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時間,讓深的東西越來越深,
   讓淺的東西越來越淺。

rudin 發表於 2011-10-31 14:19

高中遞迴的題目

a_1=1/2,
a_n=[(n-1)/(n+1)]a_(n-1)+[2/(n+1)],
則a_n=(n^2+n-1)/(n^2+n)(不知如何解)

weiye 發表於 2011-10-31 15:05

回復 1# rudin 的帖子

數學歸納法可證之。

註:\(\displaystyle a_n=1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\)

老王 發表於 2011-10-31 18:18

今天剛好寫到這題,99公私立高中第三次模擬考選擇第7題,不過更狠,給的是
\(\displaystyle s_n=n^2a_n-n(n-1) \)

言歸正傳
基本上我們能解的遞迴數列只占非常少數,所以有時候都只是靈光一閃。

\(\displaystyle a_n=\frac{n-1}{n+1}a_{n-1}+\frac{2}{n+1} \)
\(\displaystyle (n+1)a_n=(n-1)a_{n-1}+2 \)
\(\displaystyle n(n+1)a_n=(n-1)na_{n-1}+2n \)

令\(\displaystyle b_n=n(n+1)a_n \)
則\(\displaystyle b_n=b_{n-1}+2n \)
而\(\displaystyle b_1=1 \)
這應該可以簡單解得
\(\displaystyle b_n=n^2+n-1 \)
所以
\(\displaystyle a_n=\frac{n^2+n-1}{n^2+n} \)

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