94霧峰農工
適逢中秋節連假，我找一些比較古早的考古題讓各位練習 以\( \displaystyle \xi=cos \frac{2 \pi}{15}+i sin \frac{2 \pi}{15} \)表1的一個真正15次方根，\( f \)為一整係數非零多項式，且知\( f(\xi)=0 \)；試問滿足此條件且次數最低的\( f \)之次數為若干？若\( \displaystyle x=cos \frac{2 \pi}{15}+i sin \frac{2 \pi}{15} \)，則滿足\( f(x)=0 \)的最少次多項方程式是
(98新港高中，[url]https://math.pro/db/thread-938-1-4.html[/url])
[url]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43637[/url]
回復 2# bugmens 的帖子
想請益這題！之前了解但現在又想不太通為何是八次！
謝謝
回復 3# leo790124 的帖子
\(\begin{array}{l}{x^{15}} - 1\\
= \left( {{x^5} - 1} \right)\left( {{x^{10}} + {x^5} + 1} \right)\\
= \left( {x - 1} \right)\left( {{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^8} - {x^7} + {x^5} - {x^4} + {x^3} - x + 1} \right)
\end{array}\)
易知\(\cos \frac{2\pi }{15}+i\sin \frac{2\pi }{15}\)是\({{x}^{8}}-{{x}^{7}}+{{x}^{5}}-{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-x+1=0\)之根
回復 4# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師!!!!!!!!!!!回復 4# thepiano 的帖子
不好意思想向鋼琴老師請教一下
x^10+x^5+1是怎麼想到拆解法的?
第一次看到這題寫10次......
沒想到x^10+x^5+1還可以再拆>m<
回復 6# CyberCat 的帖子
100 成淵高中考過這題因式分解，可參考[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2541[/url]
回復 6# CyberCat 的帖子
因式分解一般來說是個很難的問題，但與解方程式有相當的關係我也不會因式分解，但由棣美弗定理可解得 \( x^{15} -1 =0 \) 的 15 個複數根，其中有三個根滿足 \( x^3 -1 =0 \)、5 個滿足 \( x^5 - 1 =0 \)。
所以除法一做，馬上就可以得到 #4 鋼琴大寫的分解
回復 8# tsusy 的帖子
感謝鋼琴老師與寸絲老師的細心講解確實從x^3-1=0與x^5-1=0這地方去思考
去除共同的x-1因式後，勢必存在一種(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x^2+x+1)(某個八次式)
可以判斷出x^10+x^5+1尚未分解完畢
但把x^10+x^5+1除掉x^2+x+1後得到的八次式
是如何判斷這個八次式無法再分解呢?(還是說這就是一種感覺!~誤) 我原本想到的是用大學代數所學到的愛因斯坦判別法
[url]http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%89%BE%E6%A3%AE%E6%96%AF%E5%9D%A6%E5%88%A4%E5%88%A5%E6%B3%95[/url]
整係數多項式\( f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0 \)
如果存在質數\( p \)，使得
\( p \)不整除\( a_n \)，但整除其他\( a_i \)
\( p^2 \)不整除\( a_0 \)，
那麼\( f(x) \)是不可約的。
但\( x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1 \)的係數只有1或\( -1 \)找不到質數\( p \)符合愛因斯坦判別法
wiki也提到可以藉由變數代換，說不定就可以找到質數\( p \)
有時候不能直接用判別法，或者可以代入\( y = x + a \)後再使用。
例如考慮\( h(x) = x^2 + x + 2 \)。這多項式不能直接用判別法，因為沒有素數整除x的係數1。但把\( h(x) \)代入為\( h(x + 3) = x^2 + 7x + 14 \)，可立刻看出素數7整除x的係數和常數項，但\( 7^2 = 49 \)不整除常數項。所以有時通過代入便可以用到判別法。
我利用maxima來找\( y=x+a \)的\( a \)值。只是程式執行完沒有符合的\( a \)和\( p \)。
[color=blue]fx:x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1;
for a:-10000 thru 10000 do
(fx2:expand(ev(fx,x=x+a)),
