101台中女中
先貼計算證明題，晚一點女中就會公佈題目了1. 證明 \(\LARGE\frac{C^{100}_{50}}{2^{100}}<0.1\)
2. 直線 \(y=mx\) (其中 \(m>0\)) 與曲線 \(y=x(x-2)^2\) 有三個相異解，若兩函數交出來的兩個區域面積相等，求 \(m\) 的值為何?
101.5.5版主補充
以下資料供以後考生參考：
初試最低錄取分數 52分
取6名參加複試，錄取1名
59,57,57,53,52,52
其他，
50~51分 4人
40~49分 18人
30~39分 47人
20~29分 54人
10~19分 44人
0~9分 21人
共計 194人
【註：weiye 於 2012/05/13 更新附件中的答案檔。感謝 八神庵 老師提醒臺中女中有答案更正公告。】 1.
設\( y=8^nx^2-2^n(2^n+1)x+1 \)( \( n \in N \) )之圖形與x軸交於\( A_n \)與\( B_n \)兩點，若\( \overline{A_nB_n} \)之長為\( l_n \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}l_n \)之和為？
111.6.12補充
設\(n\)為正整數，如果二次函數\( y=8^nx^2-2^n(2^n+1)x+1 \)的圖形與x軸交於二點\( A_n \)、\( B_n \)，令線段\( \overline{A_nB_n} \)之長為\( L_n \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}L_n= \)？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{4}\) (B)\(\displaystyle \frac{1}{3}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\) (E)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
(111香山高中，[url]https://math.pro/db/thread-3654-1-1.html[/url])
112.6.16補充
設\(n\)為正整數，如果二次函數\(y=8^nx^2-2^n(2^n+1)x+1\)的圖形與\(x\)軸交於二點\(A_n\)、\(B_n\)，如果線段\(\overline{A_nB_n}\)之長為\(a_n\)，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\)？
(A)\(\displaystyle \frac{2}{3}\) (B)\(\displaystyle \frac{3}{4}\) (C)1 (D)\(\displaystyle \frac{4}{3}\)
(112新竹市國中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3763-1-1.html[/url])
11.
設有m個互不相同的正偶數和n個互不相同的正奇數之和為2012，則5m+12n的最大值為？
m個互不相同的正奇數與n個互不相同的正偶數的總和為1000，則\( 3m+4n \)的最大值是？
(新奧數教程 高二卷 第2講 平均不等式和柯西不等式)
此題的圖檔可以到這裡下載"我的教甄準備之路"的第8篇"奧數教程.rar"
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834 連結已失效
h ttp://forum.nta.org.tw/examserv ... =230321&postcount=8 連結已失效
110.5.3補充
若將\(m\)個互不相同的正偶數和\(n\)互不相同的正奇數全部相加，得總和為2025，所有滿足上述的自然數\(m,n\)中，\(3m+4n\)的最大值為[u] [/u]。
(110台中女中，[url]https://math.pro/db/thread-3515-1-1.html[/url])
111.4.19補充
已知\(n\)個相異的正奇數與\(m\)個相異的正偶數的和為1000，求\(6n+8m\)的最大值。
(111台中女中，[url]https://math.pro/db/thread-3623-1-1.html[/url])
1. 證明 \(\displaystyle \frac{C^{100}_{50}}{2^{100}}<0.1\)
[提示]
\( \displaystyle C_{50}^{100} \times 0.5^{50} \times 0.5^{50} \)
比較\( \displaystyle C_{20}^{100} \times 0.2^{20} \times 0.8^{80} \)和0.2的大小
(98北一女中，[url=https://math.pro/db/thread-784-1-2.html]https://math.pro/db/thread-784-1-2.html[/url])
101.5.13補充
14.
四邊形ABCD是內接於一扇形的正方形，頂點A、D分別在扇形的兩半徑上，頂點B、C在扇形的弧上，其中扇形的半徑為1，圓心角為\( 60^o \)。則正方形ABCD的面積為？
四邊形ABCD是內接於一扇形的正方形，頂點A、D分別在扇形的兩半徑上，頂點B、C在扇形的弧上，而M是扇形的弧中點。設扇形的半徑為r，而圓心角\( ∠AOD=\theta \)是一銳角，則正方形ABCD的面積為？(以r與\( \theta \)表示)
(97高中數學能力競賽台北市筆試二，[url=https://math.pro/db/thread-919-1-1.html]https://math.pro/db/thread-919-1-1.html[/url])
thepiano解答，[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2800]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2800[/url]
101.11.11補充
扇形OAB的半徑為1，圓心角AOB等於\( 60^o \)，則其內接矩形PQRS(R、Q在圓弧上，S、P在半徑上)的最大面積為？
(101全國高中數學能力競賽 臺北市筆試二，[url]https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html[/url])
101.5.22補充
在坐標平面上，x坐標和y坐標都是整數的點稱為格子點，對任意正整數n，連接原點與點\( P_n(n,n+5) \)，若此線段上除兩端點的格子點共有\( a_n \)個，則\( a_1+a_2+a_3+...+a_{2012} \)之值為？
在坐标平面上，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连结原点O与点\( A_n(n,n+3) \),用\( f(n) \)表示线段\( \overline{OA_n} \)上除端点外的整点个数，則\( f(1)+f(2)+...+f(1990) \)
(1990大陸高中數學聯合競賽，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showpost.php?p=229485&postcount=5 連結已失效) 跟樓上一樣，佔個位置，買杯飲料~~~剛剛看到中女的公告，只有答案，沒有題目，實在很想由答案去編題目~~~~
可是看到成績公告，這麼難啊!!!!!!
