100高師大附中代理
因為有朋友問當中的題目，解完順便放上來。：）註：感謝 Ellipse 補充～第二題的答案應該為 [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sqrt%285%29%2Bsqrt%282%29%29%5E6]2366[/url] ，而非 2365. 第一題
試求\(\left[\sqrt{2011\times 2010\times 2009\times2008+1}-(2009)^2\right]^{2011}\)的個位數字。
[解答]
令 \(x=2009\)，
則 \(2011\times2010\times2009\times2008-1=(x+2)(x+1)x(x-1)+1=(x^2+x-1)^2\)
所以所求＝\((x-1)^{2011} = 2008^{2011}\equiv 8^{2011}\pmod{10}\)
剩下用同餘處理～應該就沒有問題了！：）
第 12 題
如右圖，在\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=425\)，\(\overline{BC}=450\)，\(\overline{CA}=510\)，\(P\)為\(\triangle ABC\)內一點，\(\overline{DE},\overline{FG},\overline{HI}\)都過\(P\)點，且分別平行\(\overline{AC},\overline{BC},\overline{AB}\)，若\(\overline{DE}=\overline{FG}=\overline{HI}=d\)，則\(d=\)？
[img]http://i.imgur.com/hYGAT.png[/img]
解答：
設 \(\overline{BH}=x, \overline{HE}=y, \overline{EC}=z\)，
因為 \(\triangle IHC\) 與 \(\triangle ABC\) 相似，所以 \(\displaystyle \frac{\overline{HC}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{IH}}{\overline{AB}}\Rightarrow \frac{y+z}{x+y+z}=\frac{d}{425}\)
因為 \(\triangle DBE\) 與 \(\triangle ABC\) 相似，所以 \(\displaystyle \frac{\overline{BE}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{AC}}\Rightarrow \frac{x+y}{x+y+z}=\frac{d}{510}\)
因為 \(\displaystyle \overline{GF}=\overline{GP}+\overline{PF}=\overline{BH}+\overline{EC}\)，所以 \(\displaystyle \frac{x+z}{x+y+z}=\frac{d}{450}\)
將上列三個分式相加，可得 \(\displaystyle 2=\left(\frac{1}{425}+\frac{1}{510}+\frac{1}{450}\right)\times d\)
\(\Rightarrow d=306\) 好多題想請教,
#2 是要實際算出來嗎?我實際算出來是\(1183+374 \sqrt{10} \) 但 \(\sqrt{10} \) 須估計到小數點以下好幾位,才算得出正確答案.不知道有沒有更好的算法
還有#4,#6,#7,#9(第九題只能用猜得還是?)
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第 2 題：若\(n\)是大於\((\sqrt{5}+\sqrt{2})^6\)的最小整數，試求\(n\)之值？
[解答]
令 \(p=\sqrt{5}+\sqrt{2}, q=\sqrt{5}-\sqrt{2}\)
則 \(pq=3\) 且 \(p^2+q^2=14\)
\(\Rightarrow p^6+q^6 = \left(p^2+q^2\right)^3-3p^2q^2\left(p^2+q^2\right)=2366\)
因為 \(0<q<1\)，所以 \(0<q^6<1\)
\(\Rightarrow p^6=2366-q^6=2365.xxx\)
所以，大於 \((\sqrt{5}+\sqrt{2})^6\) 的最小整數值為 \(2366.\)
大於\( (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6 \)的最小整數為何？
(建中通訊解題第39期)
\( [\; x ]\; \)表示不大於x的最大整數(高斯符號)，試求\( [\; (\sqrt{3}+1)^8 ]\;= \)？
(101台南二中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262[/url])
113.5.16補充
回答下列與數相關的問題：
(1)若將\(a=(2+\sqrt{5})^{20}+(2-\sqrt{5})^{20}\)展開後，其個位數字為[u] [/u]。
(2)若將\(b=(2+\sqrt{5})^{20}\)展開後，其整數部分的末兩位數為[u] [/u]。
(113西松高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3870&page=1#pid26199[/url])
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第 4 題：設\(a_1,a_2,\ldots,a_{10}\in N\)，試求\(\displaystyle \frac{(a_1^2+1)(a_2^2+1)\ldots(a_{10}^2+1)}{a_1a_2\ldots a_{10}}\)的最小值。
[解答]
由算幾不等式，可得
\(a_1^2+1\geq 2\sqrt{a_1^2\cdot1}=2a_1\)
同理，
\(a_2^2+1\geq 2a_2\)，\(a_3^2+1\geq 2a_3\)，‧‧‧，\(a_{10}^2+1\geq 2a_{10}\)，
