101中科實中（含計算1）
今天下午去考的，計算題乘著還有印象先寫下來 :D(1)拋物線：\( y^{2}=4cx \) ，O為拋物線頂點， 直線L與拋物線交於兩點A、B，且\(\angle AOB=90^\circ\) ，證明：L必過P(4c,0) [七分]
(2)過P(2,1)做直線L交拋物線：\(y=\frac{1}{5}x^{2} \)於A、B兩點，且\(\angle AOB=90^\circ\)，求L方程式。[三分]
(1)我是利用參數式，假設\(A(ct^{2},2ct)\)、\(B(cs^{2},2cs)\)，然後用OA垂直OB得到t與s的關係，再用兩點式寫出L的方程式，y=0帶入解出x=4c，得證。
(2)就是利用(1)的結果，將數字代入。
[weiye 於 101.04.08, 18:23 附加上中科實中公布的試題與解答] 題目分配總數：一. 單選題 10 題 二. 填充題 15 題 三.計算題 1 題 (1)(2) 小題
填充15題
[attach]982[/attach]
如圖，滿足 \( \frac{\overline{AG}}{\overline{GD}} + \frac{\overline{BG}}{\overline{GE}} + \frac{\overline{CG}}{\overline{GF}} =2012 \)
求 \( \frac{\overline{AG}}{\overline{GD}} \cdot \frac{\overline{BG}}{\overline{GE}} \cdot \frac{\overline{CG}}{\overline{GF}} \)
編號的字母可能不太一樣
填充 1x
\( a,\, b>0\) (印象中)
\(A=\sqrt{a^{2}+b^{2}-\sqrt{2}ab}\), \(B=\sqrt{49+a^{2}-7\sqrt{20}}\), \(C=\sqrt{64+b^{2}-8\cdot\sqrt{3}}b\)求 \(A+B+C\) 的最小值。
註：猜測題目的 \(C\) 打錯了，裡面應該有 \(a\)，改成 \(\sqrt{49+a^{2}-7\cdot\sqrt{2}a}\) 可能是原本正確的題意。
填充 1x
\( f(x)=(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})^{11}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots+a_{44}x^{44}\)，求 \(a_{6}\)。
填充 x (超眼熟的題目，考前一天做100基隆高中，才做到)
\( f(x) \) 是一個 98 次多項式，且滿足 \( f(n) =\frac{1}{n}\), \( n=1,2,3,\ldots, 99 \)，求 \( f(100) \) [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-4-7 10:28 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5038&ptid=1318][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
題目分配總數：一. 單選題 10 題 二. 填充題 15 題 三.計算題 1 題 (1)(2) 小題
填充15題
982
如圖，滿足 \( \frac{\overline{AG}}{\overline{GD}} + \frac{\overline{BG}}{\overline{GE}} + \) ... [/quote]
填充15
右圖中，\(P\)為三角形\(ABC\)內部一點，已知\( \displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{PD}}+\frac{\overline{BP}}{\overline{PE}}+\frac{\overline{CP}}{\overline{PF}}=2012 \)，試求\( \displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{PD}}\times \frac{\overline{BP}}{\overline{PE}}\times \frac{\overline{CP}}{\overline{PF}}= \)[u] [/u]。
[解答]
假設三角形PBC面積為a,PCA面積為b,PAB面積為c
依題意及三角形相似性質得(b+c)/a +(c+a)/b+(a+b)/c=2012
所求=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc)
=[(b+c)/b][(c+a)/c][(a+b)/a]
=(1+c/b)(1+a/c)(1+b/a)
=(1+c/b+a/c+a/b)(1+b/a)
=1+c/b+a/c+a/b+b/a+(c/b)(b/a)+(a/c)(b/a)+(a/b)(b/a)
=1+c/b+a/c+a/b+b/a+c/a+b/c+1
=2+(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c
=2+2012
=2014
回復 2# tsusy 的帖子
那題多項式f(x),會是求a_44 嗎?很明顯a_44=1
回復 4# Ellipse 的帖子
手殘，打錯，已修正，感謝！ [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-4-7 11:28 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5041&ptid=1318][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url][/quote]
可能可以用生成函數做
不過我用多項式來處理
假設展開後一般項為 [11!/(a!b!c!d!e!)] *(1)^a*(x)^b*(x^2)^c*(x^3)^d*(x^4)^e
且a+b+c+d+e=11,b+2c+3d+4e=6,其中a,b,c,d,e為非負整數.
可分(a,b,c,d,e)=(5,6,0,0,0) ,(6,4,1,0,0) ,(7,2,2,0,0) ,(8,0,3,0,0) ,(7,3,0,1,0) ,(8,1,1,1,0) ,(9,0,0,2,0) ,(8,2,0,0,1),(9,0,1,0,1)共九組
所求係數
=11!/(5!*6!) +11!/(6!*4!) +11!/(7!*2!*2!)+11!/(8!*3!)+11!/(7!*3!)+11!/8!+11!/(9!*2!)+11!/(8!*2!)+11!/9!