順便第二題，三次函數對稱於反曲點。 嗯，這次的女中真的不太好寫 = =!!
跟她們97年那次比根本是...... >"<
既然沒公佈題目，那就自己回憶了
(?) 有 \(m\) 個偶數與 \(n\) 個奇數的總和是2012，求 \(?m+?n\) 的最大值為何？
(14) 有一個扇形，圓心角是60度，裡面內寫一個正方形，正方形兩個點在扇形兩半徑上，另外兩個點在圓周上，
求此正方形面積？
14題應該是最簡單的一題，原題有圖 ^^
話說，我一直搞不懂為什麼有的學校不公佈試題，
而且為什麼有計算題不公佈的不成文規定，
是怕被說有黑箱空間嗎？ (seriously)
回復 2# bugmens 的帖子
關於計算1. 用中央極限的方法來說個人覺得那樣做，僅有說明之效，而無證明之效
原因是，中央極限定理的陳述是談極限之情況，也就是 converge in distribution
而現在用無限近似有限，問題發生，有多近似？
當然，這點瑕疪，是可以用大學(或研究所)機率課的內容去補起來，但未免麻煩
98 高雄市聯招 [url=https://math.pro/db/thread-797-1-1.html]https://math.pro/db/thread-797-1-1.html[/url]
的證明 1，其實也類似於本題。
本題只要寫開，就會變成高雄市那題的樣子
\(\displaystyle C^{100}_{50}\cdot \frac{1}{2^{100}} = \frac{100!}{(2\cdot4\cdot6\cdots\cdot100)^2}=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots99}{2\cdot4\cdot 6\cdots100} \)
令 \( a = \) 上式
則 \(\displaystyle a^2< \frac{1^2}{2^2-1}\frac{3^2}{4^2-1}\cdots\frac{99^2}{100^2-1}=\frac{1}{101}<\frac{1}{100} \)
開方，得證。
但是這個手法，北一女那題就不能玩了。 幫忙回憶二題…
3P+4Q=A
P+Q=I
A為2*2的矩陣
A=[ 1 3
2 6 ]
A^7=aP+bQ 求 log 底12 1/(ab)
--------------------------------------------------------
也許線性代數中有類題，找時間查看看…
另外一題，
一長方體，給上面 對角線的 直線方式 及下面另一 對角線的 直線方式，求長方體面積?
這一題，我先求高(二鈄對角線的距離) 再利用向量相加、減來計算…二邊的向量…。再求底面積*高。 3^x-[(a-1)/3^x]=(a-3) 有實數解, 求a的範圍? (題目應該沒記錯) (其實, 我知道並不難, 但當時不知道為什麼一直做都是"無解" ? )
其實，就是t＝3^x是兩個正根的條件，對嗎？ [quote]原帖由 [i]mandy[/i] 於 2012-4-23 11:00 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5196&ptid=1327][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
3^x-[(a-1)/3^x]=(a-3) 有實數解, 求a的範圍? (題目應該沒記錯) (其實, 我知道並不難, 但當時不知道為什麼一直做都是"無解" ? ) [/quote]
你有沒有記錯題目? [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-4-23 11:24 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5197&ptid=1327][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
你有沒有記錯題目? [/quote]
除非我緊張看錯題目，請問有人記得題目嗎？
回復 9# mandy 的帖子
題目應該沒錯，我也記得是這樣，而且我也解無解。(我驗算兩遍)公布答案時，我以為我題目看錯(雖然覺得不太可能)。回復 7# mandy 的帖子
還沒算，不過應該是至少一正根就好回復 6# peter579 的帖子
A= 1 32 6
不過我怎麼算都算不出他們給的答案,還是我看錯A(???).
A的特徵多項式為t^2-7t=0,因此,A^2=7A
得到A^7=(7^6)A=(7^6)(3P+4Q),因此,a=3*(7^6),b=4*(7^6),
log(底12)1/ab=-log(底12)ab=-log(底12)12*(7^12) 女中跟南一中好像都沒公布題目...此風不可長啊
本周六小弟我會去文華努力把題目記下奶
到時候再跟大家一起分享 :D
上PTT看到的討論加進來…
: 40個參賽隊伍,求任選3隊至少有2隊對打過的情形有多少種?: 憑印象題目的意思大概如此~
: 請大大幫忙 感謝!
