請問填充第11題.....我用複數極式做, 只求出101個解, 不知103從那來?
謝謝hua0127和以上其他老師!! [/quote]
11.
實數\(a,b\)滿足\((a+bi)^{101}=a-bi\)(其中\(i=\sqrt{-1}\))，則數對\((a,b)\)有[u] [/u]組解。
[解答]
假設a=cosp ,b=sinp
則cos(101p)+i*sin(101p)=cos(-p)+i*sin(-p)
101p=-p+2kPi (k為整數)
102p=2kPi
p=2kPi/102
則k=0,1,2,.........,101
有102個
再加上a=0,b=0這組
共102+1=103組 四面體ABCD的體積公式，我覺得這個五階的應該比較好記
\(\displaystyle 288V^2=\left |
\begin {array} {clr}
0 & 1 & 1& 1 & 1 \\
1 & 0 & AB^2 & AC^2 & AD^2 \\
1 & BA^2 & 0 & BC^2 & BD^2 \\
1 & CA^2 & CB^2 & 0 & CD^2 \\
1 & DA^2 & DB^2 & DC^2 & 0 \\
\end {array} \right |
\)
來源:[url=http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html]http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html[/url]
101.8.1版主補充
游森棚老師所寫的文章，有對稱之美的海龍公式 [quote]原帖由 [i]hua0127[/i] 於 2012-5-2 10:29 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5311&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
[quote]原帖由 tsusy 於 2012-5-1 08:45 PM 發表 [img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img]
注意，題目給的邊是對邊和相等，如果沒這個條件的話，
是不可能剛好切四個邊的
感謝tsusy～對邊和相等 這句話直接切入我的盲 ... [/quote]
hua0127老師
你提供填充3的解法很漂亮
我居然用變換座標
8^2<=c^2+d^2<=12^2 1662<=(-2c)^2+(-2d)^2<=24^2
3^2<=(a-8)^2+(b-6)^2<=17^2
然後用柯西不等式
不知這樣做,有沒有疑義
謝謝 請教兩題
填充5: 除了硬做外,有沒有更漂亮的解法
填充1:除了消y解x值,(有點複雜),有無其他解法?
謝謝
回復 44# arend 的帖子
填充 5試求\(\displaystyle \int_1^2 (x^3-5x^2+x-6)(x-1)^3 dx\)的值。
[提示]
取 y=x-1
\(\displaystyle \int_0^1 y^6 -2 y^5 -6 y^4 - 9 y^3 dy \)
填充 1
請參見 36# polar31442 的帖子
用正方形得面積 你客氣了~我其實還不是老師><
也只是眾多考生之一，只是最近發現這個很棒的地方
在準備之餘也順便跟版上的眾多高手請益
我看了依下你的柯西，原則上等號成立的話自然是沒有問題
且等號成立的點剛好在圖形上兩圓靠最近的兩個點，所以我認為你的解法是對的 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-2 08:27 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5332&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
假設a=cosp ,b=sinp
則cos(101p)+i*sin(101p)=cos(-p)+i*sin(-p)
101p=-p+2kPi (k為整數)
102p=2kPi
p=2kPi/102
則k=0,1,2,.........,101
有102個
再加上a=0,b=0這組
共102+1=103組 [/quote]
請教依下橢圓兄:
我的想法跟你其實也差不多，若先令 z=a+bi, z'=a-bi
原方程式可看為 z^101= z' ----(1)
兩邊先取絕對值: 先驗證 z 的絕對值為 1
然後將 (1) 式兩邊同乘以 z 得到 z^102 =z*z' = 1 ----(2)
觀察 (1) (2) 兩個方程式 在 z不等於 0 的情況下是等價的，也就是根應該一樣多
(2) 有 102 個根(代數基本定理) 但是 z=0 顯然為(1)的根
故方程式(1) 的根 有 102+1=103個
但有一點小疑問就是我在等號兩邊同乘以z 的時候 不是會增加一個根 z=0 嗎?
但是乘完之後z=0 盡然還要另外加進去，這觀念我還是有些疑惑...... 想請問一下
我算出A對L1對稱點(6,0)
對L2對稱點(-6,-4/3)
這樣解出的方程式為x-9y-6=0和解答x+7y-6=0不同
不知是哪兒出錯了....感恩幫忙...