=7887 我不會用網頁寫數學式子..所以用貼的..
先恭喜大家了..應該不會0分
[attach]983[/attach]
可參詳99中壢一招的計算題
[[i] 本帖最後由 ichiban 於 2012-4-8 01:24 AM 編輯 [/i]] 填充第14題
多項式\(f(x)\)，已知\( deg f(x)=98 \)，\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \)\( (k=1,2,3,\ldots,99) \)，試求\( f(100)= \)[u] [/u]。
解法：
\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \)
\( kf(k)-1=0 \)
令\( F(x)=xf(x)-1 \)
我們已經知道\( F(x) \)為99次多項式且\( F(k)=0 \)，當\( k=1,2,3,\ldots,99 \)
所以\( F(x)=xf(x)-1=a(x-1)(x-2)\ldots (x-99) \)
\( \displaystyle F(0)=-1=a \cdot (-1)99 ! \Rightarrow a=\frac{1}{99} \)
\( \displaystyle F(100)=100f(100)-1=\frac{1}{99!}\cdot 99!=1 \)
\( 100f(100)=2 \)
\( \displaystyle f(100)=\frac{1}{50} \) 9.
設a,b為正實數，\( A=\sqrt{a^2+b^2-\sqrt{2}ab} \)，\( B=\sqrt{49+a^2-7 \sqrt{2} a} \)，\( C=\sqrt{64+b^2-8 \sqrt{3} b} \)，則\( A+B+C \)之最小值？
\( \forall x>0,y>0 \)，\( \sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{y^2-3y+3}+\sqrt{x^2-\sqrt{3}xy+y^2} \ge \sqrt{6} \)
(99中壢高中，[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=951&page=2#pid2371]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=951&page=2#pid2371[/url])
14.
f(x)為98次多項式，而\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{k} \)，當\( k=1,2,3,...,99 \)，求f(100)
(奧數教程 高一 第20講構造函數解題)
(100基隆高中，[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108[/url]) 「中科實中中部科科第一」，相同字不相鄰有幾種排法？
走20階樓梯，每次只能走2階或是3階，不走第8階，但是要走第12階的走法有幾種？ 填充第13題
設有一階梯共有20階，每次只能走2階或3階，第8階階梯壞掉不能踩且必須踩上第12階的上樓方法數=[u] [/u]。
[attach]987[/attach]
這是本來的題目嗎?
我好像眼拙,送他四分了...qq
回復 11# ichiban 的帖子
遞迴不難做，但要注意第八項為 0，遞迴關係為 \( a_{n+3} =a_{n+1}+a_n \)
從 1-12 分別為 0,1,1,1,2,2,3,0,5,3,5,8
之後再做 13-20 0,1,1,1,2,2,3,4
其實和 1-12 一樣
所以答案是 \( 8 \times 4 =32 \)
但是我也眼殘，沒看到 20 ，印象中我只算到 12階 填充:袋中有號碼球120個 ,第ｉ號球有ｉ個, i= 1~15 , 取一球後放回,記錄其號碼與ｎ之差的絕對值,求差的絕對值之期望值最小時的ｎ=?
(題目大概記的是這樣),
選擇１０: (cos10度)^2+(cos50度)^2-(sin40度)(sin80度)=?
請問走樓梯的問題: 為什麼走到12階的方法數會等於走到20階的方法數一樣呢?
已修正題目,謝謝 !!
[[i] 本帖最後由 mandy 於 2012-4-8 06:57 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]mandy[/i] 於 2012-4-8 09:27 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5050&ptid=1318][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充:袋中有1~120號球,第ｉ號球有ｉ個,取一球後放回,記錄其號碼與ｎ之差的絕對值,求差的絕對值之期望值最小時的ｎ=?
(題目大概記的是這樣),
選擇１０: (cos10度)^2+(cos50度)^2-(sin40度)(sin80度)=?
請問走樓梯的問題: ... [/quote]
我記得是共有120顆球，第1號到第15號，第ｉ號球有ｉ個，其他同上。
這題我猜中位數，不知道對不對...XD [quote]原帖由 [i]mandy[/i] 於 2012-4-8 09:27 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5050&ptid=1318][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充:袋中有1~120號球,第ｉ號球有ｉ個,取一球後放回,記錄其號碼與ｎ之差的絕對值,求差的絕對值之期望值最小時的ｎ=?
(題目大概記的是這樣),
選擇１０: (cos10度)^2+(cos50度)^2-(sin40度)(sin80度)=?
