回復 19# cplee8tcfsh 的帖子
第十六題的作法好像有點問題圖形並不只有三交點。注意 \( 6\pi \sin^2 x \) 在 0 處和 \( \frac{3\pi}{2} \) 的微分
就會知道還有兩個交點，至於圖的真相，還是交 Wolfram Alpha
接近 0 的地方 [url=http://tinyurl.com/7cutks8]http://tinyurl.com/7cutks8[/url]
接近 \( \frac{3 \pi}{2} \) 的地方 [url=http://tinyurl.com/8yfb9n3]http://tinyurl.com/8yfb9n3[/url]
這題要用的其實是對稱性，在 \( x =0 .. \frac{3\pi}{2} \) 的範圍裡
兩個函數圖形的對稱中心，都是 \( (\frac{3 \pi}{4}, 3\pi) \)，所以某一段在左邊如果是下，轉 180 度去右邊，上下關係就會反過來
故所求長度即該範圍中直線長度之半： \( \frac{1}{2} \sqrt{17} \cdot \frac{3\pi}{2} =\frac{3\sqrt{17}\pi}{4} \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-9 08:45 PM 編輯 [/i]]
回復 21# tsusy 的帖子
感謝指正.我的作法的確有問題
看來只是純運氣不錯 才矇中答案 ^^
我等等來去修改檔案
謝謝
回復 19# cplee8tcfsh 的帖子
彬爸 12 題的作法真的令人覺得神妙的詭異而我本來的作法也和瑋岳老師走一樣的路線
不過仔細一做，會發現這題和 101 臺南二中第三題一樣 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262[/url]
只是條件換掉了而已，一個給係數，一個給相乘等於 0，而實際上是一回事
再來補個對角化的作法：計算 \( A \) 的特徵值可得 \( 3,\, 4 \)
因此 \( A \) 對角化後是 \( A' = \left[ \begin{array}{cc} 3 & 0\\
0 & 4 \end{array} \right] \)
所以可以解出 \( P'=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0\\
0 & 0 \end{array}\right] \), \( Q' = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\
0 & 1 \end{array} \right] \)
而 \( A'^7 =\left[ \begin{array}{cc} 3^7 & 0\\
0 & 4^7 \end{array} \right] = 3^7 P' + 4^7 Q' \)
所以 \( a =3^7,\, b = 4^7 \)
不過這類問題，瑋岳老師的方法應該才是比較一般性的做法
只是好像，在高中裡，有些問題故意特殊化，讓它變得稍微簡單，而往往有特殊的做法
回復 19# cplee8tcfsh 的帖子
解答中，第四題MD線段長，要如何解。回復 24# shingjay176 的帖子
長方形 對角線 等長\( \overline{MD} = \overline{MA} \)
回復 25# cplee8tcfsh 的帖子
謝謝回復 19# cplee8tcfsh 的帖子
第七題，請問彬爸，『為使任三隊中至少有兩隊相互交手過』。。。。你是如何思考分成兩組，『同組的隊伍均需交手』。。這句話跟上面那句話，如何思考解釋等價關係，如果直接思考，從題意那句話思考破題，真不好下筆。 如果 女神組 之中 有二隊 未交手
則挑 此女神組二隊 與 宅男組 任搭一隊 此三隊便牴觸題意
背後原理 是 鴿籠原理
故 設計 二組 (三隊之中 至少二隊 同組)
回復 23# tsusy 的帖子
嗯,我的方法的確不屬正規作法...在高中的課程裡
並未著墨 矩陣 的 特徵方程 與 對角化
因此 考題 都偏 特殊的矩陣
高中教久了
遇到題目 都不太習慣 用 線代 來處裡 請問第15題，不懂題目的意思？
我的理解是參賽者可以選相同的門，
但是我不懂獎品是怎麼分布的，以及門後可以沒有獎品嗎？
麻煩老師給點提示，感恩！ 半夜偷算數學吼！！
我第一次看這題目也看不懂
就是說有5道門，門後有獎品或什麼都沒有，獎品有3種，有獎的門只會有一種獎品
五個觀眾隨便選，可能五人都拿到獎品或都沒拿到，對每位觀眾中獎機率都是3/5
〇〇①②③，你可以看成這樣，五人分別從這些球中選一個，選到數字球就有獎
數字不同獎品不同 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-9 08:34 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5466&ptid=1327][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第十六題的作法好像有點問題
