

且因為 n 是 101 位數字,所以 n>0 → a>0 → b>0,

因此,b 只有可能為 9,18

然後,當 b=18 時,可取 b=1+8+9→取 a=189,

         可取 a=90*2+9*1+2*0

         →取 n = 寫90個2,再寫9個1,再寫2個0

同理,當 b=9 時,可取 b = 1+8+0 →取 a=180

         可取 a=90*2+11*0

         →取 n = 寫90個2,再寫11個0

因此,b的所有可能值之和=9+18=27.

casanova 發表於 2012-8-3 11:31

請問填充第9題當初為什麼送分呢?

是因為題目式子\(=\)的左邊是\(\displaystyle \frac{5}{7}\)而非\(\displaystyle \frac{4}{7}\)嗎?

還是其他的原因?

weiye 發表於 2012-8-3 13:47

回復 74# casanova 的帖子

第 9 題:
有一組正整數\( a_2 \),\( a_3 \),\( a_4 \),\( a_5 \),\( a_6 \),\( a_7 \)使得\( \displaystyle \frac{4}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \),其中\( 0 \le a_i < i \)(\(i=2,3,4,5,6,7\)),求數對\( (a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)= \)[u]   [/u]。
[解答]
\(\displaystyle\frac{4}{7} = \frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}\)

左右同乘 \(7!\),可得

\(2880=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3a_2+7\cdot6\cdot5\cdot4a_3+7\cdot6\cdot5a_4+7\cdot6a_5+7a_6+a_7\)

因為

\(2880\div 7 = 411 \cdots 3\)

\(411\div 6 = 68 \cdots 3\)

\(68\div 5 =13 \cdots 3\)

\(13\div 4 = 3 \cdots 1\)

\(3\div 3 = 1 \cdots 0\)

\(1\div 2 = 0 \cdots 1\)

所以,\((a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)=(1,0,1,3,3,3)\)


但是題目說 \(a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7\) 都是正整數,因此送分。

casanova 發表於 2012-8-3 16:40

[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2012-8-3 01:47 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7068&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 9 題:

\(\displaystyle\frac{4}{7} = \frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}\)

左右同乘 \(7!\),可得

\(2880=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3a_2+7\cdot6\cdot\) ... [/quote]

原來是這樣做,好炫的作法啊.....

謝謝weiye老師!

tsusy 發表於 2012-8-3 18:57

回復 76# casanova 的帖子

其實它就是生活裡的找零錢,只是單位不一樣而已

可以想像有 1 元 7 元 42 元 210 元 840 元 2520 元各種幣值

要湊出 2880 元,要求 1 元少於 7 個 , 7 元少於 6 個, 42 元少於 5 個, 210 元少於 4 個,840 元少於 3 個

weiye 老師是從一元開始把錢愈換愈大

反過來,也可以從先換成最大張,剩下的再逐一用零錢處理,也就是一般的找零錢方法

nanpolend 發表於 2012-10-21 13:42

[quote]原帖由 [i]pizza[/i] 於 2012-5-4 10:07 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5384&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問填充1,2該怎麼做?
填充2不管怎麼算都算不出該範圍,
先感謝回答的人 [/quote]
一.
想成無窮大時最後變為正方形2X2
二.
先X=x-3代換入原式
1.兩根之和>0
2.兩根之積>0
3.判別式>=0
在1.2.3.求交集
==這些題目即使我算過重算時有時候得3次才算出正確答案
加油吧

nanpolend 發表於 2012-10-22 03:16

回復 78# nanpolend 的帖子

請教填充7.
An=An-1+An-2  a0=0,a1=1 , a7=13
但下面得E7=?58/13 如何得來的

nanpolend 發表於 2012-10-22 08:44

[quote]原帖由 [i]iamcfg[/i] 於 2012-4-30 11:04 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5286&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充8
97中二中考過類似題的樣子
A點對兩條直線做對稱點
此兩點連線就是BC直線 [/quote]

請教有證明的連結嗎還是哪個三角形內心定理

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