2012AMC10
其中23題把 [color=red]項圈排列[/color] 應用在網路連結上，頗有新意!23.
a,b,c,d,e,f 六人都有網路帳號，他們之中有一些人(但不是全部)彼此是網路上的朋友，且他們除了這群人以外都沒有其他的網路朋友。如果每一個人都有一樣多個網路朋友，則總共有多少不同的組成方式?
假設每人都恰有 k 位朋友的組成方式有 f(k) 種
則
f(1)=\(\displaystyle \frac{C^6_2C^4_2C^2_2}{3!}=15\)
f(2)=\(\displaystyle \frac{6!}{6\times2}+\frac{C^6_3C^3_3}{2!}=60+10=70\)
f(3)=f(2)=70
f(4)=f(1)=15
所求=15+70+70+15=170
101.2.25版主補充
將題目重新打字，若網友還有剩下題目的照片檔
可以將照片上傳至[url=http://imgur.com/]http://imgur.com/[/url]後再發訊息給我
讓這份試題更加完整
101.4.22版主補充
感謝Joy091提供完整題目，我已將題目重新打字
請重新下載2012AMC10.rar
回復 1# Joy091 的帖子
請問附件中的第25題該數何解？？回復 2# 沙士 的帖子
第25題先看兩個變數 \(x,y\)，
滿足 \(x,y\) 都在 \([0,n]\) 區間，且 \(|x-y|\geq 1\) 的點 \((x,y)\) 所在區域圖形～如附件中上方圖的陰影區域，
此兩個三角形的陰影區域可以拼成一個邊長為 \(n-1\) 的正方形。
再來看空間中，滿足 \(x,y,z\) 都在 \([0,n]\) 區間，且 \(|x-y|\geq 1, |y-z|\geq1, |z-x|\geq1\) 的點 \((x,y,z)\) 所在區域又是在哪裡呢？
先畫一個邊長為 \(n\)，其中一個頂點放在原點、與原點相交的三條稜線緊貼 \(x,y,z\)軸的正立方體，
扣掉 \(x-y=1, x-y=-1\) 兩平面所圍的區域，
再扣掉 \(x-z=1, x-z=-1\) 兩平面所圍的區域，
再扣掉 \(z-y=1, z-y=-1\) 兩平面所圍的區域，
剩下的部分可以拼成一個邊長為 \((n-2)^3\) 的正立方體。
（如附件中的右下方的圖）
因此，在已知 \(x,y,z\) 都在 \([0,n]\) 區間的條件下，
任取三數 \(x,y,z\) 都會滿足 \(|x-y|\geq 1, |y-z|\geq1, |z-x|\geq1\) 的機率為 \(\displaystyle \frac{\left(n-2\right)^3}{n^3}\)
依題意，\(\displaystyle \frac{\left(n-2\right)^3}{n^3}>\frac{1}{2}\Leftrightarrow n^3-12n^2+24-16>0\)
令 \(f(n)=n^3-12n^2+24-16\)，檢查可得 \(f(1)<0,\, \cdots,\, f(7)<0,\, f(8)<0,\, f(9)<0,\, f(10)>0\)
因此，滿足 \(f(n)>0\) 的最小正整數為 \(10\) weiye老師實在是太用心了
給你按個讚! weiye有些地方寫錯了，\( x-y=-1 \)，\( x-y=1 \)，\( (n-2)^3 \)等
我將立體圖做成動畫，能看出為什麼重新組合後會是個立方體
[attach]940[/attach]
附上中英文題目，讓更多網友也能搜尋到這篇
從區間[0,n]中隨意取出三個實數x, y及z, 其中n為某正整數。若x, y, z中沒有兩數之差的絕對值小於1的機率大於\( \displaystyle \frac{1}{2} \)，則n的最小值為何？
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10 (E)11
Real numbers x,y, and z are chosen independently and at random from the interval [0,n] for some positive integer n. The probability that no two of x,y and z are within 1 unit of each other is greater than \( \displaystyle \frac{1}{2} \). What is the smallest possible value of n?
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10 (E)11
Art of Problem Solving: 2012 AMC 10 A #25
[url]http://www.youtube.com/watch?v=HOtyh9qycrI[/url]
回復 5# bugmens 的帖子
哈哈～對耶，打太快都沒注意到自己很多小筆誤～已修正～感謝！：Ｐ 謝謝樓上的各位老師解惑~~~orz 可以請教一下第20題嗎?回復 8# kaline 的帖子
20題. 考慮以下四種情況黑→白，結果：黑
黑→黑，結果：黑
白→黑，結果：黑
白→白，結果：白
中心的上下左右，依順時針或逆時針[color=Red]環排[/color]，只要沒有兩白相鄰，經過那樣的操作就是變成四個全黑；但只要兩白相鄰，經過操作後，至少還一個是白的
四個角落亦同。
4黑 + 3黑1白+ 2黑2白，並且白色錯開的機率為 \( \frac{1+4+2}{16} = \frac{7}{16} \)
故所求為 \( (\frac{7}{16})^2\cdot\frac12 = \frac{49}{512} \)
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