請教兩題1.求線段比 2.拋物線與圓上點的最短距離
請教兩題(1) 在ΔABC的 BC上取D,E兩點,使得BD=DE=EC 。又在AB 上取一點G,使得AG=2*GB 。設F為AC之中點,而DF 與 EG交於H,求EH:HG
(2) 設P為拋物線y^2 =4x上一點,Q為圓(x–3)^2+y^2 = 1上一點,求PQ 之最小值及此時Q點的坐標
謝謝
回復 1# arend 的帖子
題目：(1) 在ΔABC的 BC上取D,E兩點,使得BD=DE=EC 。又在AB 上取一點G,使得AG=2*GB 。設F為AC之中點,而DF 與 EG交於H,求EH:HG解答：
[attach]952[/attach]
若將 \(F\) 與 \(\overline{DE}\) 的中點 \(I\) 連線，顯然 \(\overline{AB}//\overline{FI}\)
因此，\(\overline{FD}\) 與 \(\overline{AB}\) 的延長線會有交點，
[attach]953[/attach]
設 \(\overline{FD}\) 與 \(\overline{AB}\) 的延長線交於點 \(P\)，
[attach]954[/attach]
如上圖，用孟氏定理（式子就不詳列了）
可得 \(\overline{AB}=\overline{BP}\Rightarrow\overline{BP}=3\overline{BG}\)
[attach]955[/attach]
如上圖，用孟氏定理（式子就不詳列了）
可得 \(\overline{EH}:\overline{HG}=3:4.\)
註：另外也可以坐標化，或是用向量，也是好方法。
回復 1# arend 的帖子
題目：(2) 設P為拋物線y^2 =4x上一點,Q為圓(x–3)^2+y^2 = 1上一點,求PQ 之最小值及此時Q點的坐標分析：
設 \((x–3)^2+y^2=1\) 的圓心為 \(O\)，
[attach]956[/attach]
對於任意的動點 \(P\)，當 \(Q\) 位在 \(\overline{OP}\) 與圓的交點上時，
\(\overline{PQ}\) 會有最小值為 「\(\overline{OP}-\mbox{圓的半徑}\)」。
因此只要先找拋物線上哪點距離圓心 \(O\) 最接近就可以了。
答案：
[attach]957[/attach]
設 \((x–3)^2+y^2=1\) 的圓心為 \(O\)，
拋物線上動點 \(P(t^2, 2t)\)，其中 \(t\) 為實數，
\(\displaystyle \overline{OP}^2=(t^2-3)^2+(2t-0)^2=t^4-2t^2+9=\left(t^2-1\right)^2+8\)
因此，當 \(\displaystyle t^2=1\)，即 \(\displaystyle t=\pm1\) 時，
\(\overline{OP}\) 會有最小值為 \(2\sqrt{2}\)，
此時 \(Q\) 位在 \(\overline{OP}\) 與圓 \((x–3)^2+y^2=1\) 的交點上，
亦會使得 \(\overline{PQ}\) 有最小值。
當然，已知 \(O,P\) 點坐標，也知道 \(\overline{OP}, \overline{OQ}\) 的長度，
就可以利用分點公式，得 \(Q\) 點坐標了。
回復 3# weiye 的帖子
謝謝瑋岳老師第一題我沒想到用延長線
感激不盡 感謝瑋岳老師
小弟我也獲益良多^^
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