93高中數學競賽(5題)
請各位老師幫幫忙了！謝謝！！︿︿ 我的想法1. 令 \( A_n=a^n-b^n \) 發現 \( A_{n+1}=A_n+A_{n-1}+A_{n-2} \) ，同理，設\( K_n=\frac{A_n}{A_1}+\frac{B_n}{B_1}+\frac{C_n}{C_1} \) 且 \( K_1=3，K_2=2，K_3=5，K_{n+1}=K_n+K_{n-1}+K_{n-2}\in Z \) 得證
2. \( \large \frac{14!}{7!7!} \) => 方法數對應到7*7方格由右上走到左下的捷徑數
3. 1:2 => 定坐標\( B(0,0) C(6,0) A(1, 2\sqrt{6}) \)
5. \( \sqrt{8-3\sqrt{5}} \) =>餘弦定理 \( c^2= a^2+b^2-2abcos\frac{\pi}{6} \) 將 \( a^2=2+b^2 \) 代入對\(b\)微分
不知道對不對，請各位老師指點
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第3題尤拉線定理，所有的三角形都一樣。
第5題
你可能微分計算有誤，答案是1
第4題，這現在有應該算老耿了
\(\displaystyle a=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \cdots +\frac{1}{2003}-\frac{1}{2004} \)
\(\displaystyle =(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+ \cdots +\frac{1}{2004})-2 \times (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ \cdots +\frac{1}{2004}) \)
\(\displaystyle =(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+ \cdots +\frac{1}{2004})-(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+ \cdots +\frac{1}{1002}) \)
\(\displaystyle =\frac{1}{1003}+\frac{1}{1004}+ \cdots +\frac{1}{2004} \)
又\(\displaystyle \frac{1}{n}+\frac{1}{3007-n}=\frac{3007}{n(3007-n)} \)
所以
\(\displaystyle b=\frac{2}{3007} \times (\frac{1}{1003}+\frac{1}{1004}+ \cdots +\frac{1}{2004}) \)
故\(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{3007}{2} \) 謝謝各位老師
不知道 第五題除了用微積分求極值之外 還有沒有其他的想法? 第5題最後應是要解, 已知\(a^2-b^2=2\),求 \(a^2+b^2-\sqrt{3}ab\) 的最小值- - - - - - - - - - - - - - - - - - - \( \)
用\( x,y\) 來看比較習慣
已知\(x^2-y^2=2\),求 \(x^2+y^2-\sqrt{3}xy\) 的最小值
用坐標變換方式, 即可求出最小值用GeoGebra畫出的圖如下:
h ttp://learn.jhsh.ntpc.edu.tw/~smath/mathpro/1010427.html 連結已失效
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5. 我微分計算錯誤，答案是1謝謝老王老師 :D
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