------------------------------
平分成兩邊 兩邊各20隊皆須連通
2*C(20,2) = 380
兩邊不平分成各為20隊時 答案皆大於380
故最少380種
回復 7# mandy 的帖子
我印象中，題目是3^x-{[2(a-1)]/3^x}=(a-3) 有實數解，分子a-1 前面還有一個數字2，這樣就能利用因式分解寫成 (3^x+2)[3^x-(a-1)]=0，解出3^x=a-1，-2(負不合)，所以a-1>0，a>1
頭一次在這邊回應，不知道這樣的解法對不對 ^^? 一直沒注意到題目公佈了
之前填充 11 一直算不出公佈的答案 580，而算出 579
不知道是否是答案錯誤，嘗試分析如下。
考慮 \( 5m + 12 n = 580 \) 之正整數解，
[size=3][table=50%][tr][td]m[/td][td]8 [/td][td]20 [/td][td]32 [/td][td]44 [/td][/tr][tr][td]n [/td][td]45 [/td][td]40 [/td][td]35 [/td][td]30 [/td][/tr][/table]
[/size]
當然後面還有，但後面的光偶數和就超過 2012 了剩下的，來檢驗一下
\( (m,n)=(8,45) \) 這組，45 個最小正奇數的和為 \( \frac{1+89}{2}\cdot 45= 2025 \) 超過 \( 2012 \)
\( (m,n)=(20,40) \), 最小的奇偶數和為 \( 20\cdot 21 + 40^2 =2020 \)
\( (m,n)=(32,35) \), 最小的奇偶數和為 \( 32\cdot 33 + 35^2 =2281 \)
而 \( (m,n)=(44,30) \) 這組，44 個最小正偶數的和為 \( \frac{2+88}{2}\cdot 44 = 44^45 = 1980 \) 再加上 30 個最小正奇數和 \( 900 \)
所以 580 這個數字，根本沒在值域裡，更何況最大值乎？！
而 579，可以找到 \( (m,n)=(15,42) \) 此時，最小奇偶數和為 \( 15\cdot 16 + 42^2= 2004 \)
再將其中一個奇數或偶數，換成大一點的，如把 30 換成 38，這樣和就剛好 2012 了
以上，如有錯誤，麻煩指正，謝謝 填充13題缺想法
請教大家
回復 17# cplee8tcfsh 的帖子
填充第 13 題：\(\displaystyle\tan\left(\alpha_2-\alpha_1\right)=\frac{\tan\alpha_2-\tan\alpha_1}{1+\tan\alpha_2\tan\alpha_1}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \tan30^\circ=\frac{\tan\alpha_2-\tan\alpha_1}{1+\tan\alpha_2\tan\alpha_1}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \tan\alpha_1\tan\alpha_2=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_2-\tan\alpha_1\right)\)
同理可得下列各式
\(\displaystyle \tan\alpha_2\tan\alpha_3=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_3-\tan\alpha_2\right)\)
\(\displaystyle \tan\alpha_3\tan\alpha_4=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_4-\tan\alpha_3\right)\)
‧‧‧‧‧且
\(\displaystyle \tan\alpha_{12}\tan\alpha_1=-1+\sqrt{3}\left(\tan\alpha_1-\tan\alpha_{12}\right)\)
上列各式相加，可得
\(\displaystyle\tan\alpha_1\tan\alpha_2 +\tan\alpha_2\tan\alpha_3 + \tan\alpha_3\tan\alpha_4+\cdots +\tan\alpha_{12}\tan\alpha_1 =-12.\) 昨天 拿到 官方版 題目
今天 期中考 監考 無聊 寫了一些
再加上 版上的討論
整理後 如 附件 請參考
如有 謬誤 還請 指正
(一修)原填充16題 解法有誤,已修正
回復 19# cplee8tcfsh 的帖子
第 12 題：設兩矩陣\(P\)、\(Q\)滿足\(\cases{3P+4Q=A \cr P+Q=I_2}\)，其中\(A=\left[\matrix{1&-3 \cr 2&6} \right]\)，\(I_2=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)，若\(A^7=aP+bQ\)，則\(log_{12}\frac{1}{ab}=\)[u] [/u]。
[解答]
彬爸的第 12 題解法好神~讚！
小弟提供一個比較凡人的做法~~
\(det(A-xI)=0\Rightarrow x^2-7x+12=0\Rightarrow (x-3)(x-4)=0\)
令 \(x^7=(x-3)(x-4)q(x)+(mx+n)\)
\(x=3,4\) 帶入上式，可解得 \(m=4^7-3^7, n=4\cdot3^7-3\cdot4^7\)
因此，\(A^7=mA+nI=(4^7-3^7)(3P+4Q)+(4\cdot3^7-3\cdot4^7)(P+Q)=3^7\cdot P+4^7\cdot Q\)
\(\Rightarrow a=3^7, b=4^7\)
今天學校也期中考，小弟也邊監考邊寫這張～哈！
另外，第 6 題，我是令 \(p=\log_3 x, q=\log_3 y\)，
然後再用線性規劃，找 \(1+2p+q\) 最大值與最小值～再處理之。