請教一題合成函數：f(x)=6x^2-6x-5，求所有滿足x=f(f(x))的實數x
已知 f(x)=6x^2-6x-5 試求所有滿足 x=f(f(x))的實數 x回復 1# catlee 的帖子
之前寫某份教甄好像有這題那時候的寫法,令 \( y=6x^{2}-6x-5, x=6y^{2}-6y-5 \), 相減得 \( y-x=6(x-y)(x+y)-6(x-y) \).
\( \Rightarrow x=y 或 -1=6(x+y)-6\Rightarrow x+y=\frac{5}{6} \).
代回二次式解得 \( x=-\frac{1}{2}, \frac{5}{3}, \frac{5\pm\sqrt{165}}{12}\).
方法 2, \( f(x)=x \) 的解，必為 \( x=f(f(x)) \)的解.
\( x=f(f(x))\Rightarrow216x^{4}-432x^{3}-180x^{2}+395x+175=0 \).
而 \( f(x)=x\Rightarrow6x^{2}-7x-5=0 \). 拿此去除四次式得 \( 216x^{4}-432x^{3}-180x^{2}+395x+175=(6x^{2}-7x-5)(36x^{2}-30x-35) \).
所以 \( x=-\frac{1}{2},\frac{5}{3},\frac{5\pm\sqrt{165}}{12} \). 感恩!謝謝!
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