101文華高中（含計算題）
[attach]1012[/attach]請各位老師指教XD
101.4.30版主補充
以下資料供以後考生參考：
初試最低錄取分數 50分
取12名參加複試，錄取2名
66,64,60,56,55,55,55,53,52,51,50,50
其他，
40~49分 25人
30~39分 62人
20~29分 148人
10~19分 160人
0~9分 32人
缺考 20人
共計 459 人
回復 1# t3712 的帖子
2.反例：\(\displaystyle f(x)=x^3+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2} x+1\) ，
\(a_3=1, f(1)=3,f(0)=1\) 皆為奇數，
且 \(f(x)=0\) 有有理根 \(x=-1.\)
回復 2# weiye 的帖子
題目可能有其他條件限制(整數系數？)，我忘記了。不好意思XD回復 3# t3712 的帖子
是整數係，不過很遺憾的，我漏看的 \( a_n \) 也是奇數的條件在響鈴後，才看到...天丫 6 分 飛了
還有，計算第一題，題目有點小瑕疪，應該要加上 \( a,b,c,d \in R \)
不然取 \( a = d = \omega \), \( b=c=0\), \( \omega \) 為 \( x^3=1 \) 之虛根
那就會是反例，還有 \( A^3 =I_2 \) ，下標不小心打錯了 感謝老師補充，題目修正如下。
[attach]1013[/attach]
計算第1題
才疏學淺，不知解法是否有誤，請各位多多指教回復 6# tacokao 的帖子
AB=0，若A不等於O ，好像不能推導出B=O。 [quote]原帖由 [i]tacokao[/i] 於 2012-4-28 11:07 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5236&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]才疏學淺，不知解法是否有誤，請各位多多指教 [/quote]
題目說
A=[a b ] 不等於 I_2 ----------(*1)
[c d ]
好像以為a[font=新細明體][size=3]≠1 ,b[font=新細明體]≠0 ,c[font=新細明體]≠0,d[font=新細明體]≠1----------------(*2)[/font][/font][/font][/size][/font]
[font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體]可是[ 2 0 ]的矩陣也是不等於I_2----------(*3)[/font][/font][/font][/size][/font]
[font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體] [ 0 2 ][/font][/font][/font][/size][/font]
[font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體]但是c=0 呀[/font][/font][/font][/size][/font]
[font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體]
[/font][/font][/size][/font]
[font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體][/font][/font][/font][/size][/font]
[font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體]那如果c=0[font=新細明體],那證明就有問題了[/font][/font][/font][/font][/size][/font]
[font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][font=新細明體]
[/font][/font][/font][/size][/font]
[font=新細明體][size=3][font=新細明體][font=新細明體][/font][/font][/size][/font]
回復 8# Ellipse 的帖子
我認為那不是誤會，應該說題目的本意就不是(*2)因為實際上，只要 a,b,c,d 是實數，該命題，便成立
證明的話可以從最小多項式著手，去說明最小多項式不會是 1 次以下
再利用 \( A^3 =I \) 的條件，構造最小多項式。
但由於構造出來是一個二次多項式，
而由 Cayley-Hamilton 定理特徵多項式為 0 多項式，
二者次數階 2，因此特徵即最小多項式，
直接從定義計算 \( A \) 的特徵多項式，再比較係數，即得證。
以上，用了一些大學線性代數的內容，不過應該也算超出範圍
回復 1# t3712 的帖子
底下這樣證不知道有沒有問題，不過我在考試的時候沒有討論到b=0,c=0不合的情形。 第二題請問如何證明
我剛想了一下
我的初淺想法是
a_n a_0 與f(1)都是奇數
若px+q為f(x) 的因式 (p,q)=1
p|a_n , q|a_0 , 所以p , q都是奇數 ,p+q必為偶數
又因px+q|f(x) 當x=1, p+q|f(1) 不合
因為f(1)為奇數
