回復 38# weiye 的帖子
謝謝瑋岳老師，我了解了。 潛水這麼多天了本來想說把詳解全部寫一寫後再一起貼上來
最後想想，很多簡單的題目應該不需要貼了
所以，我把一些跟其它前輩不一樣的解法貼出來
還有一些是版上未貼出詳解的題目一併貼出，與各位分享
因為我也受過很多版上前輩的幫忙
尤其是瑋岳學長
(其實他算是我「師兄」，我研究所上課的時候是上他的論文，哈哈 ^^!!)
所以雖然小弟實力微薄，但還是跟各位分享一些心血
【註：weiye 於 101.04.11 協助幫圖檔打包成附加檔案，以避免未來連結丟失。：Ｄ 感謝 poemghost 提供的漂亮解法！！】
回復 42# poemghost 的帖子
解的真的很漂亮 :D 感謝您 真感恩多位協助解題的老師們，想請教填充11題，感恩三次曲線\(y=x^3+ax^2+x+1\)，若由原點可作三條相異之切線，試求實數\(a\)的範圍為[u] [/u]。
回復 44# natureling 的帖子
填充第 11 題：令 \(f(x)=x^3+ax^2+x+1\)，則 \(f\,'(x)=3x^2+2ax+1\)
設通過原點的切線與 \(y=f(x)\) 切於 \((x_0,y_0)\)
則 \(\displaystyle f\,'(x_0)=\frac{y_0-0}{x_0-0}\) 且 \(y_0=f(x_0)\)
\(\displaystyle\Rightarrow 3x_0^2+2ax_0+1=\frac{y_0}{x_0}\) 且 \(y_0=x_0^3+ax_0^2+x_0+1\)
\(\Rightarrow x_0\left(3x_0^2+2ax_0+1\right)=x_0^3+ax_0^2+x_0+1\)
\(\Rightarrow x_0\left(3x_0^2+2ax_0+1\right)=x_0^3+ax_0^2+x_0+1\)
\(\Rightarrow 2x_0^3+ax_0^2-1=0\)
令 \(g(x)=2x^3+ax^2-1\)，
\(g\,'(x)=6x^2+2ax=0\Rightarrow x=0\) 或 \(\displaystyle x=\frac{-a}{3}\)
依題意，可知 \(g(x)=0\) 有三相異實根，
所以，\(\displaystyle g(0)\cdot g(\frac{-a}{3})<0\)
\(\Rightarrow a>3.\)
相似類題：請參見 99台中二中填充第 5 題 [url=https://math.pro/db/thread-934-1-1.html]https://math.pro/db/thread-934-1-1.html[/url] 填充題感覺上有很多都是高中數學競賽題，無聊去翻了一下，才發現
題充一，95年台中區筆試二第一題；
題充二，95年高屏區筆試二第三題；
題充六，95年台中區筆試一第一題；
題充七，95年台中區筆試一第二題；
題充八，95年高屏區筆試一第三題；
這......是出題老師正好做到95年份的嗎??
還有幾題也應該都在高中競賽裡面出現過。
比較想說的是填充八，原題是
設\( a \)為正整數，\( x \)為實數且滿足\( 1 \le x \le a \)，試求滿足方程式
\(\displaystyle 2x^2-[2x^2]=2(x-[x])^2 \)的解，其個數有多少?
(註表示不大於\( b \)的最大整數)。
這題參考解答給錯了，中科的出題者也有發現，所以改成求\( 1 \le x <2 \)的解，
如果犯跟高屏區相同的錯誤，就會寫出4個。
我的作法是:
令\( [x]=n \)，那麼\( x=n+\alpha \)
\( 2x^2=2n^2+4n\alpha+2\alpha^2 \)
再設\( M=[2x^2] \)
就要滿足\( 2n^2+4n\alpha+2\alpha^2-M=2\alpha^2 \)
\( 4n\alpha=M-2n^2 \in Z \)
但是\( 2\alpha^2=2x^2-[2x^2]<1 \)
所以在\( 1 \le x <2 \)只有\(\displaystyle \frac{4}{4},\frac{5}{4},\frac{6}{4} \)滿足。
至於一般情況，我用excel算了一下，發現沒啥規則，
或許這是個科展的好題目，但是我想那不是我能夠掌握的東西。
[[i] 本帖最後由 老王 於 2012-4-13 09:08 AM 編輯 [/i]]
回復 6# Ellipse 的帖子
請問填充第10題有沒有比較不容易算錯的算法?找出a+b+c+d+e=11,b+2c+3d+4e=6的非負整數解,很容易miss掉一些
不知道生成函數是怎麼做?
