Math Pro 數學補給站's Archiver

風箏會飛是因為“逆風”,
人會成長是因為“逆境”。

thankyou 發表於 2012-1-31 09:57

0≦x≦3,已知f(x)=4^x+k×2^x+3有最大值19,求實數k=?

設 \(0\le x\le 3\),\(f(x)=4^x+k\cdot 2^x+3\)有最大值\(19\),求實數\(k=\)?

weiye 發表於 2012-1-31 10:52

回復 1# thankyou 的帖子

題目:設 \(0\le x\le 3\),\(f(x)=4^x+k\cdot 2^x+3\)有最大值\(19\),求實數\(k=\)?       

解答:

令 \(t=2^x\),

因為  \(0\le x\le 3\),所以  \(2^0\le 2^x\le 2^3\Rightarrow 1\le t\le8\)

且 \(f(x)=t^2+kt+3\)

當 \(t=1\) 時,\(f(x)=k+4\),

當 \(t=8\) 時,\(f(x)=8k+67\),



因為 \(y=t^2+kt+3\) 的圖形為開口向上拋物線,且 \(1\le t\le8\) 表示只截取一小段部分的圖形,

所以 \(f(x)\) 的最大值只有可能發生在當 \(t=1\) 或 \(t=8\) 時,

case i: 最大值發生在當 \(t=1\)時,

    此時 \(1^2+k\cdot 1+3=19\Rightarrow k=15\) ,

    \(y=t^2+15t+3\) 拋物線的頂點之 \(x\) 坐標\(=-\frac{15}{2}<1\),

    此時 \(f(x)\) 最大值是當 \(t=8\) 的時候,最大值為 \(8^2+15\cdot8+3>19\) ,矛盾!

case i: 最大值發生在當 \(t=8\)時,

    此時 \(8^2+k\cdot 8+3=19\Rightarrow k=-6\) ,

    \(y=t^2-6t+3\) 拋物線的頂點之 \(x\) 坐標\(=3\),

    此時 \(f(x)\) 最大值是當 \(t=8\) 的時候,合!

由 case i & ii,可得 \(k=-6.\)

頁: [1]

論壇程式使用 Discuz! Archiver 6.1.0  © 2001-2007 Comsenz Inc.