請問走樓梯的問題: ... [/quote]
選擇第10題
求值：\( cos^2 10^{\circ}+cos^2 50^{\circ}-sin40^{\circ}sin 80^{\circ}= \)？
(A)\( \displaystyle \frac{1}{2} \) (B)\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \) (C)\( \displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{5} \) (D)\( \displaystyle \frac{3}{4} \) (E)\( \displaystyle \frac{5}{6} \)。
[解答]
\( cos^2 10^{\circ}+cos^2 50^{\circ}-sin40^{\circ}sin 80^{\circ} \)
\( \displaystyle =\frac{cos 20^{\circ}+1}{2}+\frac{cos 100^{\circ}+1}{2}-\frac{1}{2}\left[ cos(40^{\circ}-80^{\circ})-cos(40^{\circ}+80^{\circ}) \right] \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}+cos100^{\circ}-cos40^{\circ}}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}-(cos80^{\circ}+cos40^{\circ})}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}-2cos60^{\circ} \cdot cos 20^{\circ}}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}-cos20^{\circ}}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{3}{4} \)
回復 15# Ellipse 的帖子
回程的路上，想到，這題其實可以用立方和加三倍角公式做，如下\(\displaystyle \cos^{2}10^{\circ}+\cos^{2}50-\cos50^{\circ}\cos10^{\circ}=\frac{\cos^{3}10^{\circ}+\cos^{3}50^{\circ}}{\cos10^{\circ}+\cos50^{\circ}}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{4}\cdot\frac{4\cos^{3}10^{\circ}+4\cos^{3}50^{\circ}}{\cos10^{\circ}+\cos50^{\circ}}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{4}\frac{4\cos30^{\circ}+4\cos150^{\circ}+3(\cos10^{\circ}+\cos50^{\circ})}{\cos10^{\circ}+\cos50^{\circ}}\)
\(\displaystyle=\frac{3}{4}\)
回復 3# Ellipse 的帖子
實在厲害...來補上自己的考試中未竟之功...考試中一直在想特殊化，用特例帶數字，但一直想正三角。
但其實直角三角形才會好算。
特例：令 \( A(0,0), B(2,0), C(0,2), D(1,1), G(t,t)\)， \( t \) 待決定，以滿足題目條件。
則邊長比積和可表示為 \(\displaystyle \frac{t}{1-t}+\frac{2-t}{t}+\frac{2-t}{t}=2012\)
整理成 \( \Rightarrow t^{2}+2(2-t)(1-t)=2012(1-t)t\Rightarrow2015t^{2}-2018t+4=0\)。
邊長比的積 \(\displaystyle \frac{(2-t)^{2}}{(1-t)t}=\frac{t^{2}-4t+4}{t-t^{2}}\times\frac{2015}{2015} \)
\(\displaystyle =\frac{2018t-4-8060t+8060}{4-3t}=\frac{-6042t+8056}{-3t+4}=2014 \)。
不過這樣的作法，也只能用在填充題上而已，有沒有更漂亮簡單的特例呢？ 選擇10
以前PO過的作法
\(\displaystyle \cos^2{10^o}+\cos^2{50^o}-\cos{50^o}\cos{10^o} \)
\(\displaystyle =\sin^2{80^o}+\sin^2{40^o}-2\sin{80^o}\sin{40^o}\cos{60^o} \)
\(\displaystyle =\sin^2{60^o} \) \( (cos10^o)^2+(cos50^o)^2-(sin40^o)(sin80^o)= \)？
(1991中國高中數學聯賽)
[解答]
改計算\( (sin80^o)^2+(sin40^o)^2-(sin40^o)(sin80^o) \)
可以看成半徑為\( \displaystyle \frac{1}{2} \)圓上的三角形ABC
\( ∠A=80^o \)，\( ∠B=40^o \)，\( ∠C=60^o \)
由正弦定理可知
\( \overline{BC}=sin80^o \)，\( \overline{CA}=sin40^o \)，\( \overline{AB}=sin60^o \)
由餘弦定理可知
\( \overline{AB}^2=\overline{BC}^2+\overline{CA}^2-2 \times \overline{BC} \times \overline{CA} \times cos60^o \)
\( \displaystyle (sin60^o)^2=(sin80^o)^2+(sin40^o)^2-2 \times sin40^o \times sin80^o \times \frac{1}{2} \)
\( \displaystyle \frac{3}{4}=(sin80^o)^2+(sin40^o)^2-(sin40^o)(sin80^o) \)
晚了一步 \( \Large{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\Huge{\frac{\frac{2x}{1-x^2}+\frac{3x-x^{3}}{1-3x^2}}{1-\frac{2x}{1-x^2}\frac{3x-x^{3}}{1-3x^2}}} \) 求x的最大值(x有給定範圍，忘記了sorry)
[[i] 本帖最後由 t3712 於 2012-4-8 05:33 PM 編輯 [/i]]