2011TRML
TRML絕對是每年教甄的一大重點，但近幾年主辦單位已經不公佈題目感謝高雄中學數學科教師提供題目，造福廣大的教甄考生
h ttp://web.kshs.kh.edu.tw/math/exam.htm(連結已經失效)
我花了一些時間將整份題目重新打字，圖也重新畫過
2011TRML.odt需要OpenOffice或LibreOffice才能開啟
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回復 1# bugmens 的帖子
有朋友問我團體賽的第 3,5,6 題，幫他解答後，順便附在這裡～第 3 題：
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{c}f(n)>f(n+1)\\ f(n)>f(n-1)\end{array}\right.\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}f(n)-f(n+1)>0\\ f(n)-f(n-1)>0\end{array}\right.\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}(n+1)0.91^n-(n+2)0.91^{n+1}>0\\ (n+1)0.91^n-n\cdot0.91^{n-1}>0\end{array}\right.\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}0.91^n\left((n+1)-(n+2)\cdot0.91\right)>0\\ 0.91^{n-1}\left((n+1)0.91-n\right)>0\end{array}\right.\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}(n+1)-(n+2)\cdot0.91>0\\ (n+1)0.91-n>0\end{array}\right.\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}n>\frac{82}{9}\\ n<\frac{91}{9}\end{array}\right.\)
因為 \(n\) 為正整數，所以 \(n=10.\)
第 5 題：
如果畫出外接圓圓心，然後連接到題目所給的六邊形的各頂點，把它切割成六個小三角形，
可以發現這六個小三角形重新排列成~邊長依序為 \(4,6,4,6,4,6\) 的新的六邊形的話，則新六邊形的面積不變，
而重排之後的新六邊形面積就好算了，
就將邊長為 \(6\) 的三邊延長，
[attach]943[/attach]
如附圖，用邊長為 14(=4+6+4) 的大正三角形面積扣掉三個邊長為 4 的小三角形面積就可以得到了。
所求面積＝\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}\cdot 14^2}{4}-3\times\frac{\sqrt{3}\cdot 4^2}{4}=37\sqrt{3}.\)
ps. 至於為何此新的大六邊形的每個內角都是 \(120^\circ\) ，
其實畫出它的外接圓與圓心就可以證的出來了，在此就省略說明了。
第 6 題
設 \(g(x)=ax^2+bx+c,\)
將 \(1,3,4,p\) 分成兩數、兩數為一組～共兩組，
必存在有某一組兩數帶入 \(g(x)\) 得 \(ax^2+bx+c = k_1\)
另一組兩數帶入 \(g(x)\) 得 \( ax^2+bx+c = k_2\)
其中 \(k_1, k_2\) 為 \(f(x)=0\) 的兩根
因此，\(1,3,4,p\) 中的某兩數為 \(ax^2+bx+(c - k_1)=0\) 的兩根，而另兩數為 \(ax^2+bx+(c - k_2)=0\) 的兩根
因為此兩方程式有相同的「兩根之和」，因此有下列三種可能性：
case i: \(1+3=4+p\)
case ii: \(1+4=3+p\)
case iii: \(4+3=1+p\)
可得 \(p\) 的最大值為 \(6.\)
回復 1# bugmens 的帖子
想請問個人賽I-2, I-9應朝何方向解決?謝謝。
個人賽I-2
設\( a \)、\( b \)、\( c \)是三實數，滿足\( a+b+c=9 \)，\( ab+bc+ca=0 \)，則\( a+b \)的最大值為[u] [/u]。
個人賽I-9
考慮所有滿足\( \displaystyle \cases{a_1+a_2+\ldots+a_{2011}=2012 \cr \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_{2011}}=2012} \)的2011個正數\( a_1,a_2,\ldots,a_{2011} \)，則對於\( i=1,2,\ldots,2011 \)，\( \displaystyle a_i+\frac{1}{a_i} \)的最大值為[u] [/u]。
回復 3# hugo964 的帖子
個人賽第 2 題：因為 \(a+b+c = 9\) ，所以 \(a+b = 9-c\)
所以題目等同於要找 \(c\) 的最小值
再來先換成兩個變數就好~ \(a+b+c= 9\Rightarrow b= 9-a-c\)
帶入 \(ab+bc+ca=0\Rightarrow c(a+b) + ab =0\)
可得 \(c(9-c) + a(9-a-c)=0\Rightarrow a^2 + (c-9) a + c(c-9)=0\)
（上面那行～是刻意表示成 \(a\) 的一元二次方程式的樣子）
因為 \(a\) 為實數，所以上式 \(a\) 的一元二次方程式有實根
由判別式 \(\geq 0\)
可得 \((c-9)^2 - 4\cdot1\cdot c(c-9)\geq 0\Rightarrow -3\leq c\leq 9\)
