101 文華高中
題目剛剛公布了，還有參考答案。還有公布的成績回復 21# shingjay176 的帖子
其實在首篇的ＰＯ文，bugmens 已經幫它加入最新公告的題目與答案了！：Ｐ回復 20# arend 的帖子
poemghost 有講，要討論 DEF這三者～分成三同、兩同一異、三異其實如果是我實戰的話，應該也不會記住那個公式（擔心記錯），
而會用 \(4\cdot3^5-4\cdot 3^4+4\cdot 3^3-4\cdot 3^2+4\cdot 3\)
：Ｐ [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2012-4-29 10:11 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5265&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
poemghost 有講，要討論 DEF這三者～分成三同、兩同一異、三異
其實如果是我實戰的話，應該也不會記住那個公式（擔心記錯），
而會用 \(4\cdot3^5-4\cdot 3^4+4\cdot 3^3-4\cdot 3^2+4\cdot 3\)
：Ｐ ... [/quote]
請問老師 4x3^5-4x3^4+4x3^3-.....式子如何解釋? 請問填充3,4, 6,8,11,13,15 ?
回復 25# mandy 的帖子
填充4設\(n\)為一個101位數的正整數，且能被9整除。令\(n\)的所有位數之和為\(a\)，\(a\)的所有位數之和為\(b\)，則\(b\)的所有可能值之和為[u] [/u]。
[解答]
我把它倒過來想
如果b=27 則 a最小為999
a要是999 則本來的數至少要連續111個9
但是題目說他是101位正整數 所以不可能
因此b最大就是18
9+18=27
回復 26# iamcfg 的帖子
填充6一個實係數三次多項式函數通過\((101,2012)\)、\((99,2008)\)、\((102,2005)\)、\((103,2016)\)四點，求此函數的切線中，斜率最小的切線所在的直線方程式為[u] [/u]。
[解答]
我先把 x-100 ,y-2000 比較好算
直接假設\( f(x)= a (x +1) (x-1) (x-2) +b (x +1) (x-1) + c (x +1) +8 \)
然後直接微分求最小值 在變數變換回去
回復 25# mandy 的帖子
填充8\(\Delta ABC\)中，\(A(2,-4)\)，若\(\angle B\)、\(\angle C\)之角平分線分別為\(L_1\)：\(x+y-2=0\)及\(L_2\)：\(x-3y-6=0\)，則\(\overline{BC}\)之方程式為[u] [/u]。
[提示]
\(A\)點對兩條直線做對稱點
此兩點連線就是\(BC\)直線
\(\Delta ABC\)中，\(A\)坐標為\((-2,5)\)，\(\angle B\)與\(\angle C\)的內角平分線方程式分別為\(L\)：\(2x-3y+4=0\)與\(M\)：\(x+2y+2=0\)，則\(C\)點的坐標為[u] [/u]。
(107台中女中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2950&page=1#pid18447[/url])
112.6.5
\(\Delta ABC\)中，\(A(4,-1)\)，\(\angle B,\angle C\)內角平分線方程式分別為\(2x-y+1=0\)、\(x-1=0\)，則直線\(BC\)的方程式為[u] [/u]。
(112關西高中，[url]https://math.pro/db/thread-3749-1-1.html[/url]) 想請教填充 14 15 題，從考完試到現在，還沒解決這兩題
15 題，個人猜測是圓內接四邊形的時候，內切圓有最大面積
但一整個不知道怎麼證，三角硬暴？好像不太實際，像一條不歸路 [quote]原帖由 [i]mandy[/i] 於 2012-4-30 09:08 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5279&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問老師 4x3^5-4x3^4+4x3^3-.....式子如何解釋? [/quote]
我只是取跟101證明裡面的中間步驟（對我比較好記）。
另外，第15題跟2011AMC12的第24題是一樣的題目。：Ｐ
回復 30# weiye 的帖子
15.四邊形\(ABCD\)，\(\overline{AB}=14\)、\(\overline{BC}=9\)、\(\overline{CD}=7\)、\(\overline{DA}=12\)，求四邊形\(ABCD\)的所有內切圓中，面積最大者為[u] [/u]。
[解答]
剛剛又重試了一下
令 14, 9 的夾角是 \( \alpha, 7,\,12 \) 的夾角是 \( \beta \)，由對角線長和餘弦得
\( 14^{2}+9^{2}-2\cdot14\cdot9\cos\alpha=12^{2}+7^{2}-2\cdot12\cdot7\cos\beta \)
\( B=14\cdot9\cos\alpha-12\cdot7\cos\beta=\frac{14^{2}+9^{2}-12^{2}-7^{2}}{2} \)
\( A=\frac{1}{2}(14\cdot9\sin\alpha+7\cdot12\sin\beta) \)
\( \frac{(2A)^{2}+B^{2}}{2\cdot7\cdot9\cdot12\cdot14}=\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta + c=-\cos(\alpha+\beta) + c \leq1 +c \)
而 \( r = \frac{2A}{7+9+12+14}\)