[quote]原帖由 [i]iamcfg[/i] 於 2012-4-30 11:04 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5286&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充8
A點對兩條直線做對稱點
此兩點連線就是BC直線 [/quote] [quote]原帖由 [i]natureling[/i] 於 2012-5-3 10:51 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5351&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問一下
我算出A對L1對稱點(6,0)
對L2對稱點(-6,-4/3)
這樣解出的方程式為x-9y-6=0和解答x+7y-6=0不同
不知是哪兒出錯了....感恩幫忙...
[/quote]
你第二個對稱點算錯了
(2/5, 4/5)才對 [quote]原帖由 [i]cplee8tcfsh[/i] 於 2012-5-3 06:37 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5346&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充 5
取 y=x-1
\( \int_0^1 y^6 -2 y^5 -6 y^4 - 9 y^3 dy \)
填充 1
請參見 36# polar31442 的帖子
用正方形得面積 [/quote]
謝謝 李老師
我還想分解,原來是...綜合除法
謝謝 [quote]原帖由 [i]hua0127[/i] 於 2012-5-3 09:00 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5348&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教依下橢圓兄:
我的想法跟你其實也差不多，若先令 z=a+bi, z'=a-bi
原方程式可看為 z^101= z' ----(1)
兩邊先取絕對值: 先驗證 z 的絕對值為 1
然後將 (1) 式兩邊同乘以 z 得到 z^102 =z*z' = 1 ----(2)
... [/quote]
您不是一開始有先說有|z|=1這條件
當|z|=1時,從(1) *z 變成(2)當然不會增根
此時(1)與(2)的解均是102個解
但是(1)與(2)還是不同
(1)的解多了z=0+0i 嗯...感謝...^^"..第二個用錯了方法....謝囉!!!
[quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2012-5-3 04:54 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5356&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
你第二個對稱點算錯了
(2/5, 4/5)才對 [/quote] 想請教填充第13題的N要如何求?
另外填充第14題本人將4個頂點座標化
,C(0,0,0)D(6,0,0)B(1,根號24,0)A(3,根號6/3,根號138/3)
計算並不困難(不好意思,我是電腦白癡) [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-5-3 06:03 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5358&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
您不是一開始有先說有|z|=1這條件
當|z|=1時,從(1) *z 變成(2)當然不會增根
此時(1)與(2)的解均是102個解
但是(1)與(2)還是不同
(1)的解多了z=0+0i [/quote]
原來是這樣，這樣觀念上就補足了，感謝 6.
一個實係數三次多項式函數通過\( (101,2012) \)、\( (99,2008) \)、\( (102,2005) \)、\( (103,2016) \)四點，求此函數的切線中，斜率最小的切線所在的直線方程式為？
[解法]
可以用這篇所提到的牛頓差值多項式來解題
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274[/url]
將這四點向左平移99，向下平移2008
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) \cr
0 & & y & & 4 & & -3 & & 8 \cr
& y & & 4-y & & -7 & & 11 & \cr
& & 4-2y & & y-11 & & 18 & & \cr
& & & -15+3y & & 29-y & & & } \)
三次多項式在三階差分時會相等
\( -15+3y=29-y \)，\( y=11 \)
\( f(n)=0 \times C_0^n+11 \times C_1^n-18 \times C_2^n+18 \times C_3^n=3n^3-18n^2+26n \)
\( f(x)=3x^3-18x^2+26x \)
\( f'(x)=9x^2-36x+26=9(x-2)^2-10 \)
過點\( (2,4) \)有最小斜率-10
平移回去
過點\( (101,2012) \)有最小斜率-10
切線方程式為\( y-2012=-10(x-101) \)，\( 10x+y=3022 \)
9.
有一組正整數\( a_2 \)，\( a_3 \)，\( a_4 \)，\( a_5 \)，\( a_6 \)，\( a_7 \)使得\( \displaystyle \frac{4}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \)，其中\( 0 \le a_i < i \)(i=2,3,4,5,6,7)，求數對\( (a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7) \)
有唯一一組整數\( a_2 \)，\( a_3 \)，\( a_4 \)，\( a_5 \)，\( a_6 \)，\( a_7 \)使得\( \displaystyle \frac{4}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \)，其中\( 0 \le a_i < i \)(i=2,3,4,5,6,7)，求\( a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7= \)？
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11
(97台南縣國中聯招，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=50888 連結已失效)
There are unique integers \( a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 \) such that \( \displaystyle \frac{5}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} \), where \( 0 \le a_i < i \) for i=2,3,4,5,6,7. Find \( a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7 \).