（討論至此發現，發現 \(c\) 有下界 \(-3\)，但它會是最小值嗎？）
當 \(c=-3\) 時，帶入 \(a^2 + (c-9) a + c(c-9)=0\)
即可解得 \(a = 6\)，
順便再由 \(a+b+c=9\)，可得 \(b = 6.\)
因此，可知當 \((a,b,c)=(6,6,-3)\) 時，
\(c\) 會有最小值為 \(-3\)，
且 \(a+b\) 的最大值為 \(12.\)
個人賽第 9 題：
\(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{2011}=2012\)
\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\cdots+\frac{1}{a_{2011}}=2012\)
如果說要求 \(\displaystyle a_i+\frac{1}{a_i}\) 範圍
可將上面兩式改寫成
\(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{i-1}+a_{i+1}+\cdots+a_{2011}=2012-a_i\)
\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\cdots+\frac{1}{a_{i-1}}+\frac{1}{a_{i+1}}+\cdots+\frac{1}{a_{2011}}=2012-\frac{1}{a_i}\)
由柯西不等式可得
\(\displaystyle \left(a_1+a_2+a_3+...+a_{i-1}+a_{i+1}...+a_{2011}\right)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\cdots+\frac{1}{a_{i-1}}+\frac{1}{a_{i+1}}+\cdots+\frac{1}{a_{2011}}\right)\)
\(\geq \left(1+1+1+....+1+1+1\right)^2\)
\(\displaystyle\Rightarrow \left(2012-a_i\right)\left(2012-\frac{1}{a_i}\right)\geq 2010^2\)
\(\displaystyle\Rightarrow 2012^2 - 2012\cdot a_i - \frac{2012}{a_i} +1 \geq 2010^2\)
\(\displaystyle a_i+\frac{1}{a_i}\leq \frac{8045}{2012}\)
且當等號成立時，\(a_1=a_2=a_3=\cdots=a_{i-1}=a_{i+1}=\cdots=a_{2011}\)
此時，\(2010a_1+a_i=2012\) 且 \(\displaystyle \frac{2010}{a_1}+\frac{1}{a_i}=2012\)
將「\(a_i\) 帶入 \(a_1\)」或是「\(a_1\) 帶入 \(a_i\)」，再利用根與係數關係式，
皆可討論得 \(a_i\) 與 \(a_1\) 都有正實根，
因此 \(\displaystyle a_i+\frac{1}{a_i}\) 的最大值為 \(\displaystyle \frac{8045}{2012}\) [quote]原帖由 [i]hugo964[/i] 於 2012-3-12 03:35 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4909&ptid=1247][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問個人賽I-2, I-9應朝何方向解決?
謝謝。 [/quote]
I-2 提供另一個想法
a+b+c=9 ,a+b=9-c-------------(1)
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
=a^2+b^2+c^2+2*0=a^2+b^2+c^2=9^2=81
a^2+b^2=81-c^2------------(2)
由柯西不等式得
(a^2+b^2)(1^2+1^2)>=(a+b)^2-----------(*)
將(1)&(2)代入(*)
得(81-c^2)*2>=(9-c)^2
整理得c^2-6c-27<=0
(c-9)*(c+3)<=0
-3<=c<=9---------------(3)
由(1)&(3)知 0<=a+b<=12
所以a+b最大值=12 想請問團體賽的第4,9,10題及個人賽的第3,5,11題,謝謝
個人賽I-3
如右圖，以\( \overline{AB} \)為直徑畫一圓，\( C \)、\( D \)兩點在\( \overline{AB} \)上，使得\( \overline{AC}=\overline{CD}=\overline{DB} \)，\( Q \)、\( E \)兩點在圓周上使得\( Q \)、\( D \)、\( E \)三點共線且\( \overline{CE} \)⊥\( \overline{AB} \)，再以\( \overline{AD} \)為直徑在圓內部畫一半圓，設\( \overline{AQ} \)交此小半圓於\( P \)點。若\( \overline{AB}=9 \)，則\( \overline{PQ}= \)[u] [/u]。
個人賽I-5
滿足\( 3x^2-8[x]+2=0 \)最大的實數\( x \)為[u] [/u]。(其中\( [x] \)表示小於或等於\( x \)的最大整數)
個人賽I-11
從1到35的35個正整數中選取某些數形成一些集合，使得每個集合中最大的數恰為此集合中其餘所有的數之乘積。如果1到35的每一個數至多只能出現在某一個集合中，則至多能造[u] [/u]個這樣的集合。
團體賽4.