等號成立條件為，即 \( \alpha+\beta=\pi \), 此時，四邊形為圓內接四邊形。
\( r \) 有最大值，但是否應該檢驗此時內切圓的存在性呢？ 回復 31# tsusy 的帖子：
請問寸絲老師，是否可以這樣解釋：
因為四個邊不能唯一決定四邊形，故我們可取圓內接四邊形的時候讓等號成立
不知這個想法有無瑕疵？
另外想向版上請教一下填充13題的a7要如何算？是知道要算三三乘積和
但不知如何下手，謝謝
回復 32# hua0127 的帖子
你太客氣，我也只是考場眾生的一員而已。如你所說，四邊形不唯一，所以可以調整大小，
所以剩下的事，只是說明此時內切圓存在。
注意，題目給的邊是對邊和相等，如果沒這個條件的話，
是不可能剛好切四個邊的 (用頂點到圓兩切線段等長而得)。
而內切圓的存在，但似乎只要凸四邊 + 對邊相等，就會存在切四個邊的內切圓。
想法上，由相鄰兩角做平分線交點找出圓心。
再利用三角不等式、切線段等長、對邊和相等，強迫另兩角的到圓的切線段要連成第四條邊即可。
至於凸，應該是要用到切線邊，是不是切到邊延長的直線。
以上是寸絲的想法，但覺得有點小麻煩，應該有更乾淨俐落的辦法吧? [quote]原帖由 [i]hua0127[/i] 於 2012-5-1 07:52 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5297&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
另外想向版上請教一下填充13題的a7要如何算？是知道要算三三乘積 ... [/quote]
請看下面連結~
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2785]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2785[/url] 請問填充第3題如何求? 填充1.
設兩圖形\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{(x-1)^2}{n^2}+y^2\le 1\)，\(\Gamma'\)：\(\displaystyle (x+3)^2+\frac{(y+2)^2}{n^2}\le 1\)(其中\(n\ge 10\))，其相交部份的面積為\(a_n\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)[u] [/u]。
請問填充第一題，除了用\(n\)趨近無限大，相交圖形接近正方形
是否有其他作法呢? 15.
四邊形\(ABCD\)，\(\overline{AB}=14\)、\(\overline{BC}=9\)、\(\overline{CD}=7\)、\(\overline{DA}=12\)，求四邊形\(ABCD\)的所有內切圓中，面積最大者為[u] [/u]。
[提示]
15題參考資料
數學傳播 十七卷三其 民82年9月
[url=http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d173/17304.pdf]蔡聰明 四邊形的面積[/url]
面積 S = \( \sqrt{ (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot cos^2 ( \frac{B+D}{2} ) } \)
最大值 出現於 B+D =180度 即 圓內接四邊形 注意，題目給的邊是對邊和相等，如果沒這個條件的話，
是不可能剛好切四個邊的
感謝[i]tsusy[/i]～對邊和相等 這句話直接切入我的盲點
這樣似乎一切合乎情理
另外感謝 Ellipse 兄 以及 彬爸 提供了參考的資料
填充第三題我是這樣考慮 如附件 請問填充第11題.....我用複數極式做, 只求出101個解, 不知103從那來?
謝謝hua0127和以上其他老師!! 填充14.
空間中，四面體\(A-BCD\)，\(\overline{AB}=\overline{CD}=6\)，\(\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5\)，\(\overline{BD}=7\)，求四面體\(A-BCD\)的體積為[u] [/u]。
[解答]
[font='Times New Roman'][size=3]公式 及 推導 請參閱 附件 第18,19頁
\( a= \overline{BC} =5 \)
\( b= \overline{CA} =5 \)
\( c= \overline{AB} =6 \)
\( \alpha = \overline{DA} =5 \)
\( \beta = \overline{DB} =7 \)
\( \gamma = \overline{DC} =6 \)
\( \displaystyle V^2= \frac{1}{288} \Bigg|\; \matrix{ 2 \alpha^2 & \alpha^2 + \beta^2 - c^2 & \alpha^2 +\gamma^2 - b^2 \cr \alpha^2 +\beta^2 - c^2 & 2 \beta^2 & \beta^2 +\gamma^2 - a^2 \cr \alpha^2 +\gamma^2 - b^2 & \beta^2 +\gamma^2 - a^2 & 2 \gamma^2} \Bigg|\; \)
\( \displaystyle = \frac{1}{288} \Bigg|\; \matrix{ 2 \cdot 5^2 & 5^2 + 7^2 -6^2 & 5^2 + 6^2 -5^2 \cr 5^2+7^2-6^2 & 2 \cdot 7^2 & 7^2+6^2-5^2 \cr 5^2+6^2-5^2 & 7^2+6^2-5^2 & 2 \cdot 6^2 } \Bigg|\; \)
\( =\frac{105984}{288} =368 \)
\( V=4 \sqrt{23} \)[/size][/font]