多項式問題
\(x\)是正整數 多項式函數\(f(x)\)\(f(x)=x^5+7x^4+7x^3+7x^2+7x+6\)
請問\(x\)為何時會讓\(f(x)\)為完全平方數
想了幾天了 都沒想出來
感謝 x是正整數，多項式函數\( f(x)=x^5+7x^4+7x^3+7x^2+7x+6 \)
請問x為何時會讓\( f(x) \)為完全平方數
[提示]
\( x^5+7x^4+7x^3+7x^2+7x+6=(x+6)(x^4+x^3+x^2+x+1) \)
\( x+6 \)和\( x^4+x^3+x^2+x+1 \)互質，設\( x+6=p^2 \)，\( x^4+x^3+x^2+x+1=q^2 \)，\( p,q \in N \)
解\( x^4+x^3+x^2+x+1=q^2 \)的不定方程式可得\( (x,q)=(3,11) \)
(其他的整數解為\( (-1,±1) \)，\( (0,±1) \)這讓你解看看)
剛好\( x+6=p^2 \)也為完全平方數
所以\( x=3 \) 感謝提示
考慮 (2q)^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4
可知 (2x^2+x)^2<(2q)^2<(2x^2+x+2)^2 x為正整數
所以 (2q)^2=(2x^2+x+1)^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4
可得 x=3
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