因為上列十個式子的左右兩端都非負，十式連乘可得
\(\left(a_1^2+1\right)\left(a_2^2+1\right)\cdots\left(a_{10}^2+1\right)\geq2^{10}\cdot a_1a_2\cdots a_{10}\)
\(\displaystyle\Rightarrow \frac{\left(a_1^2+1\right)\left(a_2^2+1\right)\cdots\left(a_{10}^2+1\right)}{a_1a_2\cdots a_{10}}\geq1024\)
且當等號成立時，\(a_1=a_2=\cdots=a_{10}=1.\)
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第 7 題：將分數\(\displaystyle \frac{n}{120}\)約分為最簡分數，其中\(n\)為小於120的正整數。請問共有多少個不同值的最簡分數，使得它的分子為一位數？
[解答]
\(120=2^3\cdot3\cdot5\)
一、若約到最簡分數後分子為 \(1\)，則
\(n=2^a\cdot3^b\cdot5^c\)，
其中 \(a=0,1,2,3\)，\(b=0,1\)，\(c=0,1\)
但 \((a,b,c)=(3,1,1)\) 時，\(\displaystyle \frac{n}{120}=1\) 不是分數，不合，
有 \(4\times2\times2-1=15\) 種可能。
二、若約到最簡分數後分子為 \(2\)，則
\(n=2^a\cdot3^b\cdot5^c\)，
其中 \(a=4\)，\(b=0,1\)，\(c=0,1\)
但是 \((a,b,c)=(4,1,1)\) 會讓 \(n>120\) 不合
有 \(1\times2\times2-1=3\) 種可能。
三、若約到最簡分數後分子為 \(3\)，則
\(n=2^a\cdot3^b\cdot5^c\)，
其中 \(a=0,1,2,3\)，\(b=2\)，\(c=0,1\)
但是 \((a,b,c)=(3,2,1),(2,2,1)\) 會讓 \(n>120\) 不合
有 \(4\times1\times2-2=6\) 種可能。
四、若約到最簡分數後分子為 \(4\)，則
\(n=2^a\cdot3^b\cdot5^c\)，
其中 \(a=5\)，\(b=0,1\)，\(c=0,1\)
但是 \((a,b,c)=(5,1,1),(5,0,1)\) 會讓 \(n>120\) 不合
有 \(1\times2\times2-2=2\) 種可能。
五、若約到最簡分數後分子為 \(5\)，則
\(n=25\times1,25\times2,25\times3,\) 或 \(25\times4\)
有 \(4\) 種可能。
六、若約到最簡分數後分子為 \(6\)，則
\(n\geq2^4\times3^2=144\) 不可能，此與 \(n\leq120\) 相矛盾。
七、若約到最簡分數後分子為 \(7\)，則
\(n=7\times 2^a\cdot3^b\cdot5^c\)，
其中 \(a=0,1,2,3\)，\(b=0,1\)，\(c=0,1\)
但是 \((a,b,c)=(3,1,1),(2,1,1),(1,1,1),(3,0,1),(3,1,0),(2,0,1)\) 會讓 \(n>120\) 不合
有 \(4\times2\times2-6=10\) 種可能。
八、若約到最簡分數後分子為 \(8\)，則
\(n=2^6\)，有 \(1\) 種可能。
九、若約到最簡分數後分子為 \(9\)，則
\(n=27\times1,27\times2,27\times4\)，有 \(3\) 種可能。
以上共 \(15+3+6+2+4+0+10+1+3=44\) 種。
不知道有沒有碰巧多列或漏列的呢？有勞大家了？
不知道除了條列之外，有沒有更好的做法。感謝。 :)
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第 9 題：在十進位制中，有兩個二位數\(\overline{aa}\)、\(\overline{bb}\)滿足\((\overline{aa})^2+(\overline{bb})^2=\overline{aabb}\)，則\(\overline{aabb}=\)？
[解答]
因為 \(\overline{aa}\) 與 \(\overline{bb}\) 皆有 \(11\) 的因數，
所以 \(\overline{aa}^2\) 與 \(\overline{bb}^2\) 皆有 \(11^2\) 的因數，
亦即 \(\overline{aabb}\) 也有 \(11^2\) 的因數，
而 \(\overline{aabb}=1000a+100a+10b+b=11(100a+b)\)
\(\Rightarrow 11\Bigg| (100a+b)\Rightarrow 11\Bigg| \left(99a+(a+b)\right)\Rightarrow 11\Bigg| (a+b)\)
且因為 \(a,b\) 皆為 \(0\) 到 \(9\) 的阿拉伯數字，所以 \(a+b=11\)
檢查 \(22^2+99^2=10285\) 不合
\(33^2+88^2=8833\Rightarrow \overline{aa}=88,\,\overline{bb}=33\)
\(44^2+77^2=7865\) 不合
\(55^2+66^2=7381\) 不合
ps. 考試時候要速度的話，可以先檢查個位數字，
如： \(22^2\) 個位數字為 \(4\)，\(99^2\) 個位數字為 \(1\)，
兩者個位數字和為 \(5\) ，不會是 \(2\) 或 \(9\)，因此不合，不用真的算出來相加。
另解也可以列 \(1^2,2^2,\cdots,9^2\) 的個位數字，
然後看有沒有哪兩者相加的個位數字會回到其中一個，
然後再條列計算一下，應該也很快。
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第 6 題：請參考
連結已失效h ttp://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=13007
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