coeffs:create_list(coeff(fx2,x,i),i,0,7),
p:lreduce(lambda([x,y], gcd(x,y)),coeffs),
if p#1 then
(print("x+",a,"p=",p))
);[/color]
接下來我又想到曾經在科學月刊看到游森棚教授寫的一篇文章
猜或不猜，[url]http://scimonth.blogspot.tw/2010/07/blog-post_4697.html[/url]
文章有\( x^{15}-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^2+x+1)(1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8) \)的例子
和重要的關鍵字 分圓多項式(cyclotomic polynomial)
我再用cyclotomic polynomial去google搜尋，並加上irreducible關鍵字
出來就有很多證明，這已經超過我的程度了，就請你自行參閱了
[url]https://www.google.com.tw/search?client=opera&hs=PX1&q=cyclotomic+polynomial+irreducible&oq=cyclotomic+polynomial+&gs_l=serp.3.0.0l2j0i30l8.45334.46988.0.47721.5.3.2.0.0.0.63.157.3.3.0.msedr...0...1c.1.62.serp..0.5.157._5LRjDnfqWI[/url] 回復樓上的文章
cyclotomic field其實很有故事性
可以看中文維基 對cyclotomic field的敘述
[url]http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E5%9C%86%E5%9F%9F[/url]
英文維基也有提到
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field[/url]
在證明費馬最後定理時利用因式分解
若ζ是1的n次方根
x^n+1= (x + 1) (x + ζ) … (x + ζ^(n − 1))
因此
Z^n=x^n + y^n = (x + y) (x + ζy) … (x + ζ^(n − 1)y)
Kummer 就是把正整數z放在比較大的世界Z[ζ]去因數分解來討論
Kummer發現柯西和Lame證明費馬最後定理時的一些缺陷
Z[ζ]中的數的因數分解有時候不具有唯一分解性(UFD)
因此因數分解的方法在這條路就卡住 無法證明費馬最後定理
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PS1 cyclotomic field其中一個性質可以解釋原來的問題
ζ 若是1的15次方的根 (且不是3次方 5次方的根)
則[Q(ζ): Q]=phi(15) phi是尤拉函數 (比n小和n互質的數個數)
故phi(15)=8 就是題目問的 最小多項式的次方
同理樓上文章中的例子
[url]http://scimonth.blogspot.tw/2010/07/blog-post_4697.html[/url]
x^105 -1 因式分解之後次方最高的那項
phi(105)=48
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PS2 Kummer解釋柯西證錯有下面這個故事
引自科學月刊[url]http://episte.math.ntu.edu.tw/reviews/rev_ltf/[/url]
沃爾夫斯凱爾（Paul Wolfskehl，）並不是什麼偉大的數學家，但他卻和費瑪最後定理有著不可割捨的關係。 話說當時沃爾夫斯凱爾正迷戀著一位女性，很遺憾的是他被拒絕了，想不開的他決定要自殺， 而且很謹慎地計畫他的死亡，最後他決定了自殺的日子，並打算在午夜時開槍射擊自己的頭部。 沃爾夫斯凱爾是如此謹慎小心的人，以至於自殺當天他提前在午夜就將所有的事情都弄好了。 為了消磨這段時間，他到圖書館看數學古籍，就這樣他被一系列有關費瑪最後定理的東西給迷住了， 甚至他認為他找到了庫默爾在解釋柯西和拉梅失敗的原因上的一個漏洞。沃爾夫斯凱爾是如此的專心， 以致於他錯過了他自殺的時間。直到黎明，沃爾夫斯凱爾才完成他的工作，他補起了庫默爾的漏洞， 但是費瑪最後定理依舊不可解。數學重新喚起了沃爾夫斯凱爾的生命欲望，就這樣沃爾夫斯凱爾改寫了他的遺囑， 他決定將他財產中的十萬馬克當做一個獎，給任何能證明費瑪最後定理的人。 這個誘惑是如此的大，一下子許多是與不是的數學家都投入費瑪最後定理的工作。 這可能是費瑪最後定理最有意義的地方，因為它救活了一個人，也因此費瑪最後定理的身價大為提高。
有趣的是.....第二次世界大戰過後 十萬馬克就變廢紙了
[[i] 本帖最後由 sliver 於 2015-3-24 11:06 PM 編輯 [/i]]
回復 10# bugmens 的帖子
實在太感謝 bugmens 跟 sliver 的分享分了好幾次才把東西看完 還沒有辦法完全掌握所有內容 正在學習消化中
可以得到你們的回應幫助 真的受益良多^^
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