圖形並不只有三交點。注意 \( 6\pi \sin^2 x \) 在 0 處和 \( \frac{3\pi}{2} \) 的微分
就會知道還有兩個交點，至於圖的真相，還是交 Wolfram Alpha
接近 0 的地方 [url=http://tinyurl.com/7]http://tinyurl.com/7[/url] ... [/quote]
請問要如何知道 \( y=4x \) 和 \( y=6\pi \sin^2 x \) 在 \( [ 0,\frac{3\pi}{2} ] \) 的對稱點是 \( (\frac{3\pi}{4} ,3\pi) \) 呢？
回復 32# casanova 的帖子
(1)直線的線上任一點均為對稱點
(2)
\( y = 6 \pi \cdot {( 1- cos 2 x )\over{2}} \)
餘弦函數 值為零 的點 均為 對稱點 [quote]原帖由 [i]cplee8tcfsh[/i] 於 2012-5-9 07:11 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5463&ptid=1327][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
昨天 拿到 官方版 題目
今天 期中考 監考 無聊 寫了一些
再加上 版上的討論
整理後 如 附件 請參考
[/quote]
#6
以下是個人淺見
這題彬爸最後寫AB剛好是焦弦
可能是碰巧,剛好~
以前有做過實驗,在圓錐曲線T內,
假設過P點的直線交T於A,B兩點
(1)若求AB的最小值,應該沒有什麼特殊的關係
(2)但是若求AB與T所圍成面積的最小值,則P必為AB的弦中點
回復 34# Ellipse 的帖子
印象中，之前也做過一題拋物線，做出來，也發現剛好是焦弦，不過也是巧合反例，也很簡單，就把那個點沿著焦弦往曲線靠近就好了...焦弦長度不會變，
但那個點離曲線很近時，就有一條很短的弦了
高中裡的數學競賽題目，有時候會就是很喜歡考一些很巧的特殊例子，然後就會有很漂亮的作法
又像 12 題矩陣，又是一個大巧合，一般性的作法是 # 12 瑋岳老師的做法
但在 # 23，中用比較高的數學層次(特值徵)的眼光去看它，就會發現 \( P,\, Q\) 在坐標轉換的結果下
根本就是兩個無聊到漂亮的矩陣，所以對於 # 19 彬爸神一般的作法，就稍微有點不意外了 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-5-8 11:44 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5454&ptid=1327][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
一直沒注意到題目公佈了
之前填充 11 一直算不出公佈的答案 580，而算出 579
不知道是否是答案錯誤，嘗試分析如下。
考慮 \( 5m + 12 n = 580 \) 之正整數解，
m8 20 32 44 n 45 40 35 30
當然後面還有，但後面的 ... [/quote]
連結已失效h ttp://dhcp.tcgs.tc.edu.tw/tcgs/board/view.asp?ID=7928
tsusy大您是對的
不過5月11日才公佈....
回復 36# 八神庵 的帖子
庵大出現了，感謝告知。看來是有人向學校反應，感謝代為反應的人其實，之前有想寫信過去，不過一來那場考試沒去考，
二來信裡寫數學符號有點麻煩，所以就放棄了
不過其實應該也不是我先發現了
早在 4/23 題目尚未公佈時，有人就曾和小弟討論此題
那時結論是，兩個人都算 579, 對方就覺得答案錯了
不過因為題目尚未公佈，手邊沒有題目，也就沒有深入探討了，不了了之了
回復 21# tsusy 的帖子
這一題圖形只要沒畫出來，就沒辦法思考題目，要如何在短時間內可以精準作圖。回復 38# shingjay176 的帖子
精確作圖~~~微分其實小弟做的時候也沒有精確作圖，只是先畫略圖，和彬爸一樣先看出那三個交點
然後就在想，在 \( (0,0) \) 右邊一點點的地方，那個彎的那條，是在直線上，還是直線下
然後就算了微分，發現微分是 \( 0 \) 所以在下方，之後彎上到 \( x=\frac{\pi}{2} \) 最高點間，又多一個交點
接下來往下，下個交點是 \( x=\frac{3\pi}{4} \)，之後的討論相同，得到 5 個交點。
不過畫完圖後，還是沒看出竅門。然後再看一下等式，覺得交點解不出來，代數沒希望
再看一次圖，才發現的。以上好像沒有說到什麼重點。
如果真的想精確作圖，那就微分吧...看凹向，再加幾個點
不然像彬爸一樣用 2 倍角，換成 \( \cos \) 處理，應該也可以描幾個點加上本來知道 \( \cos \) 的圖形趨勢作圖