是像第3頁tsusy那樣做嗎? 怎麼想到的阿?
回復 47# pizza 的帖子
如 Pacers31 在第 25 篇的回覆，用 H 比較快。 剛剛突然想到我貼的填充13中的第一階段應該是寫 \(f(12)-f(8)f(4)\) 才對怕大家誤會只要扣掉 \(f(8)\) ，所以上來澄清一下 ^^ 請教一個小地方
填充第一題
N點不算NQ線段與球面的交點嗎?
謝謝
回復 50# johncai 的帖子
算，這是題目的小 bug.... 哈。
想請教選擇2
想請教選擇2謝謝感激不盡
某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比(以下簡稱為「知名度」)。結果如下：在 95%信心水準之下，該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為 [ 0.50 , 0.58 ]、[ 0.08 , 0.16 ]。試問下列哪些選項是正確的？
(A)甲地本次的參訪者中， 45%的人聽過該產品
(B)此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數
(C)此次調查結果可解讀為：甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於95%
(D)若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有95% 的機會落在區間[ 0.08 , 0.16 ]
(E)經密集廣告宣傳後，在乙地再次進行民調，並增加參訪人數達原人數的四倍，則在 95%信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半(即0.04)
回復 52# WAYNE10000 的帖子
98學測，多選第9題 ^^ 考多久??回復 52# WAYNE10000 的帖子
Google "我有95%信心說98學測數學第九題得分了嗎"試題參考解答
將大家的精華收集其來寫成自己看得懂的樣子~~
順便
希望有貢獻
請教計算的證明
(證明沒有有理根那題)要如何做分類呢? 想請教一下如果"中科實中中部科科第一"那題...
如果改成這樣AAABBCCDEF同字不相鄰
是否可以仿照之前poemghost老師的做法.分成
(1)"AAA" 相鄰
(2)"AA"相鄰 與 "A"
(3) "A" , "A", "A"
然後討論把B或C插入
我做了..但答案不對?(正解:47760)
ps:這題是99文華..我有看到板上利用AAA不相鄰-AAA不相鄰BB相鄰-AAA不相鄰CC相鄰+AAA不相鄰BB相鄰CC相鄰
但只是覺得這兩題很像..不知道是否能用相同的做法一以貫之..
還請知道的老師不吝指教...謝謝^_^
回復 58# idontnow90 的帖子
[list=1][*][align=left]AAADEF 三A相鄰有 \(4!\) 種排法[/align][/list]
[indent]AAADBEBF \(C_{2}^{5}\times1\)[/indent][indent] AAADEFBB \(5\times0\)[/indent][indent] AABADEFB \((2\cdot5)\times8\)[/indent][indent]ABABADEF \(C_{2}^{2}\times C_{2}^{9}\)[/indent]
[indent] AABBADEF \(2\times C_{2}^{2}\)[/indent]
[indent]以上 \( \times \) 前方代表 2B 的插入方法數，後方則是2B插入後2C再插入的方法數[/indent]
[indent]故此類有 AAADEF \(4!\times(10+80+36+2)=3072\)[/indent]
[list=1][*]AADEFA 2A相鄰但3A不相鄰 \(3!\cdot4\cdot3\)[/list]
[indent]AADEFBAB \(C_{2}^{6}\times8\)[/indent]
[indent]AADEFABB \(6\times C_{2}^{2}\)[/indent]
[indent]ABADEFAB \(6\times C_{2}^{9}\)[/indent]
[indent]ABBADEFA \(1\times8\)[/indent]
[indent]故此類有 \( (3!\cdot4\cdot3)\times(120+6+216+8)=25200 \)[/indent]
[list=1][*]ADAEAF \(3!\cdot C_{3}^{4}\)[/list]
[indent]ADAEAFBB \(7\times8\)[/indent]
[indent]ADAEABFB \(C_{2}^{7}\times C_{2}^{9}\)[/indent]
[indent]故此類有 \((3!\cdot C_{3}^{4})\times(56+21\cdot36)=19488\)[/indent]
綜合以上三類共有 \(3072+25200+19488=47760 \)
以上做完，其實比取捨原理的麻煩多了 謝謝寸絲老師...看來這樣真的不是普通的複雜...