Math Pro 數學補給站's Archiver

少林寺的和尚武功千變萬化、飛簷走壁,
是過去挑了多少桶水上山?

ogagigi 發表於 2011-10-9 22:43

一題機率問題

甲乙丙一次投擲兩個硬幣,先得到兩個正面者獲勝
(例如甲第一次就兩個正面或是第一輪一個正,第2輪再一個正),
就是累積兩個正面以上即遊戲結束
甲先擲 再乙 再丙 一直輪 直到分出勝負
問甲乙丙獲勝機率??


這題我想很久~如果只獲得兩正面就獲勝的問題我會

但是如果可以累積的話~我想很久還是想不到

想請教各位大師~如何解?

謝謝

tsusy 發表於 2011-10-11 15:10

在下提供一個想法
令 \( p_{ijk}\)  為在甲已 i 正,乙 j 正,丙 k 正的情況下,甲獲勝的機率。

用遞迴可解得 \( p_{1,1,1}=\frac{3}{4}+\frac{p_{1,1,1}}{64}\Rightarrow p_{1,1,1}=\frac{48}{63}\)

接著 \(p_{1,1,0}=\frac{3}{4}+\frac{p_{1,1,1}}{32}+\frac{p_{1,1,0}}{64}\Rightarrow p_{1,1,0}=\frac{1040}{1323} \)

同樣地 \( p_{1,0,1}=p_{1,1,0}=\frac{1040}{1323} \)

\(p_{0,1,1}=\frac{1}{4}+\frac{p_{1,1,1}}{32}+\frac{p_{0,1,1}}{64}\Rightarrow p_{0,1,1}=\frac{368}{1323}\)

利用八個狀態的關係,從 1,1,1 倒著解回去,上面是解兩個 1 的,

接著 1 個 1 的很醜,

\( p_{1,0,0}=\frac{3}{4}+\frac{p_{1,1,0}}{32}+\frac{p_{1,0,1}}{32}+\frac{p_{1,1,1}}{16}+\frac{p_{1,0,0}}{64}\Rightarrow p_{1,0,0}=\frac{71696}{83349} \)

算不下去了…

weiye 發表於 2011-10-11 21:10

P(甲贏) = \(\displaystyle\frac{1}{4} + \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{4}\left(C^n_n\left(\frac{1}{4}\right)^n+C^n_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}\left(C^n_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\cdot\left(C^n_n\left(\frac{1}{4}\right)^n+C^n_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)^2\)



P(乙贏) = \(\displaystyle\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{4} + \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{4}\left(C^n_n\left(\frac{1}{4}\right)^n+C^n_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}\left(C^n_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\cdot\left(C^n_n\left(\frac{1}{4}\right)^n+C^n_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\cdot\left(C^{n+1}_{n+1}\left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}+C^{n+1}_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\)



P(丙贏) = \(\displaystyle\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{4} + \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{4}\left(C^n_n\left(\frac{1}{4}\right)^n+C^n_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}\left(C^n_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\cdot\left(C^{n+1}_{n+1}\left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}+C^{n+1}_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\left(\frac{1}{2}\right)\right)^2\)



以上這一長串並非不能算,乘開之後雖然有點眼花撩亂,但還是可以算的~

(乘開後是"等比級數"或"等差×等比"或是"等差^2 ×等比"或是"等差^3 ×等比"形式的雜級數~都是可以算的~)

眼睛很花~就讓我稍微偷懶一下,有請 wolfram alpha 幫我計算一下



P(甲贏) = \(\displaystyle\frac{301552}{583443}\),請點 [url=http://goo.gl/cBQ65]http://goo.gl/cBQ65[/url]

P(乙贏) = \(\displaystyle\frac{173444}{583443}\),請點 [url=http://goo.gl/mBxFs]http://goo.gl/mBxFs[/url]

P(丙贏) = \(\displaystyle\frac{36149}{194481}\),請點 [url=http://goo.gl/obil0]http://goo.gl/obil0[/url]

而且無聊還可以驗證一下~~~  \(\displaystyle\frac{301552}{583443}+\frac{173444}{583443}+\frac{36149}{194481}=1\)





然後我說明一下~

P(甲贏) = 要嘛甲在第一局就贏,或是甲在經過 n 局之後,繼續丟~以兩正面獲勝~或以一正一反面獲勝~

    如果甲最後是以兩正面獲勝,則甲擲的前 n 局有可能全部都是兩反~或是~恰一次的一正一反&n-1次兩反,

    如果甲最後是以一正一反獲勝,則甲擲的前 n 局恰一次的一正一反,

    當然不管甲是以何種方式獲勝,乙、丙兩人擲的前 n 局必須要「全部都是兩反~或是~恰一次的一正一反&n-1次兩反」。

乙贏~或丙贏~請同理類推。:)

ogagigi 發表於 2011-10-12 22:56

非常非常感謝!!!!!!!!!!

Joy091 發表於 2011-10-13 12:18

電腦模擬實驗

[quote]原帖由 [i]ogagigi[/i] 於 2011-10-9 10:43 PM 發表 [url=redirect.php?goto=findpost&pid=4415&ptid=1246][img]images/common/back.gif[/img][/url]
甲乙丙一次投擲兩個硬幣,先得到兩個正面者獲勝
(例如甲第一次就兩個正面或是第一輪一個正,第2輪再一個正),
就是累積兩個正面以上即遊戲結束
甲先擲 再乙 再丙 一直輪 直到分出勝負
問甲乙丙獲勝機率??


這題我想很 ... [/quote]

打開免費的 R 軟體之後,將下列指令 [b]複製貼上[/b] 即得此機率問題實驗10000次的結果:

f=function(){
x=c();y=x;z=x
while(sum(x)<2) x=c(x,sample(0:1,2,replace=1))
while(sum(y)<2) y=c(y,sample(0:1,2,replace=1))
while(sum(z)<2) z=c(z,sample(0:1,2,replace=1))
a=length(x);b=length(y);c=length(z)
if(min(a,b,c)==a) return(1)
if(min(a,b,c)==b&b<a) return(2)
return(3)}
n=10000
zz=replicate(n,f())
a=sum(is.element(zz,1))
b=sum(is.element(zz,2))
c=n-a-b
a/n  # 甲贏的機率

b/n  # 乙贏的機率

c/n  # 丙贏的機率

結果為
\(\displaystyle  P(甲贏)=0.5187\approx \frac{301552}{583443}\)

\(\displaystyle  P(乙贏)=0.2924\approx \frac{173444}{583443}\)

\(\displaystyle  P(丙贏)=0.1889\approx \frac{36149}{194481}\)


R軟體請見  [url=https://math.pro/db/thread-51-1-1.html]https://math.pro/db/thread-51-1-1.html[/url]  的說明 !

[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-12-5 12:12 PM 編輯 [/i]]

頁: [1]

論壇程式使用 Discuz! Archiver 6.1.0  © 2001-2007 Comsenz Inc.