證明內擺線
將小圓在大園內沿著圓周滾動, 若滾動圓半徑是固定圓半徑的一半，則所得的內擺線是什麼？答案是直徑, 請問如何證明? [quote]原帖由 [i]mandy[/i] 於 2012-3-9 10:45 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4881&ptid=1304][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]將小圓在大園內沿著圓周滾動, 若滾動圓半徑是固定圓半徑的一半，則所得的內擺線是什麼？答案是直徑, 請問如何證明? [/quote]
建立坐標系
假設大圓的圓心為(0,0) ,半徑為1
小圓的半徑=r
( r>0:小圓在大圓外;r<0:小圓在大圓內, |r|<1,r不為0)
令P1=((1+r)cost,(1+r)sint) 表示小圓的圓心 ( 0<=t<=2Pi)
令P2=P1 - (r*cos((1+r)t/r) ,r*sin((1+r)t/r) )表示在小圓上一點(從(1,0)開始)沿著大圓周圍所滾動的軌跡點
若滾動小圓的半徑是固定大圓半徑的一半,且小圓在內
表示r=-1/2代入P1,P2
得P1=(cost/2 ,sint/2)
P2=P1-(-cos(-t)/2,-sin(-t)/2)
=(cost/2 ,sint/2)-(-cost/2,sint/2)
=(cost,0)
其中-1<=cost<=1
所以P2表示從(1,0)到(-1,0)水平線段的軌跡
而此線段代表大圓的水平直徑.
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感謝 Ellipse 老師提供動態圖檔展示（請點下面的連結）～[url=http://dl.dropbox.com/u/2858103/mathpro/%E5%85%A7%E5%A4%96%E6%93%BA%E7%B7%9A%E5%95%8F%E9%A1%8C%28%E5%B0%8F%E5%9C%93%E5%8D%8A%E5%BE%91%E6%98%AF%E5%A4%A7%E5%9C%93%E7%9A%84%E4%B8%80%E5%8D%8A%29.gif][color=Red]→→點此可看動態圖展示←←[/color][/url]（檔案有點大，點下之後請稍待。）
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