兩題不等式
(1) 設 \(a,b,c\) 為正實數，求證 \(\displaystyle a + b + c \ge \frac{1}{3}\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \right)\)(2) 設 \(x,y,z\) 為正實數，且 \(\displaystyle\frac{10}{xyz}\left(\frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{5}{z}\right) = 1\) ，求 \(\displaystyle\left(\frac{2}{x} + \frac{3}{y}\right)\left(\frac{2}{x} + \frac{5}{z}\right)\) 的最小值為？
此兩題不知如何下手？ [quote]原帖由 [i]rudin[/i] 於 2012-1-5 01:37 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4604&ptid=1271][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
如附件兩題段考題！ [/quote]
第一題a,b,c應有範圍限制吧?
否則取a=0.01, b=0.01, c=0.01
不等式就不會成立了
回復 1# rudin 的帖子
第二題，先做變數代數令 \( a = \frac{2}{x} \), \( y = \frac{3}{y} \), \( c = \frac{5}{z} \)
則原等式可化成 \( abc(a+b+c)=1 \), a,b,c 亦為正實數
目標式則可以下化簡
\( (a+b+c-c)(a+b+c-b)=(a+b+c)^{2}-(b+c)(a+b+c)+bc=a(a+b+c)+bc \)
再用算幾不等式
\(\displaystyle \frac{a(a+b+c)+bc}{2}\geq\sqrt{abc(a+b+c)}=1\Rightarrow a(a+b+c)+bc \geq 2 \)
再看算幾不等式的等號成立，應該有無限多組解
隨便帶一組出來
\( a = \sqrt{2} -1 \), \( b = c =1 \)。
所以最小值為 2
回復 2# Ellipse 的帖子
這是學生問的段考題,應該是學校公布錯答案了!!!!頁:
[1]