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11 (E)12
(1999AMC12，[url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=44&year=1999]http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=1999[/url])
112.6.17補充
若\(n\)為正整數，定義\(n!\)(讀作\(n\)的階乘)為從1到\(n\)的所有正整數之蓮乘積，即\(n!=1\cdot 2\cdot 3\ldots n\)，設\(0\le a_k<k\)，其中\(a_k\)為整數，已知\( \displaystyle \frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}=\frac{4}{7} \)，求\(a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7\)之值。
(建中通訊解題第155期，[url]http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37[/url])
10.
設甲、乙兩袋中，甲袋有1白球1黑球，乙袋有1白球，從甲袋隨機取1球放入乙袋後，再從乙袋隨機取1球放回甲袋，完成這樣的動作稱為一局，試求\(n\)局後甲袋有1白球1黑球的機率？(答案以\(n\)表示)
(105彰化高中，[url]https://math.pro/db/thread-2492-1-1.html[/url])
(110彰化女中，[url]https://math.pro/db/thread-3514-1-1.html[/url])
11.
實數a,b滿足\( (a+bi)^{101}=a-bi \)(其中\( i=\sqrt{-1} \))，則數對\( (a,b) \)有組解
Find the number of ordered pairs of real numbers \( (a,b) \) such that \( (a+bi)^{2002}=a-bi \).
(A)1001 (B)1002 (C)2001 (D)2002 (E)2004
(2002AMC12，[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2002_AMC_12A_Problems/Problem_24[/url])
13.
將十次多項式\( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)(x+10) \)展開後得\( x^{10}+55x^9+a_8x^8+a_7x^7+...+10! \)，若\( a_8=55M \)，\( a_7=55^2 N \)，其中M、N為正整數，求數對\( (M,N)= \)？
thepiano所提供的解法
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=7448#p7437]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=7448#p7437[/url]
但這個公式是我在2008年在ptt數學版看到的，想不到過了這麼多年這篇文章終於派上用場，請參閱附加檔案
15.
四邊形ABCD，\( \overline{AB}=14 \)、\( \overline{BC}=9 \)、\( \overline{CD}=7 \)、\( \overline{DA}=12 \)，求四邊形ABCD的所有內切圓中，面積最大者為
Consider all quadrilaterals ABCD such that \( \overline{AB}=14 \), \( \overline{BC}=9 \), \( \overline{CD}=8 \), \( \overline{DA}=12 \). What is the radius of the largest possible circle that fits inside or on the boundary of such a quadrilateral?
(2011AMC12A，[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2011_AMC_12A_Problems/Problem_24[/url])
(2011中文版AMC12，[url=https://math.pro/db/thread-1080-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1080-1-1.html[/url])
112.6.13補充
若四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=8\)、\(\overline{BC}=15\)、\(\overline{CD}=17\)、\(\overline{DA}=10\)，則四邊形\(ABCD\)的內切圓面積的最大值為[u] [/u]。
(112大直高中，[url]https://math.pro/db/thread-3759-1-1.html[/url])
計算題2.
設\( f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \in Z[x] \)，若\( a_n \)，\( a_0 \)，\( f(1) \)均為奇數，試證：方程式\( f(x)=0 \)沒有有理根
(88台中一中高一期末考試題，h ttp://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/rc/T88113.pdf 連結已失效) [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2012-5-2 08:37 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5334&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
四面體ABCD的體積公式，我覺得這個五階的應該比較好記
\(\displaystyle 288V^2=\left |
\begin {array} {clr}
0 & 1 & 1& 1 & 1 \\
1 & 0 & AB^2 & AC^2 & AD^2 \\
1 & BA^2 & 0 & BC^2 & BD^2 \\
1 & CA^2 & CB^2 & 0 & CD^2 \\
1 & DA^2 & DB^2 & DC^2 & 0 \\
\end {array} \right |
\)[/quote]
請問有人用這公式求過四面體體積嗎? 我求不出來是4根號23? 請問填充1,2該怎麼做?
填充2不管怎麼算都算不出該範圍,
先感謝回答的人
回復 56# mandy 的帖子
剛剛花了五分鐘確認，答案的確是\( 4\sqrt{23} \) [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2012-5-4 10:11 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5385&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]剛剛花了五分鐘確認，答案的確是\( 4\sqrt{23} \) [/quote]
我按了計算機得 288V^2=126050 ---->並不能得出V=4根號23 ? 請問那裡有問題?
回復 59# mandy 的帖子
(1)如果是 計算機 按錯
麻煩再按一次
(2)
可以請問你的 五階行列式
是如何用計算機求值嗎?