設\( a \)、\( b \)為正整數，且所有實數\( x \)都滿足\( \displaystyle \left| \frac{2ax-b}{2x^2-8x+9} \right|<1 \)，\( a+b= \)[u] [/u]。
團體賽9.
已知數列\( a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n \)滿足\( a_{k+1}=a_{k}+3log2 \)或\( a_{k+1}=a_k+log5 \)或\( a_{k+1}=a_k-2 \)三者之一，\( k=1,2,3,\ldots,n-1 \)，且\( a_n=a_1 \)。若\( n>100 \)，則正整數\( n \)的最小值為[u] [/u]。
團體賽10.
有15個正整數\( a_1,a_2,\ldots,a_{14},a_{15} \)滿足\( a_1<a_2<\ldots<a_{14}<a_{15} \)且\( \displaystyle \sum_{i=1}^{15}a_i^2 \le 2011 \)，則\( a_{12}-a_{7} \)可以達到的最大值為[u] [/u]。
回復 6# kaline 的帖子
個人賽第5題\(8[x]=3x^2+2\geq 2\Rightarrow [x]\geq \frac{1}{4}\Rightarrow [x]\geq 1\)
(1) \([x]=1\)時，\(3x^2+2=8 \Rightarrow x=\sqrt{2}\)
(2) \([x]=2\)時，\(3x^2+2=16 \Rightarrow x=\sqrt{\frac{14}{3}}=\frac{\sqrt{42}}{3}\)
因為最多兩個實根，答案如上
(可以畫出左右兩個圖，更容易理解)
[img]http://img338.imageshack.us/img338/4732/91122445.png[/img]
團體賽第4題
因為\(2x^2-8x+9=2(x-2)^2+1\)，所以\(|2ax-b|<2(x-2)^2+1\)
換句話說，\(y=2(x-2)^2+1\)的圖形恆在折線\(y=|2ax-b|=2a|x-\frac{b}{2a}|\)的上方
且此折線的斜率的絕對值為\(2a\)，
因為折線的圖形以對稱軸為中心左右對稱，
當斜率絕對值為最大\( m \)時，必以\( x=2 \)為折線的對稱軸，
所以 \( 2x^2-8x+9>m|x-2| \)
若\(x\geq 2\)，則\( 2x^2-8x+9>mx-2m\Rightarrow 2x^2+(-8-m)x+(9+2m)>0\)，則判別式<0，得\(m^2<8\Rightarrow m<2\sqrt{2}\)
若\(x<2\)，則同理得 \( m<2\sqrt{2}\)
則\( 2a\leq m=2\sqrt{2}\Rightarrow a\leq \sqrt{2}\)
所以 \( a=1\)
此時原式成了 \(2x^2-8x+9>|2x-b|\)
若\(2x\geq b\)，則\( 2x^2-8x+9>2x-b\Rightarrow 2x^2-10x+(9+b)>0\)，則判別式<0，得\(b>\frac{7}{2}\)
若\(2x< b\)，則\( 2x^2-8x+9>-2x+b\Rightarrow 2x^2-6x+(9-b)>0\)，則判別式<0，得\(b<\frac{9}{2}\)
則 \(\frac{7}{2}<b<\frac{9}{2}\)，所以 \( b=4\)
算了半天，沒有其他正整數解了，所以\( a+b=5\)
團體賽第9題
因為\(a_{n}=a_{1}\)，假設3種遞迴各利用了 \(x,y,z\)次，其中\(x+y+z=n\)
則 \(a_{1}=a_{x+y+z}=a_{1}+3xlog2+ylog5-2z=a_{1}+log\frac{2^{3x}\times 5^{y}}{10^{2z}}\)
所以 \(2^{3x}\times 5^{y}=2^{2z}\times 5^{2z} \)
\(\Rightarrow 2z=3x=y\Rightarrow x:y:z=2:6:3\)
因此最小的\(n=x+y+z=11\)
但是\(n>100\)，因此最小的\(n=11\times 10=110\)
[[i] 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-2 07:45 PM 編輯 [/i]] 團賽第五題,正確題目是
6邊依序是4,4,6,6,4,6還是4,6,4,6,4,6?
還是哪種算法都一樣呢? 個人賽11題
請問正解個數4個,是如何求出呢 ?!?!
我隨意用窮舉法,就找到8個如下,
{2,9,18} , {3,8, 24} , {4,7, 28} , {5,6,30 } , {2, 17, 34}, {3, 11, 33} , {4, 8, 32} , {5, 7, 35}
還是我誤會題意了嗎 ?!?! 請糾正我,謝謝唷 ^^
回復 9# 艾瑞卡 的帖子
個人賽 11：題目有說每個數至多出現在一個集合之中，所以一個數最多只能用一次
回復 10# tsusy 的帖子
謝謝寸絲師!! ^.^頁:
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