若有疏漏或邏輯缺失
請版上高手能不吝指教
謝謝 我昨天去考，第二部分的填充題。
我記得第二部分的填充題，有一題是高斯函數，\(\displaystyle\Large\sum_{k=1}^{40}\left[10^{\frac{k}{40}}\right]=?\)
102.10.12補充
這裡有解答[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317[/url] 第二部分，填充題最後一題，下方的圖形。固定不動，不能旋轉。有五種顏色，可以重覆塗。但相鄰不能同色。有幾種塗法 剛剛看了一下1111教職網公布的資料。昨天文華兩個數學缺，四百多人考。競爭真的是激烈。大家加油了
回復 13# shingjay176 的帖子
下方的圖形。固定不動，不能旋轉。有五種顏色，可以重覆塗。但相鄰不能同色。有幾種塗法[attach]1019[/attach]
解答：
先塗 A 區域，有 \(5\) 種塗法，
再塗 BCDEFG 區域，有 \(3\cdot(-1)^6+3^6\) 種塗法，
（註：這裡套用：一個圓被半徑分割成n等份用k種顏色來塗,每一區域塗一色,相鄰異色,顏色可以重複,不一定k種顏色全用,求證塗法為(k-1)(-1)^n+(k-1)^n
請見：[url=https://math.pro/db/thread-499-1-1.html]https://math.pro/db/thread-499-1-1.html[/url] ）
最後塗 HIJ 區域，有 \(3^3\) 種塗法。
所以，所求為 \(5\cdot\left(3\cdot\left(-1\right)^6+3^6\right)\cdot3^3=98820\) [quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2012-4-29 09:41 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5244&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我昨天去考，第二部分的填充題。 [/quote]
用LOG討論一下就可以了 [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2012-4-29 10:02 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5248&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
下方的圖形。固定不動，不能旋轉。有五種顏色，可以重覆塗。但相鄰不能同色。有幾種塗法
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解答：
先塗 A 區域，有 \(5\) 種塗法，
再塗 BCDEFG 區域，有 \(3\cdot(-1)^6+3^6\) 種塗法，
（註：這裡套用：一個圓被半徑分割成n等份 ... [/quote]
這題如果不用已知的那個扇形結論的話，
應該只需討論三個同色異色而已 (如F,D,B)
之前有遇過類似的題目，我是這樣討論的 計算1：
和lianger老師相同方法
基本上還是要用到一點線性代數的方法會比較方便
但我是另外驗證a,b,c,d皆不可能是0
所以過程比lianger老師複雜一點點
計算2：
只要用一次因式檢驗法的概念和奇偶數分析就可以瞬間證畢 ^^!! 第三題
\(\displaystyle p^2+5pq+q^2=7^{101} \)
對\( p \)而言是二次方程式，判別式為
\(\displaystyle 25q^2-4(q^2-7^{101})=21q^2+4 \times 7^{101}=7(3q^2+4 \times 7^{100}) \)
若\( p \)為整數，那麼判別式必須是完全平方數，因此知道
\(\displaystyle 3q^2+4 \times 7^{100} \)要是7的倍數
也就可以推出\( q \)為7的倍數
那麼\( p \)就是7的倍數
假設\( p=7p_1,q=7q_2 \)
於是得到
\(\displaystyle p_1^2+5p_1q_1+q_1^2=7^{99} \)
重覆這些步驟最後得到
\(\displaystyle P^2+5PQ+Q^2=7 \)
顯然有\( P=Q=1 \)
所以
\(\displaystyle p=q=7^{50} \) [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2012-4-29 10:02 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5248&ptid=1333][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
下方的圖形。固定不動，不能旋轉。有五種顏色，可以重覆塗。但相鄰不能同色。有幾種塗法
1019
解答：
先塗 A 區域，有 \(5\) 種塗法，
再塗 BCDEFG 區域，有 \(3\cdot(-1)^6+3^6\) 種塗法，
（註：這裡套用：一個圓被半徑分割成n等份 ... [/quote]
請教老師一下
若不代公式
直接以(BF同色,BF不同色)來做
4x3x3x3x1x3+4x3x3x3x2x2
結果會不一樣
請問這錯在哪裡(這問題困擾我很久)
我是以原始的遞廻來看,用 a_1與a_n-1同色與不同色,
謝謝